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2025-02-23T12:42:30Z

Präzisierung

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Die '''Choquet-Theorie''' (nach [[Gustave Choquet]]) ist eine mathematische Theorie aus dem [[Teilgebiet der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]]. Sie präzisiert die Vorstellung, dass die Punkte einer [[Kompakter Raum|kompakten]], [[Konvexe Menge|konvexen]] Menge eines [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Raumes]] als „Mittelung“ über die Menge der [[Extremalpunkt]]e dieser Menge dargestellt werden können.

== Der endlichdimensionale Fall ==
Ist <math>K\subset E</math> eine kompakte, konvexe Menge eines <math>n</math>-dimensionalen reellen [[Vektorraum]]s, so kann man jeden Punkt <math>x_0</math> aus <math>K</math> nach dem [[Satz von Minkowski]] als [[Konvexkombination]] von <math>n+1</math> Extremalpunkten <math>y_0,\ldots, y_n</math> darstellen, etwa <math>x_0 = \lambda_0 y_0+\ldots+\lambda_n y_n</math>, wobei <math>\lambda_i\in [0,1]</math> und <math>\textstyle \sum_{i=0}^n \lambda_i=1</math>. Bezeichnet <math>\varepsilon_{y_i}</math> das [[Einpunktmaß]] in <math>y_i</math>, so folgt für jede [[affine Abbildung]] <math>a\colon K\mapsto\R</math>

:<math>a(x_0) = \sum_{i=0}^n \lambda_i a(y_i) = \int_{\mathrm{ex}(K)} a(x)\, \mathrm{d}\sum_{i=0}^n \lambda_i\varepsilon_{y_i}(x)</math>,

wobei <math>\mathrm{ex}(K)</math> für die Menge der Extremalpunkte stehe. Das erste Gleichheitszeichen folgt aus der angegebenen Konvexkombination für <math>x_0</math> und der Affinität von <math>a</math>, das zweite ist klar, da die rechte Seite nur eine [[Maßtheorie|maßtheoretische]] Schreibweise der linken Summe ist. In diesem Sinne kann also jeder Punkt aus <math>K</math> als Mittelung bezüglich eines auf der Menge der Extremalpunkte konzentrierten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es dargestellt werden. Die Choquet-Theorie beschäftigt sich mit unendlichdimensionalen Verallgemeinerungen dieses Sachverhaltes.

== Allgemeine Situation ==
Es sei <math>K\subset E</math> eine kompakte, konvexe Menge eines lokalkonvexen Raums. Dann ist <math>\overline{\mathrm{ex}(K)}</math>, der Abschluss der Menge der Extremalpunkte von <math>K</math>, ebenfalls kompakt.

Es sei <math>A(K)</math> der Raum aller [[Stetige Funktion|stetigen]], [[affine Abbildung|affinen]] Abbildungen auf <math>K</math> mit Werten in den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]].
Die [[Einschränkung (Mathematik)|Restriktionsabbildung]] <math>\varphi\colon A(K)\rightarrow C\left(\overline{\mathrm{ex}(K)}\right), a\mapsto a|_{\overline{\mathrm{ex}(K)}}</math> in die Algebra der stetigen Funktionen ist [[Isometrie|isometrisch]], wie leicht aus dem [[Satz von Krein-Milman]] folgt, denn <math>\{x\in K;\, a(x) = \sup a(K)\}</math> ist eine abgeschlossene Seite, die ihrerseits Extremalpunkte von <math>K</math> enthalten muss.
<math>A(K)</math> kann in diesem Sinne als Teilraum von <math>C\left(\overline{\mathrm{ex}(K)}\right)</math> aufgefasst werden.

Sei nun <math>x_0\in K</math> ein Punkt, den wir über die Menge der Extremalpunkte „mitteln“ wollen. Die Abbildung <math>a\mapsto a(x_0)</math> ist ein positives, stetiges, [[lineares Funktional]] auf <math>A(K)</math> mit [[Norm (Mathematik)|Norm]] 1 und kann nach dem [[Satz von Hahn-Banach]] normgleich zu einem stetigen linearen Funktional nach <math>C(\overline{\mathrm{ex}(K)})</math> fortgesetzt werden. Nach dem [[Darstellungssatz von Riesz-Markow]] gibt es daher ein [[Reguläres Maß|reguläres]] [[Borelmaß]] auf <math>\overline{\mathrm{ex}(K)}</math>, so dass folgende Formel gilt:

:<math> a(x_0) = \int_{\overline{\mathrm{ex}(K)}}a(x)\,\mathrm{d}\mu(x)\qquad \text{für alle }a\in A(K) </math>

Das notiert man auch kurz als

:<math> x_0 = \int_{\overline{\mathrm{ex}(K)}}x\,\mathrm{d}\mu(x)</math>,

was aber nichts anderes als die vorangegangene Formel bedeuten soll. Man sagt in diesem Fall, der Punkt <math>x_0</math> sei durch das Maß <math>\mu</math> dargestellt. In diesem Sinne liefert der Satz von Krein-Milman für einen Punkt <math>x_0\in K</math> also eine Art Mittelung über <math>\overline{\mathrm{ex}(K)}</math>, der Punkt <math>x_0</math> ergibt sich als Integral nach einem Maß auf dem Abschluss der Menge der Extremalpunkte.

In vielen unendlichdimensionalen Fällen ist der Abschluss der Menge aller Extremalpunkte gleich der kompakten, konvexen Menge selbst, so dass obige Aussage uninteressant wird, da man als Maß dann das [[Einpunktmaß]] in <math>x_0</math> nehmen kann. Es wäre daher besser, wenn man wie im endlichdimensionalen Fall auf die Abschlussbildung verzichten könnte, aber die Menge der Extremalpunkte ist im Allgemeinen keine Borelmenge<ref>E. Bishop, K. de Leeuw: ''The representation of linear functionals by measures on sets of extreme points'', Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 1959, Band 9, Seiten 305–331, siehe Seite 327</ref>, so dass man nicht von Borelmaßen auf dieser Menge sprechen kann.
Ist die kompakte konvexe Menge aber sogar [[Metrisierbarkeit|metrisierbar]], so tritt dieser Fall nicht auf, und der Satz von Choquet liefert eine Darstellung der gewünschten Art. Im nicht-metrisierbaren Fall muss man wegen der fehlenden Messbarkeit anders formulieren und kommt zum Satz von Bishop-de Leeuw.

== Satz von Choquet ==
Ist die kompakte, konvexe Menge metrisierbar, so liegen die oben erwähnten Messbarkeitsprobleme nicht vor, denn dann ist die Menge der Extremalpunkte eine [[G-delta-Menge|G<sub>δ</sub>-Menge]] und daher Borel-messbar.<ref>R. R. Phelps: ''Lectures on Choquet's Theorem'', van Nostrand (1966), Proposition 1.3</ref>

* ''Satz von [[Gustave Choquet|Choquet]]<ref>R. R. Phelps: ''Lectures on Choquet's Theorem'', van Nostrand (1966), Theorem im Kapitel 3</ref>'' (1956) : Sei <math>K</math> eine metrisierbare, kompakte, konvexe Menge eines lokalkonvexen Raums und <math>x_0\in K</math>. Dann gibt es ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>\mu</math> mit Träger in <math>{\mathrm{ex}(K)}</math>, das den Punkt <math>x_0</math> darstellt.

== Satz von Bishop-de Leeuw ==
Wenn die kompakte, konvexe Menge nicht metrisierbar ist, so kann es vorkommen, dass die Menge der Extremalpunkte nicht messbar ist, und die Aussage, ein Maß habe Träger in der Menge der Extremalpunkte, hat keinen Sinn. Man könnte diese Bedingung abschwächen, indem man fordert, dass das Maß auf jeder [[Borelsche σ-Algebra|Borelmenge]], die mit der Menge der Extremalpunkte einen leeren Schnitt hat, verschwindet. Aber selbst das erweist sich als nicht ausreichend, man muss zusätzlich die betrachteten Borelmengen reduzieren.

Unter dem baireschen [[Sigma-Ring|σ-Ring]], benannt nach [[René Louis Baire|R. L. Baire]], versteht man den von allen kompakten [[G-delta-Menge|G<sub>δ</sub>-Mengen]] [[Erzeugendensystem|erzeugten]] σ-Ring. Die Elemente dieses <math>\sigma</math>-Ringes heißen auch Baire-Mengen.

* ''Satz von [[Errett Bishop|Bishop]]-[[Karel de Leeuw|de Leeuw]]<ref>R. R. Phelps: ''Lectures on Choquet's Theorem'', van Nostrand (1966), Theorem im Kapitel 4</ref>'' (1959): Sei <math>K</math> eine kompakte, konvexe Menge eines lokalkonvexen Raums und <math>x_0\in K</math>. Dann gibt es ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>\mu</math> auf <math>K</math>, das auf jeder zur Menge der Extremalpunkte disjunkten Baire-Menge verschwindet und den Punkt <math>x_0</math> darstellt.

== Bemerkungen ==
Der Satz von Bishop-de Leeuw, der auch manchmal Satz von Choquet-Bishop-de Leeuw genannt wird, ist eine echte Verallgemeinerung des Satzes von Choquet, denn in einem kompakten, metrisierbaren Raum ist jede abgeschlossene Menge eine kompakte <math>G_\delta</math>-Menge.

Der Satz von Bishop-de Leeuw verschärft den Satz von Krein-Milman, denn letzterer lässt sich leicht aus ersterem zurückgewinnen. Ist <math>x_0</math> Punkt einer kompakten, konvexen Menge, so hat ein darstellendes Maß aus dem Satz von Bishop-de Leeuw offenbar den Träger im Abschluss der Menge der Extremalpunkte. Indem man das Maß durch diskrete Maße approximiert, sieht man, dass
<math>x_0</math> im Abschluss der konvexen Hülle von <math>\overline{\mathrm{ex}(K)}</math> liegt, woraus sich nun leicht der Satz von Krein-Milman ableiten lässt.

Die hier vorgestellten Sätze haben Anwendungen in der Theorie der [[Banachalgebra|Banachalgebren]], was dann zum Begriff des [[Choquet-Rand]]es führt, und auch in anderen Bereichen der Funktionalanalysis. Für weiterführende Einzelheiten wird auf das unten angegebene Lehrbuch von R.R. Phelps verwiesen.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Choquet-Theorie - Versionsgeschichte

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