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2025-11-05T20:20:51Z

Zahlenbeispiel: Notation korrigiert

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Der '''cournotsche Punkt''' ist eine besonders im deutschsprachigen Raum bekannte Bezeichnung für denjenigen Punkt auf der [[Preis-Absatz-Funktion]] eines [[Monopol]]unternehmens, an dem sich das Unternehmen im [[Gewinnmaximum]] befindet. Im Mengen-Preis-Diagramm erfasst der Punkt also die zwei Koordinaten ''Menge'' und ''Preis''. Der cournotsche Punkt ist damit salopp gesprochen die Antwort auf die Frage, welche Preis-Mengen-Kombination für einen Monopolisten gewinnmaximal ist.<ref>Artur Woll: ''Volkswirtschaftslehre.'' 12. Auflage. 1996, ISBN 3-8006-2091-X, S. 205.</ref> Er ist das Ergebnis monopolistischer [[Preisbildung]].

Benannt ist dieser Punkt nach dem [[Frankreich|französischen]] [[Wirtschaftswissenschaften|Wirtschaftswissenschaftler]] [[Antoine-Augustin Cournot]] (1801–1877).<ref>Edwin Böventer, Gerhard Illing: ''Einführung in die Mikroökonomie.'' 8., vollst. neu bearb. u. erw. Auflage. R. Oldenbourg, 1997, ISBN 3-486-23070-0, S. 300.</ref>

Typisch für den cournotschen Punkt ist, dass dieser links vom [[Erlös]]maximum liegt. Mit anderen Worten: im Gewinnmaximum wird eine geringere Menge des Gutes abgesetzt, als dies im Erlösmaximum der Fall wäre.

== Berechnung ==
[[Datei:Cournotscher Punkt 2.png|mini|400px|Cournotscher Punkt graphisch]]

Berechnung des cournotschen Punkts (<math>C</math>) mit gewinnmaximalem Preis (<math>p_\mathrm{c}</math>) und gewinnmaximaler Absatzmenge (<math>x_\mathrm{c}</math>):

Im Gegensatz zum Unternehmen im [[Vollkommener Wettbewerb|vollkommenen Wettbewerb]], das für sein Produkt einen [[Markt]]preis akzeptieren muss, kann der Monopolist den Verkaufspreis gewinnmaximierend festsetzen. Er muss dafür eine [[Nachfragefunktion]], d. h. zu welchem Preis er wie viel von dem Produkt absetzen kann, annehmen.
Alternativ kann er sich mit seiner Preispolitik schrittweise dem Gewinnoptimum nähern ([[Cobweb-Theorem]]).

:<math>x=x(p)</math>,

bzw. als Umkehrfunktion die [[Preis-Absatz-Funktion]] als

:<math>p=p(x)</math>.

Daraus bestimmt sich der Gesamterlös <math>E</math> als Preis × Menge

:<math>E(x)=p(x)x</math>.

Mit der Gesamtkostenfunktion <math>K(x)</math> erzielt das Unternehmen den Gewinn <math>G(x)</math> als

:<math>G(x)= E(x) - K(x)</math>.

Um den maximalen Gewinn zu ermitteln, wird die erste [[Differentialrechnung|Ableitung]] von <math>G(x)</math> gebildet (d. h. <math>G'(x)</math>) und gleich Null gesetzt. Die ermittelten [[Nullstelle]]n (bei S-förmigem Kostenverlauf oder anderen nicht-linearen Gewinnverläufen) müssen nun in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Die Nullstelle, bei der diese zweite Ableitung negativ ist, ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge <math>x_c</math>, die den cournotschen Punkt definiert. Um nun den cournotschen Punkt zu erhalten, wird der zu <math>x_\mathrm{c}</math> gehörende Preis <math>p_\mathrm{c}</math> aus der Preis-Absatz-Funktion ermittelt.

Da man beim Maximieren der Gewinnfunktion wegen

:<math>G'(x)= E'(x) - K'(x)=0</math>

auch

:<math>E'(x) = K'(x)</math>

schreiben kann, folgt, dass sich der ''cournotsche Punkt'' auch berechnen lässt, indem man direkt die [[Grenzkosten]] <math>K'(x)</math> dem [[Grenzerlös]] <math>E'(x)</math> gleichsetzt. Der <math>x</math>-Wert des Schnittpunkts bildet die gewinnmaximale Absatzmenge <math>x_\mathrm{c}</math>. Dieser muss in die Preis-Absatz-Funktion eingesetzt werden, um den gewinnmaximalen Preis <math>p_\mathrm{c}</math> zu bestimmen. Gewinnmaximale Absatzmenge und zugehöriger Preis bilden zusammen den cournotschen Punkt.

=== Zahlenbeispiel ===
[[Datei:cournot.png|mini|400px|Absolute Werte graphisch: dunkelblaue Kurve Erlös, pinke Kurve Kosten und grüne Kurve der sich ergebende Gewinn, die gestrichtelte Linie zeigt den cournotschen Punkt]]
Ein Monopolist produziert extraleichte Trekkingschuhe. Die Vertriebsleitung hat festgestellt, dass die Nachfrage <math>x</math> [Stück Gebinde] nach diesen Schuhen vom Preis <math>p</math> [Geldeinheiten (GE)] abhängt, und zwar mit der Nachfragefunktion

:<math>x(p)=100-0{,}01p</math>.

Umgekehrt ergibt sich die Preis-Absatz-Funktion (Nachfragefunktion abhängig von <math>x</math>) als

:<math>p(x)=10.000-100x</math>.

D. h., dass das Unternehmen bei einem Preis von 10.000 GE kein Paar mehr verkauft ([[Prohibitivpreis]]) und selbst bei einem Preis von 0 GE nicht mehr als 100 Gebinde verkauft ([[Sättigungsmenge (Wirtschaft)|Sättigungsmenge]]).

Bewertet man die nachgefragte Menge <math>x</math> mit dem jeweilig gültigen Preis, erhält man den Erlös als Funktion

:<math>E(x)=p(x)x=10.000x-100x^2</math>.

Dem Unternehmen entstehen durch die Produktion der Trekkingschuhe Gesamtkosten, die von der Ausbringungsmenge <math>x</math> [Stück Gebinde] abhängig sind. Die Kosten des Unternehmens lassen sich in der Kostenfunktion

:<math>K(x)=50.000+3.000x</math>

zusammenfassen. Der Gewinn berechnet sich dann als Erlös minus Kosten, also

:<math>G(x)=E(x)-K(x)=10.000x-100x^2-50.000-3.000x</math>,

so dass man als Gewinnfunktion

:<math>G(x)= 7.000x-100x^2-50.000</math>

erhält.

Um das Gewinnmaximum im cournotschen Punkt zu erhalten, bestimmt man das Maximum der Gewinnfunktion durch Differenzieren von <math>G(x)</math>:

:<math>G'(x)= 7.000-200x</math>.

Das Nullsetzen der Ableitung ergibt dann die Lösung <math>x_\mathrm{c}=35</math> und <math>G(x_c)=72.500</math>.

Da die zweite Ableitung

:<math>G''=-200</math>

kleiner als Null ist, handelt es sich bei der Lösung um ein Gewinnmaximum.

Zur ''cournotschen Menge''

:<math>x_\mathrm{c} = 35 </math>

gehört der ''cournotsche Preis''

:<math>p(x_\mathrm{c})=10000-100x_\mathrm{c}</math>,

also

:<math>p(35)=10000-100\cdot35</math>,

also

:<math>p_\mathrm{c}=6500</math>.

Zum Preis von 6500 GE können also 35 Gebinde Schuhe verkauft werden. Damit erzielt das Unternehmen 72.500 GE Gewinn. (<math>G(35)=7000\cdot35-100\cdot35^2-50.000</math>)

Wie oben erklärt, ist es auch möglich, gleich <math>E' = K'</math> zu setzen. Dies liefert dieselben Ergebnisse.

Die allgemeine Lösung der Gewinnoptimierung bei Wettbewerb sowie bei begrenzter Kapazität findet sich in [Gudehus 2007]. Wenn zur Kapazitätssteigerung investiert werden muss, sind auch die Fixkosten bei der Berechnung des absoluten Cournot-Punktes zu berücksichtigen.

== Literatur ==
* T. Gudehus: ''Dynamische Märkte, Praxis, Strategien und Nutzen für Wirtschaft und Gesellschaft.'' Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-72597-8, 12.4 ''Gewinnmaximierung.'' und 12.5 ''Cournotscher Punkt.''

== Weblinks ==
* [https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/monopolistische-preisbildung-41281 monopolistische Preisbildung] – Definition im Gabler-Wirtschaftslexikon

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mikroökonomie]]

Cournotscher Punkt - Versionsgeschichte

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