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2024-10-15T12:28:16Z

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Das '''Cooperon-Diagramm''' (oft auch nur '''Cooperon''' genannt) tritt im Zusammenhang mit der analytischen Theorie der [[Elektrische Leitfähigkeit|elektrischen Leitfähigkeit]] („Widerstandstheorie“) ''nicht''-supraleitender Metalle auf <ref>{{Literatur |Autor=[[Dieter Vollhardt]], [[Peter Wölfle]] |Titel=Scaling Equations from a Self-Consistent Theory of Anderson Localization |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=48 |Nummer=10 |Datum=1982-03-08 |Seiten=699–702 |DOI=10.1103/PhysRevLett.48.699}}</ref>, siehe etwa Weblink 1. Der Name „Cooperon-Diagramm“ soll aber trotzdem zugleich an [[Leon Neil Cooper]] erinnern, der über die Bildung von sog. [[Cooper-Paar]]en letztlich den Anlass zur Erklärung des Phänomens der Supraleitung gab ([[BCS-Theorie]]). Insgesamt wird hiermit daran erinnert, dass die sog. [[Leiterdiagramm]]e (Englisch: ''ladder diagrams''), die bei der Supraleitung den Cooper-Effekt diagrammatisch darstellen, sehr eng mit den sog. [[Überkreuzte Diagramme|überkreuzten Diagrammen]] verwandt sind, die in der Widerstandstheorie normaler Metalle für die Effekte der sog. [[Schwache Lokalisierung|schwachen Lokalisierung]] verantwortlich sind. <ref>Um sofort ein mögliches Missverständnis auszuräumen, das sich dadurch ergibt, dass im Deutschen zwei verschiedene Wörter existieren ('der' bzw. 'die'), die im Englischen gleich übersetzt werden ('the'): Bei der Theorie der Supraleitung bzw. der Leitfähigkeitstheorie geht es um den Begriff der (elektrischen) Leitfähigkeit (englisch: the conductivity), bei den sog. Leiterdiagrammen dagegen nicht um 'den' Leiter, sondern um 'die' Leiter ([[Englische Sprache|en]]: the ladder).</ref> Es handelt sich also um Querbeziehungen innerhalb verschiedener Sparten der Theoretischen Festkörperphysik.

== Von Leiterdiagrammen zu überkreuzten Diagrammen ==
Die Verwandtschaft der zur Bildung von Cooper-Paaren führenden ''[[Leiterdiagramme]]'' (englisch: {{lang|en|''ladder diagrams''}}, von ladder = die Leiter) und der in der konventionellen – aber über die niedrigste Ordnung hinausgehenden – Widerstandstheorie auftretenden ''[[überkreuzten Diagramme]]'' ergibt sich wie folgt:

Die Leiterdiagramme bestehen aus zwei parallelen horizontalen Linien, etwa von ''(xi, 0)'' nach ''(xf, 0)'' bzw. von ''(xi, y)'' nach ''(xf, y)'', in gewissen Abständen unterbrochen durch vertikale Wechselwirkung. Die vertikale Wechselwirkung führt, wie bei einer liegend gelagerten Leiter, von der unteren horizontalen Linie zum entsprechenden Punkt auf der parallelen horizontalen Linie. Die Ursache dieser Wechselwirkung ist bei der Supraleitung letztlich nicht wesentlich; meist sind es (vergleichsweise!) sehr langsame oder statische Prozesse, die z. B. mit quantisierten Schwingungen („[[Phonon]]en“) verknüpft sind.

In der Widerstandstheorie normaler Metalle repräsentieren dagegen die vertikalen Linien die [[Störstellenstreuung]]  ([[Störstelle|impurities]]), und die Leiterdiagramme repräsentieren hier die gewöhnlichen Effekte, die in der konventionellen Theorie des elektrischen Widerstandes zusammengefasst sind (sog. [[Drude-Theorie]]).

Die nicht-konventionellen Effekte (sog. „Kohärenzphänomene“, „schwache Lokalisierung“ u. a.) hängen mit den „[[überkeuzte Diagramme|überkreuzten Diagrammen]]“ zusammen. Diese entstehen aus den Leiterdiagrammen durch Umkehr der Bewegungsrichtung der oberen Linie: Die obere Linie geht jetzt nicht mehr von links nach rechts, sondern umgekehrt von rechts nach links. Dadurch entstehen Wechselwirkungen, die nicht mehr wie vorher von einem Punkt “links ''unten''” (bzw. „rechts unten“) zum entsprechenden Punkt „links ''oben''“ (bzw. „rechts oben“) führen, sondern es geht „total überkreuz“, etwa von „links unten“ nach „rechts oben“ (bzw. von „rechts unten“ nach „links oben“).

Die Terme, die den so entstehenden „gekreuzten Diagrammen“ entsprechen, führen, wie gesagt, zum Phänomen der schwachen Lokalisierung. Bei Zeitumkehrinvarianz sind sie mit den Cooper-Diagrammen (Leiterdiagramme) äquivalent und werden auch als „Cooperon-Diagramme“ bezeichnet.

== Konkrete Bilder ==
Ein '''Leiterdiagramm''' in der Theorie der [[Supraleitung]] ist etwa das folgende

i' _______________________________________________________ f'
A_p B_p.. |.. B'_p.. A'_p
| | | | |
| | | | |
i ________A________B..______|________B'.._____A'_________ f

Das heißt zum Beispiel: Das eine Elektron geht auf einem Weg von i ("initial") nach f ("final"), das andere auf einem parallelen Weg von i' nach f '. Dabei finden nur "vertikale" Streuprozesse statt (z. B. von A nach A_p). Die vertikalen Linien repräsentieren z. B. [[Streuprozess]]e des Elektrons an quantisierten Gitterschwingungen (Phononen). Das eine Elektron emittiert ein Phonon; das andere adsorbiert es wieder.

Das dazu passende '''Cooperon-Diagramm''' aus der Theorie des [[Elektrischer Widerstand|elektrischen Widerstandes]] gewöhnlicher Metalle ist:

(f->) f' _______________________________________________________ i'
A'_p B'_p.. ..| B_p.. A_p
| | | | |
| | | | |
i ________A________B..______|________B'.._____A'_________ f   (-> f')

wobei jetzt die vertikalen Linien nicht Phononen, sondern ''[[Störstelle]]nstreuung'' repräsentieren. Die Verhältnisse sind jetzt komplizierter: Während das Elektron 1 von ''i'' nach ''f'' läuft, bewegt sich Elektron 2 in entgegengesetzter Richtung von ''f '(≈f)'' nach ''i' (≈i)'', und während das erste Elektron zunächst mit Störstelle ''A'' wechselwirkt – etwa mit positivem Effekt – wechselwirkt auch das zweite Elektron – trotz inverser Bewegungsrichtung – mit derselben Störstelle wie das erste, wobei dessen Effekt gerade kompensiert wird. Wegen dieser „Antikorrelation“ (Kompensationseffekt!) tragen die angegebenen Diagramme maximal zur sog. „(schwachen) Lokalisierung“ der Elektronen bei.

Die '''gekreuzten Diagramme''' aus der Widerstandstheorie entstehen, indem man im letzten Diagramm die Bewegungsrichtung der oberen horizontalen Linie umkehrt, also wieder i mit i' (und A mit Ap – jetzt ohne Strich! – und B... mit Bp... – ebenfalls ohne Strich - ) verbindet usw., und zugleich zu einem konsequenten Einteilchenbild übergeht, in welchem nunmehr ein einziges Elektron entsprechend der [[Schrödingergleichung]] eine '''geschlossene Kurve''' durchläuft und dabei an '''diametral gegenüberliegenden Punkten''' korreliert (besser: antikorreliert!) entsprechend den üblichen diagrammatischen Regeln ''so''  gestreut wird, dass die Beiträge zur Leitfähigkeit möglichst klein sind, dass also der Widerstand möglichst groß wird.

Die gekreuzten Diagramme sind also ([[cum grano salis]]): 

final _______|||_______ initial' (<math>\leftarrow</math>, Weg 2)
..B | B'..
<math>(\downarrow )</math> ||| <math>\nwarrow\nearrow</math> ||| <math>(\uparrow )</math>
<math>\nearrow\nwarrow</math>
initial __..B__|__B'..__ final' (<math>\to</math>, Weg 1).
|||

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />
== Weblinks ==
* [http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/Research/Anderson_Lokal_Juelich_1985.pdf Dieter Vollhardt: Eine didaktische Darstellung der Anderson-Lokalisierung] (u. a. mit Cooperon- und "überkreuzten" Diagrammen; PDF; 524 kB)

[[Kategorie:Supraleitung]]
[[Kategorie:Elektrischer Widerstand]]

Cooperon-Diagramm - Versionsgeschichte

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