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2025-09-16T06:14:20Z

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Eine '''Copula''' (Pl. ''Copulas'' oder ''Copulae'') ist eine Funktion, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den [[Randverteilung]]sfunktionen verschiedener [[Zufallsvariable]]n und ihrer gemeinsamen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] angeben kann.

Mit ihrer Hilfe kann man [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastische Abhängigkeit]] deutlich flexibler modellieren als beispielsweise mit [[Korrelationskoeffizient]]en.

== Definition ==
Eine Copula ist eine [[Multivariate Verteilung|multivariate Verteilungsfunktion]] <math>C\colon[0,1]^n\rightarrow [0,1]</math>,
deren eindimensionale [[Randverteilung]]en [[Gleichverteilung|gleichverteilt]] über dem Intervall <math>[0,1]</math> sind. Formal ausgedrückt bedeutet dies folgendes:

* <math>C</math> ist multivariate Verteilungsfunktion, das heißt
** <math>\forall u \in [0,1]^n\colon\min\{u_1,\dotsc,u_n\}=0\implies C(u)=0</math>,
** <math>C</math> ist <math>n</math>-steigend, das heißt, für jedes [[Hyperrechteck]] <math>R=\prod_{i=1}^{n}[x_i,y_i]\subseteq [0,1]^n</math> ist das <math>C</math>-Volumen nicht negativ: <math> V_{C}\left( R\right):=\sum_{\mathbf z\in \prod_{i=1}^{n}\{x_i,y_i\}} (-1)^{N(\mathbf z)} C(\mathbf z)\ge 0</math>, wobei <math>N(\mathbf z):=|\{k\mid z_k=x_k\}|</math>,

* Die eindimensionalen Randverteilungen von <math>C</math> sind uniform auf dem Einheitsintervall: <math>\forall j\in\{1,\dotsc,n\} \forall u=(u_1, \dotsc, u_n)\in \{1\}^{j-1}\times[0,1]\times\{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_j</math>.

Die Forderung an die Randverteilungen lässt sich wie folgt motivieren:
Für <math>n \in \N</math> beliebig verteilte [[Zufallsvariable]]n <math>X_1,X_2,\dotsc,X_n</math> mit stetigen Verteilungsfunktionen <math>F_{X_i}</math> (<math>i\in\{1,2,\dotsc,n\}</math>) ist die Zufallsvariable <math>F_{X_i}(X_i)</math> gleichverteilt über dem Intervall <math>[0,1]</math>.
Zusammen mit dem folgenden Satz von Sklar wird die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeiten unter diesen möglich.

== Satz von Sklar ==
Im Folgenden sei <math>\overline{\R}:=\R \cup \{-\infty, +\infty \}</math> eine Erweiterung der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]].

Sei <math>F \colon {\overline{\R}}^n \rightarrow [0,1]</math> eine <math>n</math>-dimensionale Verteilungsfunktion ([[multivariate Verteilungsfunktion]]) mit eindimensionalen Randverteilungen <math>F_1, \dotsc, F_n \colon \overline{\R} \rightarrow [0,1]</math>. Dann existiert eine <math>n</math>-dimensionale Copula <math>C</math>, sodass für alle <math>(x_1, \dotsc, x_n) \in {\overline{\R}}^n\ </math> gilt:
:<math> F(x_1,x_2,\dotsc,x_n) = C\left( F_1\left(x_1\right), \dotsc, F_n\left(x_n \right) \right).</math>
Sind alle <math>F_i</math> stetig, so ist die Copula eindeutig.

== Fréchet-Hoeffding-Schranken ==
Für jede <math>n</math>-variate Copula <math>C</math> gelten die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke:
* <math> C(u_1,\ldots,u_n) ~\ge~ \max\left\{\sum\limits_{i=1}^n {u_i} +1-n, ~0 \right\} ~=:~ W(u_1,\ldots,u_n) </math>,
und die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke:
* <math>C(u_1,\ldots,u_n) ~\le~ \min\{u_1,\ldots,u_n\} ~=:~ M(u_1,\ldots,u_n)</math>.

Die obere Schranke <math>M</math> ist selbst eine Copula, die untere Schranke <math>W</math> hingegen nur für <math>n = 2</math>.

== Anwendung ==
Copulae werden eingesetzt, um Rückschlüsse auf die Art der stochastischen Abhängigkeit verschiedener Zufallsvariablen zu erzielen oder um Abhängigkeiten gezielt zu modellieren. Sie werden beispielsweise in der Kreditrisikoanalyse eingesetzt, um Aussagen über einen gehäuften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios machen zu können.
Analog sind Anwendungen im Versicherungsbereich üblich. Dort stellen gehäuft auftretende Schäden verschiedener Schadenarten ein finanzielles Problem dar. Beispiel hierfür ist ein zu beobachtender Zusammenhang zwischen Sturm- und Hochwasserschäden. Eine weitere zentrale Anwendung im Bereich der [[Finanzmathematik]] ist die Modellierung von operationellen Risiken und die Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Risikoarten (Kredit- und [[Marktrisiko]], Versicherungsrisiko und Kreditrisiko etc.).

== Beispiele für Copulae ==
* Die empirische Copula wird aus den Daten geschätzt
* Die einfachste Form der Copula ist die ''Unabhängigkeitscopula (Produktcopula)''
:<math>C(u_1,\ldots,u_n)= \prod\limits_{i=1}^{n}u_i = u_1 \cdot \ldots \cdot u_n</math>.
: Sie steht für [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängige]] Zufallsvariablen <math>U_1, \ldots, U_n</math>, die gemäß der Copula C verteilt sind. In Zeichen: <math>(U_1,\ldots,U_n) \sim C</math>

* Die obere [[Fréchet-Hoeffding-Schranke]], ebenfalls eine Copula, ist gegeben durch
:<math>C(u_1, \ldots ,u_n)=\min_{i=1, \ldots, n}u_i</math>.
: Sie beschreibt perfekte positive stochastische Abhängigkeit (totale positive Korrelation).

* Die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke ist nur im bivariaten Fall eine Copula:
:<math>C(u_1,u_2)=\max\{u_1+u_2-1,0\}</math>.
: Sie beschreibt eine perfekte negative stochastische Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.

* Die ''Normal-'' oder auch ''Gauß-Copula'' wird mit Hilfe der Verteilungsfunktion der [[Normalverteilung]] <math>F(\cdot)</math> definiert. So ist
:<math>C(u_1,u_2) = F_2(F^{-1}(u_1), F^{-1}(u_2),\rho)\,</math>
: eine Copula, wobei <math>F_2(\cdot, \cdot,\rho)</math> die bivariate Verteilungsfunktion zweier standard-normalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten <math>\rho</math> ist.
: Erzeugt man Punkte, die gemäß der Normal-Copula mit Parameter <math>\rho = 0{,}5</math> verteilt sind, ergibt sich bereits eine leichte Konzentration dieser entlang der Winkelhalbierenden. [[Datei:Normal05simulation1500.png|mini|Simulation der bivariaten Normal-Copula, <math>\rho = 0{,}5</math>, 1500 Punkte]]

* Die nach [[Emil Julius Gumbel]] benannte ''Gumbel-Copula'' wird mit Hilfe der [[Exponentialfunktion]] und dem natürlichen [[Logarithmus]] definiert
:<math> C_{\lambda}(u_1,u_2) = \exp\left(-\left( \left(-\ln u_1\right)^\lambda + \left(- \ln u_2\right)^\lambda \right)^{1/\lambda} \right) </math>,
: wobei <math>\lambda \ge 1 </math> als Parameter fest zu wählen ist.
: Erzeugt man Punkte, die gemäß der Gumbel-Copula mit Parameter <math>\lambda > 1</math> verteilt sind, ergibt sich insbesondere eine Punkthäufung in der Nähe des Punktes <math>(1,1)</math>. [[Datei:gumbel20simulation1500.png|mini|Simulation der bivariaten Gumbel-Copula, <math>\lambda = 2</math>, 1500 Punkte]]

== Archimedische Copulae ==

Archimedische Copulae stellen eine Klasse von Copulae dar. Diese lassen sich wie folgt beschreiben:

Sei <math>\varphi\colon [0,1] \rightarrow [0,\infty]</math> eine stetige, streng monoton fallende Funktion mit <math>\varphi(1)=0</math>. Bezeichne <math>\varphi^{[-1]} \colon [0,\infty] \rightarrow [0,1]\ </math> die Pseudo-Inverse von <math>\varphi</math>, d. h.
:<math>
\varphi^{[-1]}(t) := \begin{cases}
\varphi^{-1}(t), & \text{falls } 0 \leq t \leq \varphi(0) \\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

Mit Hilfe von <math>\varphi</math> und <math>\varphi^{[-1]}</math> lässt sich nun eine bivariate Funktion definieren:
:<math>
C\colon [0,1]^2 \rightarrow [0,1], \quad C(u,v) := \varphi^{[-1]}\left(\varphi\left(u\right) + \varphi\left(v\right)\right)
</math>

Die Funktion <math>C</math> ist genau dann eine Copula, wenn <math>\varphi</math> konvex ist. In diesem Fall heißt <math>\varphi</math> ''Erzeuger'' oder ''Generator'' der Copula. Offensichtlich ist <math>C</math> symmetrisch, d. h. <math>C(u,v) = C(v,u)</math> für alle <math>u,v \in [0,1]</math>.

Beispiele für archimedische Copulae sind:

* ''Gumbel-Copula'': Ihr Erzeuger ist die Funktion <math>\varphi(t) = (-\ln t)^{\lambda}</math> mit Parameter <math>\lambda \geq 1</math>.
: Damit ergibt sich <math>\varphi^{[-1]}(t) = \exp\left(-t^{\frac{1}{\lambda}}\right)</math> und damit die Gumbel-Copula <math>C_{\lambda}(u,v)</math> wie oben.

* ''Clayton-Copula'': Ihr Erzeuger ist die Funktion <math>\varphi(t) = \frac{1}{\Theta} \left( t^{-\Theta} - 1 \right) </math> mit Parameter <math>\Theta > 0</math>.
: Damit ist <math>\varphi^{[-1]}(t) = \left( \Theta \cdot t + 1 \right)^{-\frac{1}{\Theta}}</math> und die bivariate Clayton-Copula ergibt sich zu:
::<math>C(u,v) = \left( u^{-\Theta} + v^{-\Theta} - 1 \right)^{-\frac{1}{\Theta}} </math>

* ''Frank-Copula'': Ihr Erzeuger ist die Funktion <math>\varphi(t) = -\ln \left( \frac{e^{-\Theta \cdot t}-1}{e^{-\Theta}-1} \right)</math> mit Parameter <math>\Theta > 0</math>.

Archimedische Copulae werden oft angewandt, da es sehr einfach ist, Zufallszahlen daraus zu generieren.

== Extremwertcopula ==
=== Definition ===
Eine Copula <math>C</math> heißt Extremwertcopula, wenn es die Copula
einer [[multivariat]]en [[Extremwerttheorie|Extremwertverteilung]] ist, d. h. es existiert eine multivariate Extremwertverteilung <math>G</math> mit univariaten Rändern <math>G_1, \dots , G_n</math>, dass gilt <math>C(u_1, \dots, u_n) = G(G^{-1}_1(u_1), \dots, G^{-1}_n(u_n))</math>.

=== Lemma ===
Eine Copula <math>C</math> ist genau dann eine Extremwertcopula, wenn für <math>\mathbf{0} \leq \mathbf{u} = (u_1, \dots, u_n)^T \leq \mathbf{1}</math> und <math>t > 0</math> gilt <math>C(u_1^t, \dots, u_n^t) = C^t(u_1, \dots, u_n)</math>.

Ist <math>C</math> eine Extremwertcopula und sind <math>G_1, \dots, G_n</math> univariate [[Extremwerttheorie|Extremwertverteilungen]], dann ist <math>G((x_1, \dots, x_n)^T) := C(G_1(x_1), \dots, G_n(x_n))</math>
eine multivariate Extremwertverteilung.

== Zusammenhang zwischen Copula und T-Norm ==
Jede bivariate [[Assoziativgesetz|assoziative]] und [[Kommutativgesetz|kommutative]] Copula ist eine [[T-Norm]] (siehe Grabisch et al. 2009). Beispielsweise sind die bivariate Produktcopula und beide bivariaten Fréchet-Hoeffding-Schranken gleichzeitig T-Normen.

== Literatur ==
* Harry Joe: ''Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134).'' CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-8322-1.

* J.-F. Mai, M. Scherer: ''Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications).'' World Scientific, 2012, ISBN 978-1-84816-874-9.

* J. Wernz: ''Bank Management and Control.'' Springer Nature, 2020, ISBN 978-3-03042865-5.

* Roger B. Nelsen: ''An Introduction to Copulas.'' (= ''[[Lecture Notes in Statistics]]''). Springer Verlag, 2006, ISBN 0-387-28659-4.

* A. Sklar: ''Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward.'' In: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. Taylor (Hrsg.): ''Distributions With Fixed Marginals & Related Topics.'' (= ''Lecture Notes - Monograph Series Number.'' 28). 1997, ISBN 0-940600-40-4.

* Rico Fischer: ''Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk.'' Logos Berlin, 2009, ISBN 978-3-8325-2142-4.

* M. Grabisch, J.-L. Marichal, R. Mesiar E. Pap: ''Aggregation Functions''. Cambridge University Press 2009. ISBN 978-0-521-51926-7. S. 56f. ([https://books.google.de/books?id=gueKp7j49SMC&pg=PA1&hl=de&source=gbs_toc_r&cad=3#v=onepage&q&f=false eingeschränkte Vorschau] in der Google-Buchsuche)

== Weblinks ==
* P. Embrechts, F. Lindskog, A. McNeil: ''Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management.'' In: S. Rachev (Hrsg.): ''Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance.'' Elsevier, Chapter 8, 2003, S. 329–384. [https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/copchapter.pdf (people.math.ethz.ch]; PDF; 818 kB)

* P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann: ''Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls.'' In: M. A. H. Dempster: (Hrsg.): ''Risk Management: Value at Risk and Beyond.'' Cambridge University Press, Cambridge 2002, S. 176–223. ([https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/pitfalls.pdf people.math.ethz.ch]; PDF; 784 kB)

* C. Schölzel, P. Friederichs: ''Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach.'' In: ''Nonlinear Processes in Geophysics.'' 15, 2008, S. 761–772. [http://www.nonlin-processes-geophys.net/15/761/2008/npg-15-761-2008.html (www.nonlin-processes-geophys.net] open access)

* Andreas Beck, Michael Lesko, Frank Schlottmann, Konrad Wimmer: ''Copulas im Risikomanagement.'' In: ''Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen.'' 14/2006. [http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=350 (risknet.de)]

* Michael Lesko, Andreas Beck: ''Zur Modellierung von Abhängigkeiten in der Bankpraxis – Copula-Funktionen zur Ermittlung des Gesamtbankrisikoprofils.'' In: ''Betriebswirtschaftliche Blätter.'' 5/2006. [http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=348 (risknet.de)]

[[Kategorie:Stochastik]]

Copula (Mathematik) - Versionsgeschichte

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