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2026-04-13T19:50:45Z

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{{Überarbeiten}}Das '''Cox-Ross-Rubinstein-Modell''' (kurz '''CRR-Modell''', oft auch: '''Binomialmodell''') ist ein diskretes Modell für die Modellierung von [[Wertpapier]]- und Aktienkursentwicklungen. Hierbei werden für jeden Zeitschritt mehrere Entwicklungsmöglichkeiten postuliert und jede mit einer [[Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeit]] belegt. Die Eingrenzung auf nur zwei Entwicklungsmöglichkeiten wird auch ''Einperiodenmodell'' oder ''Zweiphasenmodell''<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Ernst Eberlein |Titel=Grundideen moderner Finanzmathematik |Sammelwerk=Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |Band=6 |Nummer=3 |Datum=1998-01-01 |ISSN=0942-5977 |DOI=10.1515/dmvm-1998-0307 |Online=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/dmvm-1998-0307/html |Abruf=2025-08-05}}</ref> genannt. Es wurde 1979 von [[John C. Cox]], [[Stephen Ross]] und [[Mark Rubinstein]] entwickelt.

Das Binomialmodell wird als Methode zur Ermittlung von fairen [[Option (Wirtschaft)|Optionspreisen]] eingesetzt. Dabei wird das [[Duplikation (Finanztheorie)|Duplikationsprinzip]] angewandt, welches in seiner einfachsten Form den Preis der Option bei [[Hausse|Kursanstieg]] und den Preis der Option bei [[Baisse|Kursabfall]] bewertet. Das Binomialmodell lässt sich durch einen [[Binärbaum]] graphisch darstellen. Es ist durch seine zeitdiskrete Struktur einfacher in der Anwendung als das Black-Scholes-Modell.<ref>John C. Cox, Stephen Ross, Mark Rubinstein: ''Option Pricing: A Simplified Approach.'' In: ''Journal of Financial Economics.'' Nr. 7, 1979, S. 229–263.</ref> Das mehrstufige Binomialmodell ist tatsächlich eine [[Diskretisierung]] des [[Black-Scholes-Modell]]s. Es ist eines der am weitesten verbreiteten Modelle in der [[Finanzmathematik]].

== Definition ==
Der [[Ergebnisraum]] <math>\Omega</math> des Cox-Ross-Rubinstein-Modells für <math>T</math> Perioden entspricht der Menge der verschiedenen Pfade, <math>\Omega = \{\uparrow,\downarrow\}^T = \{ \omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_T \} \ \vert \ \omega_i \in \{\uparrow,\downarrow\} \}</math> und die zugehörige [[σ-Algebra]] <math>\mathcal F = \mathcal{P}(\Omega)</math> entspricht der [[Potenzmenge]] des Ergebnisraumes. Der [[Kanonischer stochastischer Prozess|kanonische Prozess]] <math>Y</math> ist wie üblich definiert, <math>Y_t(\omega) = \omega_t</math> für beliebiges <math>\omega \in \Omega</math>. Die [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] <math>\mathbb F</math> des dem CRR-Modells unterliegenden [[Filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum|filtrierten Wahrscheinlichkeitsraumes]] entspricht der [[Kanonische Filtrierung|kanonischen Filtrierung]] von <math>Y</math>. Es wird angenommen, dass jedes Ergebnis <math>\omega</math> mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit eintritt. Weiter sei der Preisprozess ein <math>2</math>-dimensionaler stochastischer Prozess, wobei das erste Element <math>B</math> eine risikolose Anlage mit Zinsrate <math>r > -1</math> darstellt und das zweite Element <math>S</math> eine risikobehaftete Anlage. Dabei ist <math>S</math> definiert zu Beginn durch einen Startwert <math>S_0</math> und zu jedem Zeitpunkt <math>t \in \{1,\ldots,T\}</math> durch
:<math>S_t = S_0 \prod_{s=1}^t (1+R_s)</math>,
wobei der Prozess <math>R</math> definiert ist durch
:<math>R_s(\omega) =
\begin{cases}
o \qquad \text{wenn } Y_s(\omega) = \uparrow \\
u \qquad \text{wenn } Y_s(\omega) = \downarrow
\end{cases}</math>mit <math>o > u > -1</math>
die prozentualen Veränderungen („nach <u>o</u>ben“ bzw. „nach <u>u</u>nten“) des Wertes von <math>S</math> zwischen zwei konsekutiven Zeitpunkten.

== Eigenschaften ==
'''Satz'''<ref>{{Literatur |Autor=Harald Luschgy |Titel=Optionspreistheorie |Sammelwerk=Martingale in diskreter Zeit |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-29960-5 |DOI=10.1007/978-3-642-29961-2_8 |Seiten=283–308 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-642-29961-2_8 |Abruf=2025-07-15}}</ref> Das Binomialmodell ist genau dann [[Arbitragefreiheit|arbitragefrei]], wenn <math>u < r < o</math>. In diesem Falle ist es sogar [[Vollständiger Kapitalmarkt|vollständig]]. Unter dem eindeutigen Martingalmaß <math>\mathbb{P}^\ast</math>sind <math>Y_1, \ldots, Y_T</math> bzw. <math>R_1,\ldots,R_T</math> [[unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen]] und es gilt
:<math>\mathbb{P}^\ast[Y_t = \uparrow]
= \mathbb{P}^\ast[R_t = o]
= p^\ast
= \frac{r-u}{o-u}</math>

für alle <math>t \in \{1,\ldots,T\}</math>.

'''Bemerkung''' Tatsächlich würde im Falle <math>r \geq o</math> die risikolose Anlage <math>B</math> so attraktiv werden, dass ein Arbitrageur eine unbegrenzt große ungedeckte [[Long- und Short-Position|Shortposition]] in der risikobehafteten Anlage <math>S</math> eingehen würde, um damit eine unbegrenzt große [[Long- und Short-Position|Longposition]] in <math>B</math> aufbauen zu können. Im Falle <math>r \leq u</math> würde hingegen <math>S</math> so attraktiv werden, dass der Arbitrageur eine unbegrenz große Longposition darin halten würde, die er durch eine unbegrenzt große ungedeckte Shortposition in <math>B</math>, das wäre also eine Kreditaufnahme, finanzieren würde.

'''Korollar'''. In einem arbitragefreien Binomialmodell ist der Wertprozess <math>W</math> eines [[Derivat (Wirtschaft)|Derivats]] <math>H</math> und die [[Duplikationsprinzip|duplizierende]] Handelsstrategie <math>\xi</math> gegeben durch
:<math>\mathbb{E}^\ast[H\vert\mathcal{F}_t] = W_t = W_0 + \sum_{s=1}^t \xi_s (X_s - X_{s-1}) = w_t(X_0,\ldots,X_t)</math>
für alle <math>t \in \{0,\ldots,T\}</math>, wobei
:<math>w_t(X_0,\ldots,X_t) = \mathbb{E}^\ast\Bigg[h\Bigg(x_0,\ldots,x_t,x_t \frac{X_1}{X_0},\ldots,x_t \frac{X_{T-t}}{X_0}\Bigg)\Bigg]</math>
und <math>H = h(X_0,\ldots,X_T)</math>. Überdies gilt die [[Rekursion]]
:<math>w_t(x_0,\ldots,x_t) = p^\ast w_{t+1}(x_0,\ldots,x_t,x_t(1+o)) + (1-p^\ast) w_{t+1}(x_0,\ldots,x_t,x_t(1+u))</math>
mit Endbedingung <math>w_T(x_0,\ldots,x_T) = h(x_0,\ldots,x_T)</math> und die duplizierende Handelsstrategie <math>\xi</math> ist durch <math>\xi_t = \Delta_t(X_0,\ldots,X_{t-1})</math> gegeben, wobei
:<math>\Delta_t(x_0,\ldots,x_{t-1}) = \frac{w_{t}(x_0,\ldots,x_{t-1},x_{t-1}(1+o)) - w_{t}(x_0,\ldots,x_{t-1},x_{t-1}(1+u))}{x_{t-1}(o-u)}</math>

'''Bemerkung'''. Unter dem wahren Wahrscheinlichkeitsmaß <math>\mathbb P</math> kann die erste Bewegung <math>Y_1</math> theoretisch die letzte Bewegung <math>Y_T</math> beträchtlich beeinflussen. Unter dem äquivalenten Martingalmaß <math>\mathbb{P}^\ast</math>hingegen sind die Zeitzustandsentwicklungen <math>Y_t</math> [[u.i.v.]]

== Anwendung ==

=== Risikoneutrale Bewertung ===
[[Datei:Zweistufiges CRR.svg|alternativtext=Schematische Darstellung eines Binomialmodells über zwei Zeitschritte|mini|480x480px|Binärbaum eines zweistufigen CRR-Modells mit den Wahrscheinlichkeiten ''p'' und ''1-p'']]
Das Binomialmodell lässt sich zur [[Risikoneutrale Bewertung|risikoneutralen Bewertung]] mittels [[Martingalmaß#Äquivalentes Martingalmaß|äquivalenter Martingalmaße]] nutzen. Die Bewertung wird so vorgenommen, dass die Marktteilnehmer [[Risikoneutralität|risikoneutral]] seien.<ref name=":1">{{Literatur |Autor=Dietmar Pfeifer |Titel=Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastikunterricht |Sammelwerk=[[Stochastik in der Schule]] |Band=20 |Nummer=2 |Verlag=Verein zur Förderung des schulischen Stochastikunterrichts e.V. |Ort=Dortmund / Greifswald |Datum=2000}}</ref> Der aktuelle Aktienkurs wird als diskontierter Erwartungswert zukünftiger Aktienkurse verstanden.<ref name=":0" />

:<math>S_0 = \mathbb{E}\Bigg[\frac{S_T}{(1+r)^T}\Bigg] = \frac{p S^\uparrow+(1-p)S^\downarrow}{(1+r)^T} </math>

Der Aktienpreis zum Endzeitpunkt ist per definitionem entweder <math>S^\uparrow = S_0 (1+o) </math> oder <math>S^\downarrow = S_0 (1+u) </math>. Indem wir die Gleichung nach der Wahrscheinlichkeit <math>p </math>, dass der Aktienpreis steigt, isolieren, erhalten wir

:<math>p=\frac{(1+r)^T-(1+u)}{o-u} </math>

bzw. für die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienpreis fällt,

:<math>(1-p)=\frac{1+o-(1+r)^T}{o-u} </math>

Analog erhalten wir für den risikoneutral bewerteten Preis der Kaufoption

:<math>C_0=\frac{p C^\uparrow+(1-p)C^\downarrow}{(1+r)^T} </math>

bzw. der Verkaufsoption

:<math>P_0 = \frac{p P^\uparrow+(1-p)P^\downarrow}{(1+r)^T} </math>

=== Optionspreisbestimmung ===
Zur Bewertung einer Option werden zunächst die Rückzahlungen in der Folgeperiode betrachtet. Im Fall des Kaufs einer [[Kaufoption]] wird die Option bei gestiegenem Kurs ausgeübt. Dann erhält der Käufer eine Rückzahlung (wenn ein Barausgleich vereinbart war) oder er erhält die Aktie zum Bezugspreis und kann sie zum höheren Kurs veräußern. Ist dagegen der Aktienkurs unter den Bezugspreis gefallen, lässt der Käufer die Option verfallen; er erhält dann keine Auszahlung.

==== Beispiel im Einperiodenmodell ====
Angenommen, eine Aktie kostet 10 € zu einem festgelegten Startzeitpunkt. Zusätzlich wird eine Kaufoption zur Aktie gehandelt. In einem Jahr kann die Aktie entweder 11 € (Optionswert beträgt dann 1 €) oder 9 € (Optionswert ist dann null) wert sein. Wir möchten den Preis <math>C_0</math> der Kaufoption zum Startzeitpunkt bestimmen. Zu diesem Zweck wird ein [[Handelsstrategie (Finanzmathematik)|Portfolio]] mit <math>x</math> Aktien [[Long- und Short-Position|long]] und einer Kaufoption [[Long- und Short-Position|short]] (d. h. wird also eine Kaufoption veräußert) gebildet. Der [[Barwert]] des Portfolios erfüllt als die Gleichung
:<math>W_0 = 10x - C_0</math>

Die Anzahl <math>x</math> der Aktien, wofür das Portfolio in beiden Möglichkeiten denselben Wert annimmt, ist unabhängig von deren Eintrittswahrscheinlichkeit risikolos.<ref name=":0" /> Das bedeutet zum Endzeitpunkt gilt <math display="inline">11x - 1 = 9x </math> woraus folgt, dass <math display="inline">x = \frac12</math>. In beiden Situationen ist der Portfoliowert zum Endzeitpunkt 4,5 €. Der Barwert des Portfolios zum Startzeitpunkt (bei Annahme eines risikolosen Zinses von 3 % p. a.) ist <math display="inline">W_0 = 4{,}5e^{-0{,}03} = 4{,}367</math> €.

Der Optionspreis <math>C_0</math> zum Startzeitpunkt lässt sich dann mittels eines der beiden Szenarien (beliebig gewählt) bestimmen, z. B.
:<math> 4{,}367 {\;\stackrel{!}{=}\;} W_0 = 10 \cdot \frac12-C_0 = 5-C_0 </math>
Der Optionspreis beträgt zum Startzeitpunkt somit <math> C_0=0{,}633</math> €.

==== Beispiel im mehrstufigen Binomialmodell für europäische Optionen ====
[[Datei:CRR-02.png|mini|Rekombinierender Baum eines mehrstufigen Binomialmodells mit einem konstanten Bankkontoprozess (''r''=0)]]
Das Einperiodenmodell kann natürlich verfeinert werden, indem man die Zeitintervalle verkürzt und mehrere Zeitpunkte betrachtet. Außerdem können auch mehrere mögliche Zustände betrachtet werden. In einem solchen ''mehrstufigen Binomialmodell'' dürfen sich Aktienkurse zwischen zwei aufeinander folgenden Zeitpunkten ändern. Im mehrstufigen Binomialmodell wird zwischen [[Europäische Option|europäischen]] und [[Amerikanische Option|amerikanischen Optionen]] unterschieden.

Beim mehrstufigen Binomialmodell unterscheidet man [[Rekombination (evolutionärer Algorithmus)|rekombinierende]] (im Falle, dass <math>o \times u = 1</math>) von nicht rekombinierenden [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]]. Nicht rekombinierende Bäume sind erforderlich bei [[Pfadabhängigkeit|pfadabhängigen]] Optionen (wie [[Barriere-Option]]en oder [[Asiatische Option|asiatische Optionen]]). Die Umschichtung zu jedem Zeitpunkt muss durch eine [[selbstfinanzierende Strategie]] erfolgen.

''Bemerkung: Im nachfolgenden Beispiel variieren die Faktoren <math>o \equiv (o_i)_i</math> und <math>u \equiv (u_i)_i</math> je nach Zustand'' <math>i</math>''. Es handelt sich streng genommen nicht mehr um das CRR-Modell, sondern um eine verallgemeinerte Form des Binomialmodells. Dadurch bleibt das nachfolgende Beispiel jedoch leicht zu berechnen, ohne von der Herangehensweise der Berechnung nennenswert abzuweichen.''

Betrachte zum Startzeitpunkt <math>t=0</math> eine risikolose Anlage mit [[Momentanzins]]satz <math>r=0{,}05</math>, eine Aktie mit Startwert bei 50 € und eine binäre Option <math>C^b</math> mit Auszahlung von 1 € wenn der Aktienkurs gestiegen ist und null wenn der Aktienkursgefallen ist.

Angenommen, zum ersten Zeitpunkt <math>t=1</math> nach dem Startzeitpunkt kann die Aktie entweder 54 € oder 49 € wert sein. Dann muss im Rahmen der risikoneutralen Bewertung gelten, dass <math display="inline">(54 q_0 +49 (1-q_0))/(1+r) = 50</math>. Dadurch lässt die Wahrscheinlichkeit für einen Kursanstieg berechnen
:<math>q_0 = \frac{50 \cdot 1{,}05 - 49}{54 - 49} = 0{,}7</math>
Der Preis der binären Option wäre bei Ausübung nach dem ersten Zeitpunkt
:<math>C^b_0 = \frac{q_0 C^b_{1,\uparrow} + (1-q_0) C^b_{1,\downarrow}}{1+r} = \frac{q_0}{1+r} = 0{,}67</math>
und lässt sich als [[State-Preference-Theorie|Zustandpreis]] interpretieren. Im darauffolgenden Zeitpunkt <math>t=2</math> kann die Aktie nun vier Zustände erreichen. War sie zum vorigen Zeitpunkt bei 54 €, dann mag sie entweder 57 € oder 52 € wert sein. War sie hingegen 49 € wert, dann kann sie nun 52 € oder 48 € wert sein. Es lassen sich wieder die Wahrscheinlichkeiten für einen Kursanstieg berechnen. Wenn die Aktie zuvor bei 54 € stand ist die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstieges

:<math>q_{1,\uparrow} = \frac{54(1+r)-52}{57-52} = 0{,}94</math>

Stand sie hingegen bei 49 € ist die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstieges

:<math>q_{1,\downarrow} = \frac{49(1+r)-48}{52-48} = 0{,}8625</math>

Der Preis der binären Option bei Ausübung nach dem zweiten Zeitpunkt lässt sich [[Induktion (Mathematik)|induktiv]] berechnen, indem man zunächst den Wert der binären Option mit Startzeitpunkt <math>t=1</math> und Endzeitpunkt<math>t=2</math> für die beiden möglichen Fälle berechnet. Indem man diese beiden Preise dann entsprechende der Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtet und [[Abzinsung und Aufzinsung|abzinst]], erhält man den Preis der binären Option mit Startzeitpunkt <math>t=0</math> und Endzeitpunkt <math>t=2</math>.

:<math>\begin{array}{lll}
C^b_0
& \displaystyle = \frac{q_0 C^b_{1,\uparrow} + (1-q_0) C^b_{1,\downarrow}}{1+r} \\
& \displaystyle = \frac{q_0 \frac{q_{1,\uparrow} C^b_{2,\uparrow\uparrow} + (1-q_{1,\uparrow}) C^b_{2,\uparrow\downarrow}}{1+r} + (1-q_0) \frac{q_{1,\downarrow} C^b_{2,\downarrow\uparrow} + (1-q_{1,\downarrow}) C^b_{2,\downarrow\downarrow}}{1+r}}{1+r} \\
& \displaystyle = \frac{q_0q_{1,\uparrow} + q_0(1-q_{1,\uparrow}) + (1-q_0)q_{1,\downarrow}}{(1+r)^2} \\
& \displaystyle = \frac{q_0 + (1-q_0)q_{1,\downarrow}}{(1+r)^2} \\
& \displaystyle = 0{,}8696
\end{array}</math>

=== Duplizierung ===
{{Hauptartikel|Duplikationsprinzip}}Eine Kaufoption auf eine Aktie lässt sich mittels eines Portfolios aus <math>x</math> Aktien und einem Kredit (festverzinslichen Titeln) duplizieren, d. h. <math>C_0 = x S_0 - B_0 </math>wird erfüllt. Die Option wird also als kreditfinanzierter Aktienkauf dupliziert (Für eine Verkaufsoption wäre es unter Notationsmissbrauch ebenfalls <math>P_0 = x S_0 - B_0 </math>). Aus der [[Arbitragefreiheit]]sbedingung folgt, dass der Wert dieses Portfolios dem heutigen Optionswert entspricht. Indem wir nach <math>B_0</math>isolieren, erhalten wir

:<math>B_0 = (x S^{\uparrow\downarrow} -C^{\uparrow\downarrow})(1+r)^{-T} </math>
(bzw. <math>B_0 = (x S^{\uparrow\downarrow} -P^{\uparrow\downarrow})(1+r)^{-T} \ </math>für eine Verkaufsoption). Indem die Gleichung nach den beiden möglichen Szenarien (Kurs steigt oder Kurs fällt) aufgeschlüsselt wird, erhalten wir das Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
:<math>\begin{cases}
S^\uparrow \cdot x - (1+r)^T \cdot y=C^\uparrow \\
S^\downarrow \cdot x - (1+r)^T \cdot y=C^\downarrow
\end{cases}</math>

wobei <math>x</math> die Anzahl der Aktien je Kaufoption und <math>y=B_0</math> der Kreditumfang je Kaufoption ist. Wir isolieren <math>y</math> in der zweiten Gleichung und ersetzen es in der ersten Gleichung. Wenn wir die erste Gleichung nach <math>x</math> isolieren, erhalten wir das Verhältnis der Differenz der Kaufoptionspreise <math>C^\uparrow - C^\downarrow</math> ist zur Differenz der Aktienpreise <math>S^\uparrow - S^\downarrow</math>, also
:<math>x =\frac{C^\uparrow - C^\downarrow}{S^\uparrow - S^\downarrow} =: \Delta_C</math>
Dieses Verhältnis wird in der Finanzmathematik [[Griechen (Finanzmathematik)#Delta|Delta]] genannt. Das Delta ist wichtig bei der Bewertung und Absicherung. Es ist die Sensitivität des Optionspreises auf Änderung des Aktienkurses um eine Einheit. Das Delta wird als das Verhältnis der Änderung des Optionspreises zur Änderung des zugrunde liegenden Aktienkurses definiert. Das Delta einer Verkaufsoption ist durch
:<math>\Delta_P = \frac{P^\uparrow - P^\downarrow}{S^\uparrow - S^\downarrow}</math>
gegeben. Das Delta einer Kaufoption ist positiv, jenes einer Verkaufsoption negativ. Bei zweistufigen Binomialbäumen wird das Delta für die beiden Zeitschritte angegeben, wobei beim zweiten Zeitschritt die Auf- und Abwärtsbewegung berücksichtigt wird. Das CRR-Modell erfüllt eine vereinfachte derivate Form der [[Put-Call-Parität]] <math>\Delta_P=\Delta_C -1 \ </math>.<ref name=":1" />

== Ausübungseigenschaften ==
=== Prinzip der dynamischen Umschichtungsstrategie ===
Mit einer dynamischen Umschichtungsstrategie mit nur zwei Instrumenten ist jedes Zahlungsprofil am Erfüllungszeitpunkt erzeugbar. Über dynamische Handelsstrategien wird ein [[vollständiger Kapitalmarkt]] erzeugt.

=== Abzinsung ===
Risikobehaftete [[Zahlungsströme]] müssen mit dem risikoadjustierten Zinssatz abgezinst werden (z. B. mit dem [[Capital Asset Pricing Model|CAPM]]-Zinssatz). Jedoch ist die Risikoeigenschaft einer Option abhängig von der Höhe des Aktienkurses und der Restlaufzeit. Der [[Risikofreier Zinssatz|risikoadjustierte Zinssatz]] ist <math>f(S_t, T-t)</math>; die genaue Funktionsform ist unbekannt.

Aus der Vollständigkeit des Kapitalmarktes folgt, dass man im Zeitablauf in jedem Knoten lokal ein risikoloses Portfolio aus Aktie long und einer Kaufoption short erzeugen kann. Der Barwert ergibt sich hier also aus dem risikolosen Zinssatz, der hier der passende Zinssatz ist.

=== Dividenden ===
Bei diskreten Dividenden, die proportional zum Kurs gezahlt werden, bleibt der Baum rekombinierend. Dies entspricht zwar nicht der Praxis, aber so lässt sich der zugehörige Binärbaum numerisch beherrschen. Damit kommt jedoch einher, dass der Optionswert von der Ausübungsstrategie abhängt.

== Siehe auch ==
* [[Korn-Kreer-Lenssen-Modell]]

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=Jürgen Kremer |Titel=Mehr-Perioden-Modelle |Sammelwerk=Einführung in die Diskrete Finanzmathematik |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-25394-5 |DOI=10.1007/3-540-29268-3_3 |Seiten=143–227}}
* {{Literatur |Autor=Albrecht Irle |Titel=Preistheorie im n-Perioden-Modell |Sammelwerk=Finanzmathematik |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=978-3-519-12640-9 |DOI=10.1007/978-3-663-10069-0_3 |Seiten=61–87}}
* {{Literatur |Autor=Ralf Korn |Titel=Zeitdiskrete Finanzmarktmodelle |Sammelwerk=Moderne Finanzmathematik – Theorie und praktische Anwendung |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-04126-7 |DOI=10.1007/978-3-658-04127-4_1 |Seiten=1–55}}
* {{Literatur |Autor=Nicole Bäuerle, Ulrich Rieder |Titel=Cox-Ross-Rubinstein-Modell |Sammelwerk=Finanzmathematik in diskreter Zeit |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53530-1 |DOI=10.1007/978-3-662-53531-8_3 |Seiten=21–36}}
* Stefan Reitz: ''Mathematik der modernen Finanzwelt. Derivate, Portfoliomodelle und Ratingverfahren.'' Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-0943-8, Kapitel 3.
* Steven E. Shreve: ''Stochastic Calculus for Finance I. The Binomial Asset Pricing Model.'' Springer, New York 2005, ISBN 0-387-24968-0.

== Weblinks ==
* [https://www.gabler-banklexikon.de/definition/cox-ross-rubinstein-modell-56778 Eintrag] im Gabler Wirtschaftslexikon
* [https://www.macroption.com/cox-ross-rubinstein-excel/ Artikel] zur Implementierung des Modells in Microsoft Excel (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Optionsgeschäft]]

Cox-Ross-Rubinstein-Modell - Versionsgeschichte

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