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2023-01-23T09:53:00Z

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Die '''Chirale Symmetrie''' (von {{grcS|χείρ}} Hand) ist eine mögliche [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] der [[Lagrangefunktion]] in der [[Quantenfeldtheorie]], die vielfach – zumindest näherungsweise – gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt, z. B. bei den [[Pion]]en.

Dabei werden [[Chiralität (Physik)|linkshändiger]] und [[Chiralität (Physik)|rechtshändiger]] Anteil der [[fermion]]ischen [[Feld (Physik)|Felder]] unabhängig transformiert. Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente, die linkshändigen und rechtshändigen Anteil gleich behandelt (''Vektor-Symmetrie''), und eine Komponente, die sie „entgegengesetzt“ behandelt (''Axiale Symmetrie''). Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark-Kondensation in der erstgenannten Phase.

== Beispiel: ''u''- und ''d''-Quarks in der QCD ==
Man betrachte die [[Quantenchromodynamik]] (QCD) mit den beiden masselosen [[Quark (Physik)|Quarks]] ''u'' und ''d''. Die Lagrange-Funktion lautet
:<math>\mathcal{L} = \overline{u}\,i\displaystyle{\not}D \,u + \overline{d}\,i\displaystyle{\not}D\, d + \mathcal{L}_\text{Gluonen}\,.</math>

Das ''i'' bedeutet dabei die imaginäre Einheit und <math>\displaystyle{\not}D </math> den [[Dirac-Operator]] in der [[Feynman-Slash-Notation]]. Die ''u'' und ''d'' sind die vierkomponentigen Dirac-Spinoren und der Überstrich bezeichnet die Dirac-Adjungierte.

Nach der Quantenchromodynamik sind die [[Mesonen]] aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt, z. B. das <math>\,\pi^+</math> aus einem <math>\,u</math> und einem <math>\overline d</math>. Das ändert jedoch die folgende Herleitung nicht prinzipiell.

In der Darstellung der linkshändigen und rechtshändigen [[Spinor]]en erhält man also zunächst
:<math>\mathcal{L} = \overline{u}_L\,i\displaystyle{\not}D \,u_L + \overline{u}_R\,i\displaystyle{\not}D \,u_R + \overline{d}_L\,i\displaystyle{\not}D \,d_L + \overline{d}_R\,i\displaystyle{\not}D \,d_R + \mathcal{L}_\text{Gluonen}\,.</math>

Es wird definiert
:<math>q = \begin{bmatrix} u \\ d \end{bmatrix}\,. </math>

Somit folgt
:<math>\mathcal{L} = \overline{q}_L\,i\displaystyle{\not}D \,q_L + \overline{q}_R\,i\displaystyle{\not}D \,q_R + \mathcal{L}_\text{Gluonen}\,.</math>

Die Lagrangefunktion bleibt bei Rotation der <math>q_L</math> mit unitären 2×2-[[Unitäre Matrix|Matrizen]] ''L'' und bei Rotation der <math>q_R</math> mit unitären 2×2-Matrizen ''R'' jeweils invariant. Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird ''Flavor-Symmetrie'' oder ''Chirale Symmetrie'' genannt und als <math>U(2)_L \times U(2)_R</math> notiert. Sie kann in folgende Teilsymmetrien zerlegt werden
:<math>SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_V \times U(1)_A\,\,. </math>

Die Vektor-Symmetrie <math>U(1)_V\,</math> lautet
:<math>
q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad
q_R \rightarrow e^{i\theta} q_R
</math>
und entspricht der [[Baryonenzahl]]-Erhaltung.

Die entsprechende axiale Operation <math>U(1)_A\,</math> ist
:<math>
q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad
q_R \rightarrow e^{-i\theta} q_R\,.
</math>
Sie entspricht ''keiner'' [[Erhaltungsgröße]], da sie durch eine [[Anomalie (Quantenfeldtheorie)|Quanten-Anomalie]] gebrochen wird.

Es stellt sich heraus, dass die verbleibende chirale Symmetrie <math>SU(2)_L \times SU(2)_R</math> zur [[Gruppentheorie|Vektor-Untergruppe]] <math>SU(2)_V\,</math> (der [[Isospin|Isospin-Gruppe]]) [[Spontane Symmetriebrechung|spontan gebrochen]] wird. Die Symmetriebrechung äußert sich dabei durch ein entsprechendes, vollständiges [[Fermionen-Kondensat|Quark-Kondensat]].

Die [[Goldstonetheorem|Goldstone-Bosonen]], die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen, sind die [[Pion]]en. Da die Massen der Quarks nicht gleich sind, ist die <math>SU(2)_L \times SU(2)_R</math> nur näherungsweise eine Symmetrie des Systems. Die Pionen sind somit keine „echten“, masselosen Goldstone-Bosonen, sondern sog. Pseudo-Goldstone-Bosonen.

== Chiraler Limes ==
Von der „chiralen Symmetrie“ zu ''unterscheiden'' ist der „chirale Limes“ (<math>m \to 0</math>) einer ''einzelnen'' [[Dirac-Gleichung]]. Dieser Limes ist am besten bei [[Neutrino]]s bzw. ihren [[Antiteilchen]] mit ihrer wohldefinierten Chiralität realisiert:
* „Linksschraube“ bzgl. [[Spin]] <math>\vec s</math> und [[Impuls]] <math>\vec p</math> bei Neutrinos: <math>\vec s \propto - \vec p</math>
* „Rechtsschraube“ bzgl. Spin und Impuls bei Antineutrinos: <math>\vec s \propto + \vec p</math>
sowie in Festkörpern bei den [[Graphen]]en.

== Siehe auch ==
* [[Spontane Symmetriebrechung]]

== Weblinks ==
* [http://www.weltderphysik.de/de/363.php Starke Kraft zwischen rechts und links]

[[Kategorie:Symmetrie (Physik)]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Chirale Symmetrie - Versionsgeschichte

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