2A02:8108:4887:A000:65F2:66D9:22E3:C133: /* Anwendung auf Tensorfelder */Link zur kovarianten Ableitung

2025-05-31T05:14:50Z

Anwendung auf Tensorfelder: Link zur kovarianten Ableitung

Neue Seite

In der [[Differentialgeometrie]] sind die '''Christoffelsymbole''', nach [[Elwin Bruno Christoffel]] (1829–1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der [[kovariante Ableitung|kovarianten Ableitung]] auf [[Mannigfaltigkeit]]en. Sie geben an, um wie viel sich Vektorkomponenten bei der [[Paralleltransport|Parallelverschiebung]] entlang einer Kurve ändern. In älterer Literatur findet sich auch die Bezeichnung ''Christoffel’sche Dreizeigersymbole'' (erster und zweiter Art).<ref>[[Karl Strubecker]]: ''Differentialgeometrie'', Band 2, S. 204 ff.</ref>

Im [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraum]] sind die Christoffelsymbole die Komponenten der [[Gradient eines Vektorfeldes#Allgemein krummlinige Koordinaten|Gradienten der ko- und kontravarianten Basisvektoren]] eines [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinatensystems]].<ref>Werner: ''Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik'', Band 1 S. 313 ff.</ref> In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] dienen die Christoffelsymbole zur Herleitung des [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemannschen Krümmungstensors]].

== Christoffelsymbole einer Fläche ==
In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also <math>S \subset \R^3</math> eine [[Orientierung (Mathematik)|orientierte]] [[reguläre Fläche]] und <math>X\colon U \subset \R^2 \to S</math> eine Parametrisierung von <math>S</math>. Die Vektoren <math>\textstyle \frac{\partial X}{\partial u}(p)</math> und <math>\textstyle \frac{\partial X}{\partial v}(p)</math> bilden eine Basis der [[Tangentialebene]] <math>T_pS</math>, und mit <math>N_p</math> wird der [[Normalenvektor]] zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren <math>\textstyle \frac{\partial X}{\partial u}(p), \ \tfrac{\partial X}{\partial v}(p),\ N_p</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des <math>\R^3</math>. Die Christoffelsymbole <math>\Gamma^k_{ij}</math>, <math>i,j,k = 1,2 </math> werden bezüglich der Parametrisierung <math>X</math> dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:
:<math>\textstyle \begin{align}
\frac{\partial^2 X}{\partial u^2} &= \Gamma^1_{11} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{11}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{11} N\,,\\[0.5em]
\frac{\partial^2 X}{\partial u \partial v} &= \Gamma^1_{12} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{12}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{12} N\,,\\[0.5em]
\frac{\partial^2 X}{\partial v \partial u} &= \Gamma^1_{21} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{21}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{21} N\,,\\[0.5em]
\frac{\partial^2 X}{\partial v^2} &= \Gamma^1_{22} \frac{\partial X}{\partial u} + \Gamma^2_{22}\frac{\partial X}{\partial v} + h_{22} N\,.
\end{align}</math>
Schreibt man <math>X_1</math> für <math>\tfrac{\partial X}{\partial u}</math>, <math>X_2</math> für <math>\tfrac{\partial X}{\partial v}</math> und <math>X_{11}</math>
für <math>\tfrac{\partial^2 X}{\partial u^2}</math>, <math>X_{21}</math>
für <math>\tfrac{\partial^2 X}{\partial u \partial v}</math> und <math>X_{22}</math>
für <math>\tfrac{\partial^2 X}{\partial^2 v}</math>, so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als
:<math>X_{ij} = \sum_{k = 1}^2\Gamma^k_{ij}X_k + h_{ij}N</math>
schreiben.
Aufgrund des [[Satz von Schwarz|Satzes von Schwarz]] gilt <math>\tfrac{\partial X_2}{\partial u} = \tfrac{\partial X_1}{\partial v}</math>, das heißt, <math>X_{12}=X_{21}\,</math>, und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, das heißt <math>\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21}</math> und <math>\Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21}</math>. Die Koeffizienten <math>h_{11}</math>, <math>h_{12} = h_{21}</math> und <math>h_{22}</math> sind die Koeffizienten der [[Zweite Fundamentalform|zweiten Fundamentalform]].

Ist <math>\gamma \colon \left]a,b \right[ \to S</math> eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung <math>\gamma(t) = X\bigl(u_1(t),\,u_2(t)\bigr)</math>, so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch
:<math>(\ddot\gamma)^\top = \left(\ddot u_1 + \sum_{i,j = 1}^2 \Gamma^1_{ij} \dot u_i \dot u_j \right)\frac{\partial X}{\partial u_1} + \left(\ddot u_2 + \sum_{i,j=1}^2 \Gamma^2_{ij} \dot u_i \dot u_j \right)\frac{\partial X}{\partial u_2}</math>
gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems <math>(\ddot\gamma)^\top = 0</math> findet man also die [[Geodäte]]n auf der Fläche.

== Allgemeine Definition ==
Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf [[Mannigfaltigkeit]]en verallgemeinern. Sei also <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] <math>\nabla</math>. Bezüglich einer Karte <math>(U,\varphi)</math> erhält man mittels <math>\textstyle \partial_1|_p := \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_p, \ldots , \partial_n|_p := \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_p</math> eine Basis des Tangentialraums <math>T_pM</math> und somit auch ein [[Vektorbündel#Rahmen|lokales Reper]] (Basisfeld) <math>\partial_1, \ldots , \partial_n</math> des [[Tangentialbündel]]s.
Für alle Indizes <math>i</math> und <math>j</math> sind dann die Christoffelsymbole <math>\Gamma_{ij}^k</math> durch
:<math>\nabla_{\partial_i} \partial_j =: \Gamma_{ij}^k \partial_k</math>
definiert. Die <math>n^3</math> Symbole <math>\Gamma_{ij}^k</math> bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber ''keinen'' [[Tensor]], s. u.).

Man kann die Christoffelsymbole auch für ein [[n-Bein]], d. h. eine lokale Basis <math>E_1 , \ldots , E_n,</math> die nicht unmittelbar durch eine Karte festgelegt wird, gemäß
:<math>\nabla_{E_i} E_j =: \Gamma_{ij}^k E_k</math>
definieren, wobei hier und im Folgenden die Summenzeichen gemäß der [[Einsteinsche Summenkonvention|Einsteinschen Summenkonvention]] weggelassen werden.

== Eigenschaften ==
=== Kovariante Ableitung von Vektorfeldern ===
Im Folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt, <math>\partial_1 , \ldots , \partial_n</math> einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird, und <math>E_1, \ldots , E_n</math> einen beliebigen lokalen Rahmen.

Seien <math>X,Y \in \Gamma(TM)</math> [[Vektorfeld]]er mit den in <math>U \subset TM</math> lokalen Darstellungen <math>X = X^i E_i</math> und <math>Y = Y^j E_j</math>. Dann gilt für die [[kovariante Ableitung]] von <math>Y</math> in Richtung von <math>X</math>:
:<math style="margin-left:2em">\nabla_X Y = (XY^k + X^i Y^j \Gamma^k_{ij}) E_k.</math>
Dabei bezeichnet <math>X Y^k</math> die Anwendung der [[Tangentialraum#Erste algebraische Definition: verallgemeinerte Ableitungen|Derivation]] <math>X</math> auf die Komponentenfunktion <math>Y^k</math>.

Wählt man einen lokalen Rahmen <math>\partial_1 , \ldots , \partial_n</math>, der von einer Karte <math>\varphi</math> induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld <math>X</math> speziell das Basisvektorfeld <math>\partial_i</math>, so erhält man
:<math>\nabla_{\partial_i} Y = (\partial_i Y^k + Y^j \Gamma^k_{ij}) \partial_k</math>
bzw. für die <math>k</math>-te Komponente
:<math>(\nabla_{\partial_i} Y)^k = \partial_i Y^k + Y^j \Gamma^k_{ij}.</math>
Im [[Indexnotation von Tensoren|Indexkalkül für Tensoren]] schreibt man dafür auch <math>Y^k_{;i}</math> oder <math>D_i Y^k</math>, während man die partielle Ableitung <math>\tfrac{\partial (Y^k\circ\varphi^{-1})}{\partial \varphi^i}</math> als <math>Y^k_{,i}</math> bezeichnet. Es ist bei <math>Y^k_{;i}</math> aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente <math>Y^k</math> abgeleitet wird, sondern dass es sich um die <math>k</math>-te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds <math>Y</math> handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als
:<math>D_i Y^k = \frac{\partial Y^k}{\partial \varphi^i} + \Gamma_{ij}^k Y^j </math>
bzw.
:<math>Y^k_{;i} = Y^k_{,i} + \Gamma_{ij}^k Y^j.</math>

Wählt man für <math>X</math> und <math>Y</math> den Tangentialvektor <math>\dot \gamma</math> einer Kurve <math>\gamma\colon\left]a,b\right[ \to M</math> und ist <math>M</math> eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat <math>\nabla_{\dot \gamma}\dot \gamma</math> die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie <math>(\ddot\gamma)^\top</math> aus dem ersten Abschnitt.

=== Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten ===
Sei <math>(M,g)</math> eine [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannsche]] oder [[pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit]] und <math>\nabla</math> der [[Levi-Civita-Zusammenhang]]. Der lokale Rahmen sei der durch eine Karte <math>(U, x)</math> induzierte <math>\partial_1 , \ldots , \partial_n</math>.

Hier kann man die Christoffelsymbole durch
:<math>\Gamma^{\sigma}_{{\mu}{\nu}} = \frac{1}{2} g^{{\sigma}{\kappa}} \left(\frac{\partial g_{{\nu}{\kappa}}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{{\mu}{\kappa}}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{{\mu}{\nu}}}{\partial x^{\kappa}}\right)</math>
aus dem [[Metrischer Tensor|metrischen Tensor]] <math>g</math> gewinnen,<ref name="weisstein">[[Eric Weisstein]]: [https://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html ''Christoffel Symbols of the Second Kind''] (Wolfram Mathworld)</ref><ref name="kussewestwig">Bruce Kusse, Erik Westwig: [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9783527618132.app6#page=5 ''Christoffel Symbols and covariant derivatives''] (Seite 5, Formel F.24)</ref> wobei, wie in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] üblich, griechische Buchstaben für die Raumzeit-Indizes benutzt wurden. In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt <math>\Gamma_{{\mu}{\nu}}^{\sigma} = \Gamma_{{\nu}{\mu}}^{\sigma}</math> für alle <math>{\mu}</math> und <math>{\nu}</math>. Diese Christoffelsymbole nennt man auch ''Christoffelsymbole zweiter Art''.

Als ''Christoffelsymbole erster Art'' werden die Ausdrücke
:<math>\Gamma_{{\mu}{\nu}{\kappa}} = \frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} g_{{\nu}\kappa} + \partial_{\nu} g_{{\mu}{\kappa}} - \partial_{\kappa} g_{{\mu}{\nu}}\right)\,\,( =\Gamma_{{\mu}{\nu}}^{\sigma} \,g_{{\sigma}{\kappa}})</math>
bezeichnet.

Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind für die Christoffelsymbole erster Art
:<math>[\mu \nu,\kappa] = \Gamma_{\mu \nu \kappa}\ ,</math>
sowie für die Christoffelsymbole zweiter Art
:<math>\begin{Bmatrix} \sigma \\ \mu \nu \end{Bmatrix} = \Gamma^\sigma_{\; \mu \nu}\ .</math>

== Anwendung auf Tensorfelder ==
Die [[kovariante Ableitung]] kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf.
In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes <math>g</math> ist
:<math>D_\mu g = \frac{\partial g}{\partial x^\mu}.</math>

Die kovariante Ableitung eines [[Vektorfeld]]es <math>V^{\nu}\ </math> ist
:<math>D_\mu V^\nu = \frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} + \Gamma^\nu_{\lambda \mu} V^\lambda</math>
und bei einem [[Kovektorfeld]], also einem (0,1)-[[Tensorfeld]] <math>V_\nu</math> erhält man
:<math>D_\mu V_\nu = \frac{\partial V_\nu}{\partial x^\mu} - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} V_\lambda.</math>

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes <math>A^{\mu\nu}</math> ist
:<math>D_\lambda A^{\mu\nu} = \frac{\partial A^{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda} A^{\rho\nu} + \Gamma^\nu_{\rho\lambda} A^{\mu\rho}.</math>
Bei einem (1,1)-Tensorfeld <math>A^\mu_\nu</math> lautet sie
:<math>D_\lambda A^\mu_\nu = \frac{\partial A^\mu_\nu}{\partial x^\lambda} + \Gamma^\mu_{\rho\lambda} A^\rho_\nu - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} A^\mu_\rho</math>
und für ein (0,2)-Tensorfeld <math>A_{\mu\nu}\ </math> erhält man
:<math>D_\lambda A_{\mu\nu} = \frac{\partial A_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda} A_{\rho\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} A_{\mu\rho}.</math>

Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die [[Tensor]]eigenschaften (z. B. das korrekte Transformationsverhalten).

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Werner |Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik |TitelErg=Tensoralgebra und Tensoranalysis |Seiten=313 ff |Band=1 |Verlag=Springer Vieweg Verlag |Ort=Wiesbaden |Jahr=2019 |ISBN=978-3-658-25271-7 |DOI=10.1007/978-3-658-25272-4}}
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Werner |Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik |TitelErg=Tensoren in Mathematik und Physik |Band=2 |Verlag=Springer Vieweg Verlag |Ort=Wiesbaden |Jahr=2019 |ISBN=978-3-658-25279-3 |DOI=10.1007/978-3-658-25280-9}}
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Differential Geometry of Curves and Surfaces.'' Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian Geometry.'' Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
* John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]
[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]

Christoffelsymbole - Versionsgeschichte

2A02:8108:4887:A000:65F2:66D9:22E3:C133: /* Anwendung auf Tensorfelder */Link zur kovarianten Ableitung