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2025-04-25T12:39:30Z

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[[Datei:Clausen2 4.svg|miniatur|Graph der Clausen-Funktion <math>\mathrm{Cl}_2(\theta)</math> (rot) und <math>\mathrm{Cl}_4(\theta)</math> (grün)]]

In der [[Mathematik]] ist die '''Clausen-Funktion''' (nach [[Thomas Clausen (Astronom)|Thomas Clausen]]) durch das folgende Integral definiert:

:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \, \mathrm{d}t.</math>

== Allgemeine Definition ==
Allgemeiner definiert man für komplexe <math>s</math> mit <math>\operatorname{Re}(s) > 1</math>:
:<math>\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s} = \sin (\theta) + \frac{\sin (2\theta)}{2^s} + \frac{\sin (3\theta)}{3^s} + \frac{\sin (4\theta)}{4^s} + \cdots</math>

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene [[analytische Fortsetzung|analytisch fortgesetzt]] werden.

== Verallgemeinerte Definition ==
[[Datei:Mplwp Glaisher-Clausen.svg|mini|Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall <math>[0,\, 2 \cdot \pi]</math>.]]
[[Datei:Mplwp Standard Clausen.svg|mini|Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall <math>[0, \, 2 \cdot \pi]</math>.]]
Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:

<math>\operatorname{Cl_{z}}\left( \theta \right) =
\begin{cases}
\operatorname{S_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}\\
\operatorname{C_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}\\
\end{cases}</math><ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/ |titel=Clausen Function |sprache=en |abruf=2023-02-15}}</ref>

Clausen-Funktionen der Form <math>\operatorname{S_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}</math> sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach [[James Whitbread Lee Glaisher]]) und <math>\operatorname{C_{z}}\left( \theta \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos\left( k \cdot \theta \right)}{k^{z}}</math> sind Standard-Clausen-Funktionen.

== Beziehung zum Polylogarithmus ==
Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum [[Polylogarithmus]]:

:<math>\operatorname{Cl}_s(\theta)
= \operatorname{Im} (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta}))</math>.

== Kummers Beziehung ==
[[Ernst Kummer]] und Rogers führen folgende für <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> gültige Beziehung an:
:<math>\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>

== Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen ==
Für rationale Werte von <math>\theta/\pi</math> kann die Funktion <math>\sin(n\theta)</math> als [[periodischer Orbit]] eines Elementes einer [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppe]] aufgefasst werden. Folglich kann <math>\operatorname{Cl}_s(\theta)</math> als einfache Summe aufgefasst werden, welche die [[hurwitzsche Zeta-Funktion]] beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten [[Dirichletsche L-Funktion|dirichletschen L-Funktionen]] einfach zu berechnen.

== Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode ==
Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten [[Fourier-Reihe]]n eine Bedeutung zu geben:

:<math>\sin(\theta ) +2\sin(2\theta ) + 3\sin(3\theta) + \dots </math>

was mit <math>\operatorname{Cl}_{-1}(\theta) </math> bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

:<math> \cos(\theta) + \cos(2\theta) + \cos(3 \theta) + \dots= -\int d{\theta} \operatorname{Cl}_{-1}(\theta) </math>

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen <math>s</math> verallgemeinert werden.

== Reihenentwicklung ==
Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für <math>|\theta|<2\pi</math>) ist

:<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =
1-\log|\theta| +
\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} \text{.}
</math>

<math>\zeta(s)</math> ist dabei die [[riemannsche Zeta-Funktion]]. Eine schneller konvergierende Reihe ist

:<math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} =
3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right)
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n} \text{.}
</math>

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass <math>\zeta(n)-1</math> für große <math>n</math> schnell gegen 0 konvergiert.

== Spezielle Werte ==

=== Allgemeine Spezielle Fälle ===
Einige Spezialfälle sind gegeben durch:<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/ |titel=Clausen Function |sprache=en |abruf=2023-02-15}}</ref>

<math>\begin{align}
\operatorname{S_{1}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{2} \cdot \pi - \frac{1}{2} \cdot \theta\\
\operatorname{S_{3}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{6} \cdot \pi^{2} \cdot \theta - \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \theta^{2} + \frac{1}{12} \cdot \theta^{3}\\
\operatorname{S_{5}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{90} \cdot \pi^{4} \cdot \theta - \frac{1}{36} \cdot \pi^{2} \cdot \theta^{3} + \frac{1}{48} \cdot \pi \cdot \theta^{4} - \frac{1}{240} \cdot \theta^{5}\\
\operatorname{C_{2}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{6} \cdot \pi^{2} \cdot \theta - \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \theta + \frac{1}{4} \cdot \theta^{2}\\
\operatorname{C_{4}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{90} \cdot \pi^{4} \cdot \theta - \frac{1}{12} \cdot \pi^{2} \cdot \theta^{2} + \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot \theta^{3} - \frac{1}{48} \cdot \theta^{4}\\
\end{align}</math>

(für <math>0 \leq \theta \leq 2 \cdot \pi</math>)

Weitere Spezialfälle sind:

<math>\begin{align}
\operatorname{S_{n}}\left( \theta \right) &= \frac{i}{2} \cdot \left[ \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( - \theta \cdot i \right) \right) - \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( \theta \cdot i \right) \right) \right]\\
\operatorname{C_{n}}\left( \theta \right) &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( - \theta \cdot i \right) \right) + \operatorname{Li_{n}}\left( \exp\left( \theta \cdot i \right) \right) \right]\\
\end{align}</math>

wobei <math>\operatorname{Li_{n}}</math> der [[Polylogarithmus]] ist,

<math>\operatorname{Ti_{2}}\left( \tan\left( \theta \right) \right) = \theta \cdot \log\left( \tan\left( \theta \right) \right) + \frac{1}{2} \cdot \operatorname{Cl_{2}}\left( 2 \cdot \theta \right) + \frac{1}{2} \cdot \operatorname{Cl_{2}}\left( \pi - 2 \cdot \theta \right)</math>

für <math>0 \leq \tan\left( \theta \right) \leq 1</math> wobei <math>\operatorname{Ti_{2}}</math> das [[Arkustangensintegral]] ist,

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) +2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right) -2\pi \log \Gamma(z)+2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

wobei <math>G</math> [[Barnessche G-Funktion]] und <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]] ist,

<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = \mathcal{L}s_2^{0}(\theta) </math><ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/ |titel=Log Sine Function |sprache=en |abruf=2023-02-15}}</ref>,

wobei <math>\mathcal{L}s_2^{0} </math> der verallgemeinerte Logsinus <math>{\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx} </math> ist
:<math>\operatorname{Cl}_s\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(s)</math>

wobei <math>\beta(s)</math> die [[dirichletsche Beta-Funktion]] ist.

=== Spezifische Fälle ===
Einige spezielle Werte sind:

:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K</math>,
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\pi \log\left(
\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-3\pi \log
\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)+\pi \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)</math>,
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\pi \log\left(
\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-2\pi \log
\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) +\frac{2\pi}{3} \log \left(\frac{ 2\pi
}{\sqrt{3}}\right)</math>,
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)} \right) -2\pi
\log \Gamma\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}
\right)</math>,
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{5}{8}\right)}{G\left(\frac{3}{8}\right)} \right) -2\pi
\log \Gamma\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{3\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}
\right)</math>,
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{6}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{11}{12}\right)}{G\left(\frac{1}{12}\right)} \right) -2\pi
\log \Gamma\left(\frac{1}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2}
}{\sqrt{3}-1} \right)</math> und
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{12}\right)}{G\left(\frac{5}{12}\right)} \right) -2\pi
\log \Gamma\left(\frac{5}{12}\right)+\frac{5\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2}
}{\sqrt{3}+1} \right)</math>

wobei ''K'' die [[catalansche Konstante]] ist.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Hrsg=Leonard Lewin
|Titel=Structural Properties of Polylogarithms
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence (RI)
|Datum=1991
|ISBN=0-8218-4532-2
|Sprache=en}}
* {{Literatur
|Autor=Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall
|Titel=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function
|Sammelwerk=J. Comp. App. Math
|Band=121
|Datum=2000
|Seiten=11
|Sprache=en
|Online=[http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf maths.ex.ac.uk]
|Format=PDF
|KBytes=526}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Clausen-Funktion - Versionsgeschichte

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