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2025-08-11T16:10:39Z

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Die '''Clapeyron-Gleichung,''' die [[Émile Clapeyron]] [[1834]] entwickelte, liefert die [[Steigung]] aller [[Phasengrenzlinie]]n im [[p-T-Diagramm]] eines [[Reinstoff]]es, d. h. z. B. auch zwischen zwei festen [[Phase (Materie)|Phasen]]. Sie lautet:

:<math> \frac{ \mathrm{d} p } { \mathrm{d} T } = \frac{ \Delta_\mathrm{trs} S } { \Delta_\mathrm{trs} V} </math>

mit
* <math>p</math> – [[Druck (Physik)|Druck]]
* <math>T</math> – [[Temperatur]] in [[Kelvin|K]]
*<math>\Delta_\mathrm{trs} S</math> – Änderung der [[Molare Größe|molaren]] [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]], d. h. der Entropie pro [[Stoffmenge]], beim [[Phasenübergang]]
*<math>\Delta_\mathrm{trs} V</math> – Änderung des [[Molares Volumen|molaren Volumens]]

== Spezifizierung für einzelne Phasenübergänge ==
Die Clapeyron-Gleichung lässt sich für verschiedene Phasengrenzen spezifizieren; insbesondere folgende [[Phasenübergang|Übergänge]] werden durch sie bestimmt:

* fest/flüssig, siehe [[Schmelzpunkt]]

* flüssig/gasförmig ([[Clausius-Clapeyron-Gleichung]], Temperaturabhängigkeit des [[Sättigungsdampfdruck]]s):

:<math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} \approx \frac{\Delta_\text{vap} H \cdot p}{R \cdot T^2}</math>

: mit <math>\Delta_\text{vap} H</math> – molare [[Verdampfungsenthalpie]]
: und <math>R</math> – [[universelle Gaskonstante]]

* fest/gasförmig (Temperaturabhängigkeit des [[Sublimationsdruck (Physik)|Sublimationsdampfdrucks]]):

:<math>\frac{\mathrm{d} \ln p}{\mathrm{d} T} \approx \frac{\Delta_\text{sub} H}{R \cdot T^2}</math>

: mit <math>\Delta_\text{sub} H</math> – molare [[Sublimierung (Physik)|Sublimationsenthalpie]]

== Herleitung ==
Die gesuchte Steigung der Phasengrenzlinien im ''p''-''T''-Diagramm wird durch die noch unbekannte Funktion <math>\mathrm {d}p/\mathrm {d}T</math> beschrieben.

An einer Phasengrenzlinie, d. h. bei dem Wertepaar aus Druck ''p'' und Temperatur ''T'', bei dem zwei Phasen ''α'' und ''β'' im [[Thermodynamisches Gleichgewicht|thermodynamischen Gleichgewicht]] koexistieren, besitzen diese beiden Phasen die gleichen [[Chemisches Potential|chemischen Potentiale]] ''μ'':

{{NumBlk|:|<math>\mu_\alpha(p,T) = \mu_\beta(p,T)</math>|1|LnSty=none}}

Da auf der gesamten Phasengrenzlinie auch bei [[infinitesimal]]en Veränderungen von ''p'' oder ''T'' Gleichung 1 gilt, muss auch die Veränderung der Potentiale immer gleich bleiben:

{{NumBlk|:|<math>\mathrm{d}\mu_\alpha = \mathrm{d}\mu_\beta </math>|2|LnSty=none}}

Aus der [[Gibbs-Duhem-Gleichung]] ist bekannt

{{NumBlk|:|<math>\mathrm{d}\mu = -S_\text{m} \cdot \mathrm{d}T + V_\text{m} \cdot \mathrm{d}p </math>.|3|LnSty=none}}

Einsetzen in Gleichung 2 liefert

{{NumBlk|:|<math>-S_{\alpha,\text{m}} \mathrm{d}T + V_{\alpha, \text{m}} \mathrm{d}p = -S_{\beta, \text{m}} \mathrm{d}T + V_{\beta, \text{m}} \mathrm{d}p </math>.|4|LnSty=none}}

Ausklammern von d''p'' und d''T'' sowie anschließende Umformung liefert die Clapeyron-Gleichung:

{{NumBlk|:|<math>\frac{ \mathrm{d}p } { \mathrm{d}T } = \frac{ \Delta_\text{trs} S } { \Delta_\text{trs} V} </math>|5|RawN=|LnSty=none}}

mit <math>\Delta_\text{trs} S = S_{\beta, \text{m}} - S_{\alpha, \text{m}}</math> 
und <math>\Delta_\text{trs} V = V_{\beta, \text{m}} - V_{\alpha, \text{m}}</math>.

Für [[Reversibler Prozess|reversible Vorgänge]] kann die Umwandlungsentropie aus der dabei umgesetzten [[Wärmemenge]] ''Q''rev berechnet werden, die bei [[Isobare Zustandsänderung|isobaren Vorgängen]] gleich der Änderung der molaren [[Enthalpie]] ''H''m ist:

{{NumBlk|:|<math> \Delta S_\text{m} = \frac{Q_\text{rev}}{T} = \frac{\Delta H_\text{m}}{T}</math>|6|LnSty=none}}

Damit erhält man die [[Clausius-Clapeyron-Gleichung]].

[[Kategorie:Thermodynamik]]

Clapeyron-Gleichung - Versionsgeschichte

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