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2025-07-25T06:25:41Z

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In der [[Mathematik]] sind '''Coxeter-Gruppen''' eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von [[Spiegelungsgruppe]]n.

== Definitionen ==
'''Coxeter-Gruppen''' werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer [[Präsentation einer Gruppe|Präsentation]]
:<math>W=\langle r_1,\ldots,r_n\mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle</math>
mit <math>m_{ii}=1</math> und <math>m_{ij}=m_{ji}\ge 2</math> für <math>i\not=j</math>.

Die Bedingung <math>m_{ij}=\infty</math> bedeutet, dass <math>(r_ir_j)</math> unendliche [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] haben.

Das Paar <math>(W,S)</math>, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe <math>W</math> und einer Menge aus Erzeugern <math>S=\left\{r_1,\ldots,r_n\right\}</math>, wird als '''Coxeter-System''' bezeichnet.

[[Datei:Finite coxeter.svg|500px|rechts|mini|Klassifikation der Coxeter-Diagramme]]
[[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede [[Endliche Gruppe|endliche]] Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre '''Coxeter-Diagramme'''. Diese sind [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] mit einem Knoten für jeden Erzeuger <math>r_i</math>, Kanten zwischen den <math>r_i</math> und <math>r_j</math> verbindenden Knoten genau für <math>m_{ij}\ge 3</math> und einer Markierung der Kante durch <math>m_{ij}</math> für <math>m_{ij}\ge 4</math>. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei <math>A_n, B_n=C_n</math> und <math>D_n</math> jeweils für jedes <math>n\ge 1</math> einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

== Literatur ==
* Coxeter, HSM: ''Discrete groups generated by reflections'', Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
* Coxeter, HSM: ''The complete enumeration of finite groups of the form <math>r_i^2=(r_ir_j)^{k_{ij}}=1</math>'', J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]

Coxeter-Gruppe - Versionsgeschichte

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