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2025-10-27T07:59:04Z

Erweiterung: den Mittelwert genauer spezifiziert

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Die '''Clarke-Transformation''', benannt nach [[Edith Clarke]] und auch als ''α,β-Transformation'' bezeichnet, dient dazu, [[Dreiphasenwechselstrom|mehrphasige]] Größen wie bei einer [[Drehstrommaschine]] mit den Achsen U, V, W, … in ein einfacheres zweiachsiges [[Koordinatensystem]] mit den Achsen α, β zu überführen. Die Clarke-Transformation ist zusammen mit der [[d/q-Transformation]] eine der mathematischen Grundlagen zur [[Vektorregelung]] von Drehstrommaschinen und beschreibt eine von mehreren möglichen [[Raumzeigerdarstellung]]en.

[[Bild:Raumzeigerdarstellung.svg|miniatur|right|Anordnung der im Stator angebrachten Spulen im sogenannten statorfesten αβ-Koordinatensystem.]]
Bei der Clarke-Transformation wird das zugrundeliegende rechtwinklige Koordinatensystem gleich dem ruhenden [[Stator]] gewählt und in die [[komplexe Ebene]] mit dem Realteil α und dem Imaginärteil β abgebildet, wobei die Summe der drei Außenleiterströme zu jedem Zeitpunkt immer null ist. Im Dreiphasensystem sind die drei Spulen des Stators einer Drehfeldmaschine jeweils um einen Winkel von 120° versetzt, wobei definitionsgemäß die Achse U mit der reellen Achse α zusammenfällt, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt.

Die Clarke-Transformation überführt die drei Phasenströme <math>I_U</math>, <math>I_V</math> und <math>I_W</math> in zwei dazu gleichwertige Ströme <math>I_\alpha</math> und <math>I_\beta</math>.

:<math>I_\alpha = \left(\cos(0^\circ)\cdot I_U + \cos(120^\circ)\cdot I_V + \cos(240^\circ)\cdot I_W \right) \frac{2}{3}</math>

:<math>I_\beta = \left(\sin(0^\circ)\cdot I_U + \sin(120^\circ)\cdot I_V + \sin(240^\circ)\cdot I_W \right) \frac{2}{3}</math>

In elementweiser [[Matrix (Mathematik)|Matrixschreibweise]] lautet sie:

:<math>\begin{bmatrix}I_\alpha\\I_\beta\end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix}</math>

Aufgrund der Voraussetzung, dass zu jedem Zeitpunkt die Summe der drei Phasenströme immer null ist, lässt sich diese Gleichung vereinfachen zu:

:<math>\begin{bmatrix}I_\alpha\\I_\beta\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_U\\I_V\end{bmatrix}</math>

In der Praxis bedeutet die Vereinfachung, dass nur bei zwei und nicht bei drei Strängen der Strom beispielsweise durch [[Stromwandler]] tatsächlich gemessen werden muss.

Die inverse Clarke-Transformation lautet:

:<math>\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}I_\alpha\\I_\beta\end{bmatrix}</math>

Die Transformation ist nicht nur auf die elektrischen Ströme beschränkt, sondern kann für alle anderen elektrischen Größen wie die dabei auftretenden [[elektrische Spannung|elektrischen Spannungen]] oder die [[magnetischer Fluss|magnetischen Flussdichten]] analog angewandt werden.

== Erweiterung ==
Bei einem nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystem kann durch Hinzufügen eines dritten Parameters <math>I_\gamma</math> im Rahmen der Theorie der [[Symmetrische Komponenten|symmetrischen Komponenten]] die α,β-Transformation zur α,β,γ-Transformation erweitert werden. <math>I_\gamma</math> ist dabei das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] der drei Phasenströme:

: <math>I_\gamma =\frac{1}{3}(I_U + I_V + I_W)</math>

mit der dann auch für nicht im Gleichgewicht befindlichen Dreiphasensystemen gültigen α,β,γ-Transformation:

:<math>\begin{bmatrix}I_\alpha\\I_\beta\\I_\gamma\end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_U\\I_V\\I_W\end{bmatrix}</math>

und der dazu inversen α,β,γ-Transformation:

:<math>\begin{bmatrix} I_U \\ I_V \\ I_W \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_\alpha\\ I_\beta \\ I_\gamma \end{bmatrix}
</math>

== Quellen ==
*{{Literatur
|Autor = Edith Clarke
|Titel = Circuit Analysis of AC Power Systems. Vol. I
|Verlag = J. Wiley & sons | Ort = New York | Jahr = 1943 }}
* [http://focus.ti.com/lit/an/bpra073/bpra073.pdf Field Orientated Control of 3-Phase AC-Motors] (PDF; 99 kB), Applikationsschrift BPRA073, Texas Instruments Europe, 1998

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Elektromaschinenbau]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Transformation]]

Clarke-Transformation - Versionsgeschichte

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