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2025-06-20T04:18:29Z

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[[Datei:Nobel Laureate Leon Cooper in 2007.jpg|mini|[[Leon Neil Cooper]], Erstbeschreiber]]
Als '''Cooper-Paare''' werden paarweise Zusammenschlüsse von beweglichen [[Elektron]]en in speziellen Materialien bezeichnet. Sie treten bei sehr [[Tieftemperaturphysik|tiefen Temperaturen]] auf und sind Voraussetzung für den [[Supraleitung|supraleitenden]] Zustand dieser ([[metall]]ischen oder [[keramisch]]en) Materialien. Das Phänomen der Cooper-Paar-Bildung ist nach der Erstbeschreibung im Jahr 1956 durch [[Leon Neil Cooper]] benannt<ref>{{cite journal |last = Cooper |first = Leon N. |title = Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas |journal = [[Physical Review]] |volume = 104 |issue = 4 |pages = 1189–1190 |date = 1956 |language=en |doi = 10.1103/PhysRev.104.1189}}</ref> und erhält in der [[BCS-Theorie]] der Supraleitung grundlegende Bedeutung.

Allgemeiner betrachtet handelt es sich um Paare in fermionischen [[Vielteilchentheorie|Vielteilchensystemen]], bei denen zwei gepaarte [[Fermion]]en ein „zusammengesetztes [[Boson]]“ ergeben. Das gleiche Phänomen tritt dadurch auch in anderem Zusammenhang auf, nämlich zwischen jeweils zwei Atomen im [[Supraflüssigkeit|supraflüssigen]] Zustand von [[Helium #Eigenschaften|3He]] unterhalb einer Temperatur von 2,6 m[[Kelvin|K]];<ref>{{cite journal |author=Osheroff DD, Richardson RC, Lee DM |title=Evidence for a new phase in solid 3He |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=28 |issue=14 |pages=885–888 |year=1972 |language=en |doi = 10.1103/PhysRevLett.28.885}}</ref> dagegen gibt es im supraflüssigen Zustand von 4He ''keine'' Cooper-Paare, da hier die Atome Bosonen sind.

Eine weitere Möglichkeit zur Bildung von Cooper-Paaren liegt in der [[Fermionen-Kondensat|Kondensation ultrakalter fermionischer Gase]] geringer [[Dichte]] mit Methoden der [[Atomphysik]], vergleichbar der [[Bose-Einstein-Kondensat]]ion bosonischer Gase.<ref>{{cite journal |title=Observation of Resonance Condensation of Fermionic Atom Pairs |author=C. A. Regal ''et al.'' |journal=Physical Review Letters |volume=92 |issue=4 |pages=040403 |year=2004 |language=en |doi=10.1103/PhysRevLett.92.040403}}</ref>

Auch bei der 1986 entdeckten [[Hochtemperatursupraleitung]] scheinen Cooper-Paare im Spiel zu sein, wie experimentelle Belege zeigen.<ref>Cooper-Paar-Bildung in Hochtemperatursupraleitern behandelt der folgende Artikel: {{Internetquelle |url=https://www.mpg.de/493502/pressemitteilung20040503 |titel=Hochtemperatur-Supraleitung konventioneller als gedacht |werk=mpg.de |datum=2004-05-03 |abruf=2023-01-17}}</ref> Jedoch ist der zur Paarbildung führende Bindungsmechanismus der beiden Elektronen in diesem Fall trotz jahrelanger Bemühungen noch unklar, im Gegensatz zu den seit über 100 Jahren bekannten konventionellen Supraleitern, wie sie weiter unten beschrieben werden, bei denen [[Phonon]]en die Paarbildung bewirken.

== Erklärung ==
In Metallen können sich die [[Leitungsband|Leitungselektronen]] praktisch frei zwischen den Atomen bewegen. Dieses „[[Elektronengas]]“ besteht aus Fermionen und unterliegt deshalb der [[Fermi-Verteilung]], die eine bestimmte [[Geschwindigkeitsverteilung]] von null bis zu sehr hohen Werten vorhersagt (die charakteristische Temperatur beträgt <math>T_F\sim 10^4 \, \mathrm{K}</math>). Die Bewegung der [[Atomkern]]e spielt dagegen eine vergleichsweise geringe Rolle (die charakteristische Temperatur ist hier die [[Debye-Temperatur]] von etwa 150...600 K).

Erst bei noch tieferen Temperaturen kommt es zu einer nicht mehr zu vernachlässigenden paarweisen Anziehung der Elektronen durch die Atombewegung. Die Stärke dieser Wechselwirkung entspricht Temperaturen von etwa

:10 K (−263 °C);

das entspricht Energien von

:<math>\Delta E \sim 10^{-3} \, \rm{eV}</math>

bzw. [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauern]] der Größe

:<math>\Delta \tau \sim \frac{\hbar}{\Delta E} \sim 0{,}7 \cdot 10^{-12} \, \mathrm{s}</math>

mit der [[Reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>.

Das Ergebnis für <math>\Delta\tau</math> entspricht typischen Phonon-[[Frequenz]]en, was aber noch nichts beweist: Experimente, die zeigen, dass es sich bei den beteiligten Teilchen tatsächlich um Phononen ([[Quantisierung (Physik)|quantisiert]]e Atomschwingungen) handelt, und nicht etwa um andersartige [[Anregungszustand|Anregungszustände]] des Systems, beruhen vielmehr auf dem [[Isotopeneffekt]], was Leon Neil Cooper auf die im Folgenden dargestellten Vorstellungen brachte.

Die Bewegung der Atomkerne zieht sich als [[Welle]]n<nowiki/>phänomen durch das ganze Medium und ergibt (nach Quantisierung) die Phononen. Sie erfolgt aufgrund ihrer höheren Masse zeitlich stark verzögert, woraus eine schwache [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisation]] des [[Metallische Bindung|Gitters]] resultiert, welche die [[Coulomb-Abstoßung]] überkompensiert. Ein zweites Elektron kann nun in dieser „Polarisationsspur“ seine Energie absenken, d. h., es wird schwach gebunden; vermittelt über die Gitterbewegung entsteht ein Cooper-Paar. Die Bildung der Cooper-Paare beruht also – wie alle Polarisationseffekte – auf einer schwachen indirekten Wechselwirkung: Die Elektronen ziehen sich an, weil das System durch die Wechselwirkung polarisiert wird.

Diese Wechselwirkung kann durch folgendes [[Feynman-Diagramm|Diagramm]] beschrieben werden:

[[Datei:Feynmandiagram.svg|mini|links|[[Feynman-Diagramm]] eines Beitrags zur Elektron-Elektron-Bindung durch „Austausch“ eines [[Phonon]]s (Zeitachse von unten nach oben; das Phonon, ein Schwingungsquant des Festkörpers, hier mit γ bezeichnet, läuft mit vergleichsweise geringer Geschwindigkeit von links nach rechts oder von rechts nach links).]]

Man kann den resultierenden Bindungseffekt mit der Bildung einer schwachen Einsenkung in einem Trommelfell unter der Schwerewirkung eines ersten Teilchens vergleichen: Infolgedessen wird ein zweites Teilchen, das sich ebenfalls auf dem Trommelfell bewegt, von dem ersten angezogen, sodass beide aneinander gebunden sind.

Da sich die beiden beteiligten Elektronen in entgegengesetzter Richtung bewegen, ist der Gesamt[[impuls]] des Cooper-Paares i. Allg. klein oder null. Die Impulse müssen also nicht exakt, sondern nur „ungefähr“ entgegengesetzt-gleich sein, damit Paarbildung möglich ist. In der Tat ist die Geschwindigkeit des Suprastromes – und damit dessen Stärke – proportional zur betrachteten Differenz.<ref>Robert Schrieffer: ''Theory of Superconductivity.'' Benjamin 1964; siehe vor allem das letzte Kapitel.</ref>

Der „Platzbedarf“ jedes Elektrons in einem Cooper-Paar wird durch sein [[Wellenpaket]] beschrieben. Wenn sich diese voneinander entfernen, zerfallen Cooper-Paare, weil sich die Wellenpakete kaum noch überlappen, andere bilden sich neu.

Schätzt man mit der [[Heisenbergsche Unschärferelation|Unschärferelation]] die Ausdehnung der Wellenpakete ab, so kommt man auf Werte von bis zu 10−6 m. Ein Vergleich mit den mittleren Abständen der Elektronen im [[Kristallgitter]] ergibt das überraschende Ergebnis, dass der Radius des Cooper-Paars von der angegebenen Größenordnung sein kann, so dass sich zwischen den Elektronen eines Cooper-Paars mindestens 1010 andere Elektronen befinden können. Davon haben etwa eine Million anderer Elektronen so ähnliche und überlappende Wellenpakete, dass auch sie Cooper-Paare bilden. Die Cooper-Paare sind also fast ebenso zahlreich wie die Elektronen selbst.

Der wesentliche Mechanismus zur Erklärung der Supraleitung (s. u.) ist aber, dass sie im Gegensatz zu den Elektronen, die wegen der Fermi-Statistik einander gewissermaßen „aus dem Wege gehen“, zu einem ''kohärenten Zustand'' kondensieren können, wie er für die Supraleitung und generell für Supraflüssigkeiten charakteristisch ist. Obwohl die [[Kommutator (Mathematik) #Anwendung in der Physik|Vertauschungsrelationen]] zweier Cooperpaare nicht genau denen der Bose-Teilchen entsprechen, sind sie darin diesen doch ähnlich.

== Bedeutung bei Supraleitern ==
Elektronen gehören zur Teilchengruppe der Fermionen und haben den [[Spin]] 1/2 (vgl. [[Spin-Statistik-Theorem]]). Die [[Fermi-Dirac-Statistik]] ergibt, dass deshalb in einem Zweielektronensystem ohne [[Spin-Bahn-Kopplung]] bei symmetrischer Ortsfunktion die Spinfunktion [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrisch]] sein muss, also etwa

:<math>\Psi = \Phi_{\rm{symm}}(\vec r_1,\,\vec r_2) \cdot (\uparrow\downarrow - \downarrow\uparrow ).</math>

Anschaulich bedeutet dies, dass der Spin des einen Elektrons nach „oben“ zeigt (d. h., er ist +1/2, in Einheiten der reduzierten [[Planck-Konstante]] <math>\hbar</math>), während der andere Spin nach „unten“ weist (d. h., er ist −1/2, in denselben Einheiten), also antiparallel ausgerichtet. Der Gesamtspin des Cooper-Paares ist in diesem Fall null. Dies entspricht dem [[Multiplizität|Singulett]]-Zustand.

Ein weiterer, wenn auch seltenerer Fall, ist die parallele Ausrichtung der einzelnen Spins der Cooper-Paar-Elektronen, wobei sich der Gesamtspin zu Eins addiert. Hierbei spricht man vom [[Multiplizität|Triplett]]-Zustand. Experimentell kann ein solcher Zustand durch [[Tunneleffekt|Tunnelexperimente]] nachgewiesen werden, da diese Cooper-Paare durch größere [[ferromagnetisch]]e Barrieren tunneln können.<ref>Presseinformation der Ruhr-Universität Bochum, 1. Dezember 2010: [https://web.archive.org/web/20101205095021/http://aktuell.ruhr-uni-bochum.de/pm2010/pm00405.html.de ''Das „Paarungsverhalten“ der Elektronen'']</ref>

In beiden Fällen sind die Cooper-Paare als zusammengesetzte Teilchen aufgrund ihres ganzzahligen Spins keine Fermionen, sondern [[Boson]]en. Für diese gilt nicht die Fermi-Dirac-, sondern die [[Bose-Einstein-Statistik]]. Sie besagt – anschaulich gesprochen –, dass die Cooper-Paare einem „Herdentrieb“ folgen, so dass sich der o. g. [[Kohärenz (Physik)|kohärente]] Zustand ergeben kann: Alle Paare bewegen sich mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung und sind streng aneinander gekoppelt.

Der letztgenannte Zusatz bedeutet u. a., dass die Situation im Grunde nicht mit einem [[Bose-Einstein-Kondensat]] verglichen werden darf, da die Cooper-Paare nicht als unabhängige Teilchen eines [[Bose-Gas]]es betrachtet werden können.

Dennoch erklärt die Bose-Einstein-Statistik die Eigenschaften metallischer Supraleiter, da alle Cooper-Paare als ''effektive'' Bose-Teilchen ein-und-denselben quantenmechanischen Zustand besetzen dürfen (Anti-[[Pauli-Prinzip]]). Man hat es also auf jeden Fall mit einem [[makroskopisch]]en, kollektiven Quantenphänomen zu tun.

Da die Ausdehnung der [[Wellenpaket]]e jedes Cooper-Paars fast schon makroskopisch groß ist, können diese durch ''dünne'' Isolatorschichten tunneln ([[Josephson-Effekt]]). Experimentell wurde nachgewiesen, dass stets ''zwei'' Elektronen die Barriere tunneln.

== Energielücke ==
Mathematisch drückt sich die Tendenz zur Bildung von Cooperpaaren dadurch aus, dass im [[Hamiltonoperator]] des Systems neben den üblichen [[bilinear]]en Termen <math>\hat a_k^+ \hat a_k </math> (mit den Elektron-[[Erzeugungsoperator]]en <math>\hat a_k^+</math> und den zugehörigen Vernichtungsoperatoren <math>\hat a_k</math>) auch quadratische Terme der ungewöhnlichen Form <math>\hat a_k^+ \hat a_{-k}^+</math> und <math>\hat a_k \hat a_{-k}</math> auftreten:<ref>Die Erzeugungsoperatoren <math>\hat a_k^+</math> und Vernichtungsoperatoren <math>\hat a_k</math> wirken dabei sowohl auf die <math>k</math>-Wellenvektoren als auch auf die Spinzustände.</ref>

:<math>\mathcal{H}= \sum_k\,\{\epsilon_k\,\hat a_k^+\hat a_k +\Delta\cdot (\hat a_k^+\hat a_{-k}^+\,+\,\hat a_k\hat a_{-k})\}.</math>

Dabei ist
* <math>k</math> die [[Wellenzahl]] der Elektronen
* <math>\epsilon_k</math> ihre Energie im normalleitenden Zustand
* <math>\Delta</math> ein als reell angenommener Paarbildungsparameter.

[[Grundzustand]] und angeregte Zustände des Systems werden durch die Wechselwirkung nicht nur quantitativ, sondern auch qualitativ verändert. Die Grundzustandsenergie <math>E</math> ist nur leicht erhöht: <math>E = \sqrt{\epsilon^2 + |\Delta| ^2}</math>, aber – was wesentlicher ist – es bildet sich jetzt eine [[Energielücke]] der Größe <math>2 |\Delta |</math> zu den angeregten Zuständen aus. Das hat u. a. zur Folge, dass der [[Elektrischer Widerstand|elektrische Widerstand]] bei entsprechend niedrigen Temperaturen überall null ist.

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4346549-3}}

[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Supraleitung]]

Cooper-Paar - Versionsgeschichte

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