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2026-04-25T21:00:37Z

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Mit der '''Cornish-Fisher-Methode''' (nach E. A. Cornish und [[Ronald Aylmer Fisher]]) kann das [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] einer [[Verteilungsfunktion]] auf Basis der ersten vier [[Moment (Stochastik)|Momente]] ([[Erwartungswert]], [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]], [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] und [[Kurtosis]]) abgeschätzt werden.<ref>[https://www.jstor.org/stable/1266546 ''Preview: The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants''] bei jstor.org, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref> Basis ist die Bestimmung eines Quantils einer [[Normalverteilung]].<ref>[https://www.risk.net/journal-of-risk/5311726/inefficiency-and-bias-of-modified-value-at-risk-and-expected-shortfall ''Inefficiency and bias of modified value-at-risk and expected shortfall''] bei risk.net, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref> Im Falle einer Normalverteilung mit Erwartungswert <math>E(X)</math> können die Quantile der Verteilung dargestellt werden als
:<math>Q_\alpha(X)=F^{-1}_x(\alpha)=E(X)+q_\alpha \cdot \sigma(X)</math>.

Hierbei ist der Faktor <math>q_\alpha</math> nur vom betrachteten Quantil <math>\alpha</math> abhängig und entspricht dem Wert der invertierten Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]] an der Stelle <math>\alpha</math>.

Die Cornish-Fisher-Erweiterung berücksichtigt nun die Schiefe <math>\gamma</math> und die Wölbung <math>\delta</math> einer Verteilung, womit sich natürlich andere Quantile als bei der Normalverteilung ergeben, deren Schiefe 0 und Kurtosis 3 beträgt. Hierbei wird der Faktor <math>q_\alpha</math> angepasst mittels
:<math>z_\alpha=q_\alpha+\frac 1 6 (q_\alpha^2 -1) \cdot \gamma+\frac 1 {24} (q_\alpha^3 -3q_\alpha) \cdot \varepsilon-\frac 1 {36} (2q_\alpha^3 -5q_\alpha) \cdot \gamma^2</math>

dabei bezeichnet <math>\varepsilon = \delta - 3</math> den Exzess, d. h. die über die Wölbung der Normalverteilung hinausgehende Wölbung (Überkurtosis).

(Cornish-Fisher-Abschätzung).<ref>[https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15277/1/281.pdf ''The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants''] bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref>

Die Berechnung der Quantilsfunktion lautet damit
:<math>Q_\alpha(X)=E(X)+z_\alpha \cdot \sigma(X) \,</math>.

Die Methode ermöglicht unter anderem eine bessere Abschätzung von quantilsbezogenen [[Risikomaß]]en, z. B. dem [[Value at Risk]], wenn die Normalverteilungshypothese verletzt ist.<ref>[https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15229/1/148.pdf ''Moments and cumulants in the Specification of Distributions''] bei digital.library.adelaide.edu.au/, abgerufen am 3. Mai 2022.</ref>

== Weblinks ==
* [https://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15229/1/148.pdf ''Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A.: Moments and cumulants in the Specification of Distributions''] PDF-Datei (engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]

Cornish-Fisher-Methode - Versionsgeschichte

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