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2025-05-29T19:47:19Z

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Die '''Clausius-Mossotti-Gleichung''' verknüpft die makroskopisch messbare Größe [[Permittivitätszahl]] <math>\varepsilon_{\mathrm{r}}</math> mit der mikroskopischen (molekularen) Größe [[elektrische Polarisierbarkeit]] <math>\alpha</math>. Sie ist benannt nach den beiden Physikern [[Rudolf Clausius]] und [[Ottaviano Fabrizio Mossotti]] und lautet:

:<math>P_m = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{3 \, \varepsilon_0} \alpha</math>

Dabei ist
* <math>P_m</math> die [[Molare Größe|molare]] [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisation]] (ihre Einheit ist die eines [[Molares Volumen|molaren Volumens]], also z. B. m<sup>3</sup>/mol)
* <math>M_m</math> die [[molare Masse]] (in kg/mol)
* <math>\rho</math> die [[Dichte]] (in kg/m<sup>3</sup>)
* <math>N_{\mathrm{A}}</math> die [[Avogadrokonstante]]
* <math>\varepsilon_0 = 8{,}854\,187\,812\,8\,(13) \cdot 10^{-12}~\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}}</math> die Dielektrizitätskonstante oder [[Permittivität]] im Vakuum.

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne [[Elektrisches Dipolmoment|permanentes Dipolmoment]], d. h., es gibt nur induzierte [[Elektrischer Dipol|Dipole]] ([[Verschiebungspolarisation]]). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die [[Debye-Gleichung]] verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die [[Orientierungspolarisation]] berücksichtigt.

== Definitionen ==
Die makroskopische [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisation]] <math>\vec P</math> ist die Summe aller induzierten Dipolmomente <math>\vec{p}_{\text{ind}}</math> geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation ist die Dipolmomentdichte):

:<math>\vec{P} = N\vec{p}_{\text{ind}} = N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}</math>

wobei <math>N</math> die [[Teilchenzahldichte]], <math>\alpha</math> [[Polarisierbarkeit]], <math>\vec{E}_{\text{lokal}}</math> lokale [[elektrische Feldstärke]] am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen [[elektrische Suszeptibilität]] <math>\chi</math> bzw. die Permittivitätszahl <math>\varepsilon_{\mathrm{r}}</math> stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

:<math>\vec{P} = \chi \varepsilon _{0}\vec{E} = \left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}</math>

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

:<math>\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}</math>

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  <math>\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}</math>  und daraus:

:<math>\varepsilon_{\mathrm{r}} -1 = \frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha </math>

== Herleitung ==
Für ein [[Dielektrikum]] höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen,

:<math>\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}-\vec{E}_{\text{P}}+\vec{E}_{\text{mikro}}</math>

Hierbei ist
* <math>\vec{E}</math> das von außen angelegte elektrische Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld)
* <math>\vec{E}_{\text{P}} = -\vec{P}/(3\varepsilon_0)</math> das Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül ([[Lorentzfeld]]) (Berechnung siehe weiter unten)
* <math>\vec{E}_{\text{mikro}}</math> das exakte elektrische Feld der mikroskopischen Dipole in der Kugel

Die zugrundeliegende Idee ist, den Kontinuumsbeitrag <math>\vec{E}_{\text{P}}</math>
einer Kugel mit Radius <math>R</math> zu subtrahieren und durch den exakten Beitrag <math>\vec{E}_{\text{mikro}}</math>
zu ersetzen. Diese Strategie führt zum Ziel, weil eine algebraische
Rechnung für kubische Kristallgitter <math>\vec{E}_{\text{mikro}}=0</math> liefert. Dies ist zumindest auch für
Gase, Flüssigkeiten und amorphe Substanzen eine plausible Arbeitshypothese.

Dies ergibt ein lokales E-Feld

:<math>\vec{E}_{\text{lokal}} = \vec{E} + \frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P} = \vec{E} + \frac{\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E} = \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}</math>

Eingesetzt in obige Gleichung:

:<math>\left( \varepsilon_{\mathrm{r}} - 1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} = N\alpha \frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2}{3} \vec{E}</math>

Umstellen liefert:

:<math>\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} = \frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}}</math>

Bzw. nach <math>\varepsilon_r</math> aufgelöst:

:<math>\varepsilon_{\mathrm{r}} = 1 + \chi _{e} = 1 + \frac{3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }</math>

Nun kann man noch die Teilchendichte <math>N</math> durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken ([[Dichte]] <math>\rho</math>, [[molare Masse]] <math>M_m</math> und [[Avogadrokonstante]] <math>N_{\mathrm{A}}</math>):

:<math>N = \frac{N_{A}\rho }{M_{m}}</math>

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

:<math>\frac{\varepsilon_{\mathrm{r}} - 1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} + 2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{3 \varepsilon_0} \alpha</math>

Bzw. nach <math>\varepsilon_{\mathrm{r}}</math> aufgelöst:

:<math>\varepsilon_{\mathrm{r}} = 1 + \chi _{e} = 1 + \frac{3 N_{\mathrm{A}} \rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0} - N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }</math>

== Lorentz-Lorenz-Gleichung ==
Die '''Lorentz-Lorenz-Gleichung''' ist eine andere Form der Clausius-Mossotti-Gleichung, die sich aus dieser ergibt, wenn man das Ergebnis der [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellengleichung]] <math display="inline">\varepsilon_{\mathrm{r}} = n^2</math> einsetzt. Die Lorentz-Lorenz-Gleichung hat ihren Namen von dem dänischen Mathematiker und Wissenschaftler [[Ludvig Lorenz]], selbige 1869 publizierte, und dem holländischen Physiker [[Hendrik Antoon Lorentz|Hendrik Lorentz]], der sie unabhängig davon ableitete und 1878 veröffentlichte.

Die Lorentz-Lorenz-Gleichung lautet demnach:
:<math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}} </math>

Die Gleichung ist wie die Clausius-Mossotti-Gleichung auch näherungsweise gültig für homogene Festkörper als auch für Flüssigkeiten.

Für die meisten Gase gilt <math> n^2 \approx 1 </math>, weshalb sich näherungsweise ergibt, dass
:<math> n^2 - 1 \approx \frac{N\alpha }{\varepsilon _{0}}</math>

und mit Hilfe von <math> {n^2 -1}\approx 2(n-1) </math>

:<math> n - 1 \approx \frac{N\alpha }{2\varepsilon _{0}}</math>

Diese Formel ist anwendbar für Gase unter Normaldruck. Der Brechungsindex <math>n</math> des Gases kann dann mit Hilfe der [[Molrefraction]] <math>A</math> als

:<math> n \approx \sqrt{1 + \frac{3 A p}{R T}}</math>

ausgedrückt werden, mit dem Druck des Gases <math>p</math>, <math>R</math> ist die Gaskonstante, und <math>T</math> die (absolute) Temperatur, die zusammen die Teilchenzahldichte <math>N</math> bestimmen. Dementsprechend gilt <math> N = N_\mathrm{A} \cdot c</math>, mit <math> c</math> der molaren Konzentration. Setzt man für <math>n</math> den komplexen Brechungsindex <math>m=n+ik</math>, mit dem Absorptionsindex <math>k</math>, ein, so ergibt sich:

:<math> m \approx1+ c\frac{N_\mathrm{A} \cdot \alpha }{2\varepsilon _{0}}</math>

Demgemäß ist der Imaginärteil, also der Absorptionsindex, proportional zur molaren Konzentration

:<math> k \approx c\frac{N_\mathrm{A} \cdot \alpha'' }{2\varepsilon _{0}}</math>

und damit zur [[Extinktion (Optik)|Absorbanz]]. Dementsprechend lässt sich das [[Lambert-Beer’sches Gesetz|Beer’sche Gesetz]] aus der Lorentz-Lorenz-Gleichung ableiten.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Günter Mayerhöfer, Jürgen Popp |Titel=Beyond Beer’s law: Revisiting the Lorentz-Lorenz equation |Sammelwerk=ChemPhysChem |Band=n/a |Nummer=n/a |Datum=2020-05-12 |ISSN=1439-4235 |DOI=10.1002/cphc.202000301}}</ref> Die Änderung des Brechungsindex in verdünnten Lösungen ist damit ebenfalls näherungsweise proportional zur molaren Konzentration.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas G. Mayerhöfer, Alicja Dabrowska, Andreas Schwaighofer, Bernhard Lendl, Jürgen Popp |Titel=Beyond Beer's Law: Why the Index of Refraction Depends (Almost) Linearly on Concentration |Sammelwerk=ChemPhysChem |Band=21 |Nummer=8 |Datum=2020-04-20 |ISSN=1439-4235 |Seiten=707–711 |DOI=10.1002/cphc.202000018}}</ref>

== Berechnung des Lorentzfeldes ==
Die in der obigen Herleitung verwendete Größe <math>\vec{E}_{\text{P}} = -\vec{P}/(3\varepsilon_0)</math>,
das elektrischen Feld am Mittelpunkt einer fix polarisierten Kugel mit Radius <math>R</math> (''ohne'' polarisierendes externes Feld!), lässt sich relativ einfach erhalten.
Zur Polarisation <math>\vec{P}</math> in <math>z</math>-Richtung gehört eine Flächenladung <math>\left|\vec{P}\right|z/R</math> auf der Kugeloberfläche <math>R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}</math>.
Das von dieser Ladung erzeugte elektrische Feld am Mittelpunkt ist
:<math>
\left|\vec{E}_{P}\right|= - \int\mathrm{d}\Omega R^{2}\frac{\left|\vec{P}\right|z/R}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}\frac{z}{R}=-\frac{\left|\vec{P}\right|}{\epsilon_{0}}\int\frac{\mathrm{d}\Omega}{4\pi}\frac{z^{2}}{R^{2}}=-\frac{\left|\vec{P}\right|}{3\epsilon_{0}}\int\frac{\mathrm{d}\Omega}{4\pi}\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{R^{2}}=-\left|\vec{P}\right|/\left(3\epsilon_{0}\right).
</math>

Der Faktor <math>z/R</math> im ersten Integral selektiert die Feldkomponente in <math>z</math>-Richtung. Das Integral <math>\int\mathrm{d}\Omega R^{2}...</math> erstreckt sich über die Oberfläche und lässt sich schreiben als Mittelung <math>\int d\Omega/4\pi...</math> über den Raumwinkel <math>\Omega</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Richard P. Feynman]], [[Robert B. Leighton]], [[Matthew Sands]]
|Titel=Lectures on Physics, Volume II
|Auflage=Definitive Edition
|Verlag=Addison-Wesley
|Datum=2005
|ISBN=0-8053-9047-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Physikalische Chemie]]

Clausius-Mossotti-Gleichung - Versionsgeschichte

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