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2022-07-27T06:32:23Z

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Die '''Consequentia mirabilis''' (bewundernswerte Folgerung), auch als '''Clavius-Gesetz''' bekannt, wird in der klassischen Logik verwendet, um die Gültigkeit einer Behauptung aus der Ungültigkeit ihrer Negation zu beweisen. Die Argumentation ist verwandt mit der [[Reductio ad absurdum]]; allerdings muss man bei der '''Consequentia mirabilis''' nur zeigen, dass die Behauptung aus ihrer Negation folgt. Diese Methode wurde von [[Christophorus Clavius]] im Rahmen der Herausgabe der Elemente des Euklid verwendet. Später machte [[Giovanni Girolamo Saccheri]] bei seinen Untersuchungen über den [[Syllogismus]] auf originelle Weise von diesem Verfahren Gebrauch.<ref>Cyril F. A. Hoormann, Jr.: A Further Examination of Saccheri's Use of the "Consequentia mirabilis". Notre Dame Journal of Formal Logic Volume XVII, Number 2, April 1976, p. 239–274</ref>

== Die Beweismethode ==
Man kann die Argumentation informal wie folgt in Worte fassen:
* „Wenn eine Behauptung aus ihrem Gegenteil folgt, dann ist sie richtig.“
Heute wird die „Consequentia mirabilis“ meist als Formel der klassischen [[Aussagenlogik]] formuliert. In dieser Formulierung besagt sie, dass die Formel
* <math>(\neg p \to p)\to p</math>
eine [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] ist, was man aus der folgenden [[Wahrheitstabelle]] ersehen kann:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
| p || ~p || ~p → p || (~p → p)→p
|-----
| w || f || w || w
|-----
| f || w || f || w
|}

Die Richtigkeit der Formel <math>(\neg p \to p)\to p</math> lässt sich auch rein [[Syntax#Syntax formaler Sprachen|syntaktisch]] z. B. mit Hilfe des [[Principia Mathematica|Principia-Mathematica]]-Kalküls für die Aussagenlogik herleiten:<ref> s. das Axiomensystem in [[Aussagenlogik#Axiome]]</ref>
* Nach Definition ist <math>p \to q := \neg p \lor q</math>
* Also gilt <math>\neg p \to p = p \lor p </math>
* Das erste der genannten Axiome lautet <math>p \lor p \to p</math>

Die Behauptung ist damit bewiesen.

== Beispiel ==
* „Es gibt nichts Wahres“ (<math>\neg p</math>), aber dies wird ja als wahr behauptet (''p''), also „gibt es etwas Wahres“ (also ist ''p'' wahr).
* Entsprechend: Aus der Aussage „Ich behaupte nichts“ folgt, dass ich doch etwas behaupte (nämlich die Behauptung, dass ich nichts behaupte).

== Quellen ==
* [[William Kneale]]: ''Aristotle and the Consequentia Mirabilis''. In: ''[[Journal of Hellenic Studies]]''. Band 77, 1957, S. 62–66.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Logik]]

Consequentia mirabilis - Versionsgeschichte

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