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2025-12-31T20:07:45Z

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In der [[Mathematik]], genauer in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und in der [[Differentialgeometrie]] und [[Differentialtopologie|-topologie]], sind '''Chernklassen''' ein spezieller Typ von [[Charakteristische Klasse|charakteristischen Klassen]], die komplexen [[Vektorbündel]]n zugeordnet werden.

Chernklassen sind nach [[Shiing-Shen Chern]] benannt, der sie in den 1940er-Jahren erstmals allgemein definierte.

== Grundidee und Motivation ==

Chernklassen sind charakteristische Klassen. Sie sind damit [[topologische Invariante]]n von komplexen Vektorbündeln über glatten [[Mannigfaltigkeit]]en und zwei isomorphe Vektorbündel haben somit dieselben Chernklassen. Die Chernklassen liefern also eine Möglichkeit zu verifizieren, dass zwei Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeiten verschieden sind, jedoch kann mit ihrer Hilfe nicht entschieden werden, dass zwei Vektorbündel isomorph sind (da nicht-isomorphe Vektorbündel dieselbe Chernklasse haben können).

In der Topologie, der Differentialgeometrie und der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] ist es oft wichtig, die maximale Anzahl
[[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängiger]] [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]] eines Vektorbündels zu bestimmen. Chernklassen ermöglichen, darüber Information zu erhalten, zum Beispiel mit dem [[Riemann-Roch-Theorem]] oder dem [[Atiyah-Singer-Indexsatz]]. Das ist einer der Gründe, warum Chernklassen ein wichtiges Hilfsmittel der modernen Mathematik sind.

Chernklassen sind darüber hinaus in vielen Fällen der Praxis auch explizit berechenbar. In der Differentialgeometrie (und in Teilen der algebraischen Geometrie) können Chernklassen als Polynome in den Koeffizienten der [[Krümmungsform]] ausgedrückt werden.

Daher werden Chernklassen benutzt, um verschiedenste Probleme der Mathematik anzugehen. Auch in der Physik finden sie Anwendung.

== Die Chernklasse eines Hermiteschen Vektorbündels auf einer glatten Mannigfaltigkeit ==
Sei <math>M</math> eine [[glatte Mannigfaltigkeit]], <math>\pi \colon V \to M </math> ein [[hermitesches Vektorbündel]] mit Rang <math>n</math> über <math>M</math> und <math>\nabla</math> ein [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] auf <math>V</math>. Die <math>k</math>-te Chernform <math>c_k(\nabla)</math> von <math>V</math> ist dann durch die Koeffizienten des [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynoms]] der [[Krümmungsform]] <math>\Omega</math> von <math>V</math> gegeben, das heißt

:<math>
\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(\nabla) t^k</math>.

Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] wird über dem Ring der <math>n \times n</math>-Matrizen mit Einträgen aus dem [[Polynomring]] über der kommutativen Algebra der geraden [[Komplexe Differentialform|komplexen Differentialformen]] auf <math>M</math> gebildet. Die Krümmungsform <math>\Omega</math> ist Lie-Algebra-wertig, und durch

:<math>
\Omega=d\omega+\frac{1}{2}[\omega,\omega]
</math>

definiert, wobei <math>\omega</math> die Zusammenhangsform und <math>d</math> die [[äußere Ableitung]] ist.

Die, ebenfalls mit <math>c_k</math> bezeichnete, <math>k</math>-te Chernklasse <math>c_k(V)\in H_{dR}^{2k}(M;\Complex)</math> ist definiert als die [[De-Rham-Kohomologie|de Rhamsche Kohomologieklassen]] der <math>k</math>-ten Chernform. Die Chernklasse, also die Kohomologieklasse der Chernform, hängt nicht von der Wahl des [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhangs]] in <math>V</math> ab. Die Chernklasse ist also eine Invariante des Vektorbündels, während die Chernform vom gewählten Zusammenhang abhängt.

Man kann zeigen, dass die Chernklassen im Bild von <math>H^*(M;\Z)\rightarrow H^*(M;\Complex)</math> liegen.

== Beispiel: Das komplexe Tangentialbündel der Riemannschen Zahlenkugel ==

Sei '''CP'''<sup>1</sup> die [[Riemannsche Zahlenkugel]], der eindimensionale [[Komplexer projektiver Raum|komplexe projektive Raum]]. Sei weiter <math>z</math> eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe]] [[Mannigfaltigkeit|lokale Koordinate]], <math>V = T\mathbf{CP}^1</math> das komplexe Tangentialbündel, die Vektoren haben an jedem Punkt die Form <math>a\, \partial/\partial z</math>, dabei bezeichnet <math>a</math> eine [[komplexe Zahl]]. Wir zeigen, dass <math>V</math> keinen nirgends verschwindenden [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] hat.

Dafür benötigen wir folgende Tatsache: Die erste Chernklasse eines trivialen Bündels ist Null, d. h.

: <math>c_1({\mathbf C\mathbf P}^1\times {\mathbf C})=0.</math>

Davon kann man sich dadurch überzeugen, dass ein triviales Bündel stets eine flache Metrik hat.

Nun zeigen wir
:<math>c_1(V) \not= 0.</math>

Betrachte dazu eine Mannigfaltigkeit mit der [[Kählermannigfaltigkeit|Kähler-Metrik]]

:<math>h = \frac{dzd\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}.</math>

Die Krümmungsform zu <math>h</math> ist dann durch

:<math>\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}.</math>

gegeben. Nach Definition der ersten Chernklasse ist

:<math>c_1=\frac{i}{2\pi}\Omega.</math>

Wir müssen zeigen, dass die Kohomologieklasse von <math>c_1</math> von Null verschieden ist. Dazu berechnen wir das Integral

:<math>\int c_1=\frac{i}{\pi}\int \frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=2</math>

durch Koordinatentransformation. Nach dem [[Satz von Stokes]] hätte das Integral einer [[Exakte Form|exakten Form]] dagegen den Wert 0, also ist <math>T\mathbf{CP}^1</math> nicht trivial.

Dieses Beispiel zeigt zugleich, durch den Bezug auf den Satz von Stokes, dass differentialtopologische Anwendungen der Chernschen Klassifizierung (z. B. in der Physik, siehe unten) vor allem „Umlauf-Probleme“ betreffen werden.

== Eigenschaften ==

Sei <math>V</math> ein komplexes [[Vektorbündel]] über dem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>X</math>. Die ''Chernklassen'' von <math>V</math> sind eine Folge von Elementen der [[Kohomologie]] von <math>X</math>. Die <math>k</math>-te Chernklasse von <math>V</math>, die üblicherweise <math>c_k(V)</math> bezeichnet wird, ist ein Element von <math>H^{2k}(X)</math>,
der Kohomologie von ''X'' (mit ganzzahligen Koeffizienten). Man definiert auch die ''totale Chernklasse''

:<math>c(V) = c_0(V) + c_1(V) + c_2(V) + \cdots</math>

als Element von <math>H^*(X)</math>.

Die Chernklassen genügen den folgenden vier Axiomen:

* <math>c_0(V) = 1</math> für jedes <math>V</math>.

* [[Funktor (Mathematik)|Funktorialität]]: Ist <math>f \colon Y\to X</math> eine [[stetige Funktion]] und <math>f^* V</math> das mittels <math>f</math> [[Zurückgezogenes Vektorbündel|zurückgeholte Bündel]], so ist <math>c_k(f^* V) = f^* c_k(V)</math> für jedes <math>k</math>.<ref>Milnor & Stasheff 74, Lemma 14.2</ref>

* Additivität: Ist <math>W \to X</math> ein weiteres komplexes Bündel, so ist die Chernklasse der [[Whitney-Summe]] <math>V \oplus W</math> durch<ref>Milnor & Stasheff 74, Gleichung (14.7)</ref><ref>Lawson & Michelson 90, Gleichung (B.9)</ref>

::<math>c(V \oplus W) = c(V) \cup c(W)</math>

:gegeben, das heißt für jedes <math>k</math> ist

::<math>c_k(V\oplus W)=\sum_{i=0}^kc_i(V)\cup c_{k-i}(W).</math>

* Normalisierung: Die totale Chernklasse des [[Tautologisches Bündel|tautologischen Geradenbündels]] über <math>\mathbf{CP}^k</math> ist <math>1 - H</math>. Dabei bezeichnet <math>H</math> das [[Poincaré-Dual]] der [[Hyperebene]] <math>\mathbf{CP}^{k - 1} \subseteq \mathbf{CP}^k</math>.

[[Alexander Grothendieck]] hat diese Axiome durch etwas schwächere ersetzt:

* Funktionalität: (siehe oben)

* Additivität: Ist <math>0\rightarrow V'\rightarrow V\rightarrow V''\rightarrow 0</math> eine [[exakte Sequenz]] von Vektorbündeln, dann ist <math>c(V)=c(V')\cup c(V'')</math>.

* Normalisierung: Ist <math>V</math> ein [[Geradenbündel (Faserbündel)|Geradenbündel]], dann ist <math>c(V)=1+e(V_{\mathbf R})</math>, dabei bezeichnet <math>e(V_{\mathbf R})</math> die [[Eulerklasse]] des <math>V</math> zugrunde liegenden reellen Vektorbündels.<ref>Milnor & Stasheff 74; Kapitel 14, Definition auf S. 158</ref>

In der Tat charakterisieren diese Eigenschaften die Chernklassen eindeutig. Einige wichtige Folgerungen sind

* Ist <math>n</math> der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] von <math>V</math>, so ist <math>c_k(V) = 0</math> für jedes <math>k > n</math> (die totale Chernklasse ist insbesondere [[wohldefiniert]]).

* Die höchste Chernklasse von <math>V</math> (also <math>c_n(V)</math>, <math>n</math> der Rang von <math>V</math>) ist immer gleich der [[Eulerklasse]] des zugrunde liegenden reellen Vektorbündels.

Da die Chernklassen hier Kohomologieklassen mit ganzen Koeffizienten sind, sind sie etwas feiner als die oben im Riemannschen Beispiel betrachteten, die reelle Koeffizienten hatten.

== Konstruktion von Chernklassen ==

Es gibt mannigfache Wege, sich dem Ziel zu nähern, jeder einzelne fokussiert einen etwas anderen Aspekt der Chernklassen.

Die ursprüngliche Herangehensweise war algebraische Topologie. Die unendliche [[Graßmann-Mannigfaltigkeit]] <math>BGL(n,\Complex)=Gr(n,\infty)</math> ist der [[Klassifizierender Raum|klassifizierenden Raum]] für <math>n</math>-dimensionale komplexe Vektorbündel. Das bedeutet, dass jedes <math>n</math>-dimensionale komplexe Vektorbündel über der Basis <math>B</math> als [[Rücktransport|Pullback]] des [[Tautologisches Bündel|tautologischen Bündels]] unter einer stetigen Abbildung <math>f\colon B\to BGL(n,\Complex)</math> erhalten werden kann. Die Chern-Klassen des tautologischen Bündels werden als '''universelle Chern-Klassen''' bezeichnet und die Chern-Klassen eines durch die Abbildung <math>f</math> klassifizierten Vektorbündels erhält man durch Zurückziehen der universellen Chern-Klassen mittels der in Kohomologie induzierten Abbildung <math>f^*</math>. Die Chern-Klassen des tautologischen Bündels können explizit durch [[Schubertzykel]] ausgedrückt werden.

Cherns Zugang verwandte Differentialgeometrie und den oben beschriebenen Zugang über die Krümmungsform. Er zeigte, dass beide Zugänge äquivalent sind.

Der axiomatische Zugang von [[Alexander Grothendieck]] zeigt, dass man die Chernklassen nur für Geradenbündel festlegen muss.

Chernklassen treten auch in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] auf natürliche Weise auf. Die verallgemeinerten Chernklassen der algebraischen Geometrie können für [[lokal frei]]e [[Garbe (Mathematik)|Garben]] über jeder nichtsingulären [[Algebraische Varietät|Varietät]] definiert werden. Die Chernklassen der algebraischen Geometrie verlangen vom zugrundeliegenden Körper nur die algebraische Abgeschlossenheit, insbesondere müssen Vektorbündel nicht unbedingt komplex sein.

Vom gewählten Zugang unabhängig ist die intuitive Bedeutung einer Chernklasse die von 'benötigten Nullstellen' eines Vektorbündelschnittes: Zum Beispiel die Aussage, dass man einen Igel nicht kämmen kann. Auch wenn dies eigentlich eine Frage betreffend ''reelle'' Vektorbündel ist (die „Stacheln“ des Igels sind reelle Geraden), gibt es Verallgemeinerungen, in denen die Stachel komplex sind, oder für den eindimensionalen projektiven Raum über anderen Körpern.

== Chernklassen von Geradenbündeln ==

Ein wichtiger Spezialfall ist der eines Geradenbündels <math>V</math>. Die einzige nichttriviale Chernklasse ist in diesem Fall die erste, die ein Element der zweiten Kohomologiegruppe von <math>X</math> ist. Da sie die höchste Chernklasse ist, ist sie gleich der Eulerklasse des Bündels.

Die erste Chernklasse erweist sich als eine vollständige [[Invariante (Mathematik)|Invariante]], die die komplexen Geradenbündel klassifiziert. Das heißt, dass eine [[Bijektion]] zwischen den Isomorphieklassen komplexer Geradenbündel über <math>X</math> und den Elementen von <math>H^2(X)</math> gibt, man ordnet hierbei jedem Bündel seine erste Chernklasse zu. Die Addition in <math>H^2(X)</math> entspricht unter dieser Bijektion dem [[Tensorprodukt]].

In der algebraischen Geometrie ist diese Klassifikation der komplexen Geradenbündel durch die erste Chernklasse eine erste Annäherung an die Klassifikation holomorpher Geradenbündel durch lineare Äquivalenzklassen von [[Divisor]]en.

Die Chernklassen sind für komplexe Bündel einer größeren Dimension keine vollständige Invariante mehr.

== Chernklassen fast-komplexer Mannigfaltigkeiten und Kobordismustheorie ==

Die Theorie der Chernklassen liefert [[Kobordismus]]-Invarianten [[Fast-komplexe Struktur|fast-komplexer]] Mannigfaltigkeiten.

Ist <math>X</math> eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit, so ist sein [[Tangentialbündel]] ein komplexes Vektorbündel. Dessen Chernklassen werden auch als die ''Chernklassen von'' <math>X</math> bezeichnet. Ist <math>X</math> kompakt und geradedimensional, etwa <math>2d</math>-dimensional, dann kann jedes [[Monom]] vom [[Totalgrad]] <math>2d</math> in den Chernklassen von <math>X</math> mit der [[Fundamentalklasse]] von <math>X</math> gepaart werden und liefert eine ganze Zahl, eine ''Chernzahl'' von <math>X</math>.
Ist <math>Y</math> eine weitere fast komplexe Mannigfaltigkeit derselben Dimension, dann sind <math>X</math> und <math>Y</math> genau dann kobordant, wenn sie dieselben Chernzahlen haben.

== Verallgemeinerungen ==
Es gibt eine Verallgemeinerung der Theorie der Chernklassen, in der die gewöhnliche Kohomologietheorie durch eine verallgemeinerte ersetzt wird, die die Zusatzeigenschaft der komplexen Orientierbarkeit haben muss.
Die formalen Eigenschaften der Chernklassen bleiben die dieselben, nur ist in der Regel, die die erste Chernklasse eines Tensorproduktes von Geradenbündeln berechnet, die Addition durch die entsprechende Operation zu ersetzen.

== Chernzahlen ==

Auf orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimension <math>2d</math> kann jedes Produkt von Chernklassen vom Totalgrad <math>2d</math> mit der [[Fundamentalklasse]] gepaart werden und liefert so eine ganze Zahl, eine ''Chernzahl'' des Vektorbündels. Hat die Mannigfaltigkeit beispielsweise Dimension sechs, so ergeben sich die verschiedenen Chernzahlen aus <math>c_1^3</math>, <math>c_1c_2</math> und <math>c_3</math>. Im Allgemeinen ist die Anzahl der verschiedenen Chernzahlen die Anzahl der [[Partition (Mengenlehre)|Partitionen]] von <math>d</math>.

Wie oben erwähnt, sind die Chernzahlen des Tangentialbündels eine (fast) komplexen Mannigfaltigkeit eine wichtige Invariante.

== Der Cherncharakter ==

Chernklassen können verwandt werden, um einen Ringhomomorphismus von der [[Topologische K-Theorie|topologischen K-Theorie]] eines Raumes in die Vervollständigung seiner rationalen Kohomologie zu konstruieren. Dieser ''Cherncharakter'' ist für Geradenbündel <math>V</math> durch

: <math>\hbox{ch}(V) = \exp(c_1(V))</math>

gegeben.

Für Summen von Geradenbündeln wird der Cherncharakter durch Additivität definiert, hieraus ergibt sich eine Darstellung der Cherncharakters durch die Chernklassen. Diese wird verwandt, um den Cherncharakter für alle Vektorbündel zu definieren, die ersten
Terme sind

:<math>\hbox{ch}(V) = \dim V + c_1(V) + c_1(V)^2/2 - c_2(V) + \ldots</math>

Ist <math>V</math> die Summe der Geradenbündel <math>L_1, \ldots, L_k</math> mit ersten Chernklassen <math>x_1, \ldots, x_k</math>, so ist

: <math>\hbox{ch}(V)=e^{x_1}+\dots+e^{x_k}.</math>

Im differentialgeometrischen Zugang über die Krümmung ist der Cherncharakter explizit durch
: <math>\hbox{ch}(V)=\hbox{tr}\left(\exp\left(\frac{i\Omega}{2\pi}\right)\right)</math>
gegeben, dabei bezeichnet <math>\Omega</math> die Krümmung.

Der Cherncharakter hilft beispielsweise bei der Berechnung der Chernklassen eines Tensorproduktes. Genauer besitzt er die beiden folgenden Eigenschaften<ref>Milnor & Stasheff 74, Problem 16-B</ref>
:<math>\hbox{ch}(V\oplus W)=\hbox{ch}(V)+\hbox{ch}(W)</math>
:<math>\hbox{ch}(V\otimes W)=\hbox{ch}(V)\hbox{ch}(W)</math>

Die erste dieser Formeln kann, wie oben erwähnt, mit Hilfe des Grothendieckschen Additivitätsaxioms für Chernklassen zu der Aussage verallgemeinert werden, dass <math>\hbox{ch}</math> ein [[Homomorphismus]] [[Abelsche Gruppe|abelscher Gruppen]] von der K-Theorie <math>K(X)</math> in die rationale Kohomologie von <math>X</math> ist. Die zweite Gleichung besagt, dass dieser Homomorphismus multiplikativ ist, also sogar ein Homomorphismus von Ringen ist.

== Pontrjagin-Klassen ==

Für ein reelles Vektorbündel <math>V</math> über einem topologischen Raum <math>X</math> definiert man die ''Pontrjagin-Klassen'' <math>p_i(V)\in H^{4i}(X)</math> durch<ref>Lawson & Michelson 90, Gleichung (B.12)</ref>
: <math>p_i(V):=c_{2i}(V\otimes{\mathbb C}).</math>
Hierbei ist <math>V\otimes{\mathbb C}</math> die Komplexifizierung des reellen Vektorbündels <math>V</math>. (Man kann zeigen, dass stets <math>c_{2i+1}(V\otimes{\mathbb C})=0</math> ist, weshalb man nur die geraden Chern-Klassen betrachtet.)

[[Sergei Petrowitsch Nowikow (Mathematiker)|Nowikow]] bewies, dass die rationalen Pontrjaginklassen des [[Tangentialraum]]s differenzierbarer Mannigfaltigkeiten invariant unter [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] sind. Sie sind aber nicht invariant unter [[Homotopieäquivalenz]]en. Die [[Novikov-Vermutung]] besagt, dass (in Abhängigkeit von der [[Fundamentalgruppe]]) gewisse Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen invariant unter Homotopie-Äquivalenzen sind.

Der [[Signatursatz von Hirzebruch]] besagt, dass sich die Signatur geschlossener differenzierbarer Mannigfaltigkeiten als eine Kombination von Pontrjagin-Klassen (das L-Polynom) berechnen lässt. Aus dem [[Atiyah-Singer-Indexsatz]] folgt, dass sich auch der Index des Dirac-Operators einer [[Spin-Mannigfaltigkeit]] als eine Kombination von Pontrjagin-Klassen (das Â-Polynom) berechnen lässt.

== Chernklassen in der algebraischen Geometrie ==
Es sei <math>X</math> eine glatte [[projektive Varietät]] über einem [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossenen]] [[Körper (Algebra)|Körper]] und <math>\textstyle A(X)=\bigoplus_rA^r(X)</math> ihr [[Chow-Ring]]. Grothendieck bewies, dass es eine eindeutige Theorie von Chernklassen gibt, welche jeder lokal freien [[Kohärente Garbe|kohärenten Garbe]] <math>\mathcal{E}</math> Chernklassen <math> c_i(\mathcal{E})\in A^i(X)</math> zuordnet, so dass die folgenden Axiome erfüllt sind:
* <math>c_0(\mathcal{E})=1</math>
* Für jede [[invertierbare Garbe]] <math>\mathcal{O}(D)</math> ist <math>c_1(\mathcal{O}(D))=\left[D\right]</math>.
* Für jeden Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> ist <math>f^*(c_i(\mathcal{E}))=c_i(f^*\mathcal{E})</math>.
* Für jede [[exakte Sequenz]] <math>0\to\mathcal{E}^\prime\to\mathcal{E}\to\mathcal{E}^{\prime\prime}</math> ist <math>c_k(\mathcal{E})=\bigoplus_{i+j=k}c_i(\mathcal{E}^\prime)c_j(\mathcal{E}^{\prime\prime})</math>.
Die Konstruktion der algebraischen Chernklassen verläuft analog zur Konstruktion der topologischen Chernklassen über den [[Satz von Leray-Hirsch]]. Insbesondere liefern für algebraische Vektorbündel über glatten komplexen projektiven Varietäten beide Konstruktionen dieselben Chernklassen.

== Chernklassen in der Physik ==
Auch in der Physik finden seit etwa 2015 die Chernklassen verstärkt Anwendung und werden auch explizit so genannt (was vorher nicht der Fall war), seitdem jetzt nicht nur in der [[Hochenergiephysik]], sondern verstärkt auch in der [[Festkörperphysik]] neue [[Differentialtopologie|differentialtopologische]] Aspekte behandelt werden: Neben älteren „Umlauf“-Aussagen der Physik, etwa dem [[Aharonov-Bohm-Effekt]] der [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]] oder dem altbekannten [[Meissner-Ochsenfeld-Effekt]] der [[Supraleitung]] dienen Chernklassen in der Physik jetzt vor allem zur differentialtopologischen Klassifizierung von Umlauf-Singularitäten, vor allem beim sog. [[Quanten-Hall-Effekt]] bzw. bei den sog. [[Topologischer Supraleiter|Topologischen Supraleitern]] bzw. [[Topologischer Isolator|Topologischen Isolatoren]]. Dabei ergibt sich der Zusammenhang mit der Mathematik aus der Tatsache, dass die [[Magnetische Flussdichte]] <math>\mathbf B</math> über ihr [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] <math>\mathbf A</math> als „effektive Krümmung“ fungiert <math>(\mathbf B = \text{rot} \ \mathbf A),</math> obwohl in einem flachen Raum gearbeitet wird.

Allgemeiner besteht eine Beziehung zu den [[Yang-Mills-Theorie]]n, wobei der mathematische Begriff „[[Krümmung]]“ in der Physik als „[[Feldstärketensor|Feldstärke]]“ fungiert. Der physikalische „Hilbertraumzustand“ <math>|\psi \rangle</math> entspricht einer projektiv-komplexen Mannigfaltigkeit, weil der Zustand derselbe bleiben soll, wenn <math>\psi</math> mit einer komplexen Zahl multipliziert wird.

== Weblinks ==

* [[Nlab:Chern+class|Chern class]] auf [[nLab]] ([[Englische Sprache|englisch]])

== Literatur ==
* [[Shiing-Shen Chern]]: ''Characteristic Classes of Hermitian Manifolds.'' In: ''Annals of Mathematics.'' 2nd Series, 47, 1, 1946, {{ISSN|0003-486X}}, S. 85–121.
* [[Alexander Grothendieck]]: ''La Théorie des classes de Chern.'' In: ''Bulletin de la Société Mathématique de France.'' 86, 1958, {{ISSN|0037-9484}}, S. 137–154, [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1958__86_/BSMF_1958__86__137_0/BSMF_1958__86__137_0.pdf online (PDF; 1,43 MB)].
* [[Jürgen Jost]]: ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis.'' 3rd edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42627-2. (''Universitext'').
* [[John W. Milnor]], [[James D. Stasheff]]: ''Characteristic Classes.'' Princeton University Press u. a., Princeton NJ 1974, ISBN 0-691-08122-0 (''Annals of Mathematics Studies'' 76).
* {{Literatur
|Autor=[[H. Blaine Lawson]] und Marie-Louise Michelsohn
|Titel=Spin Geometry
|Verlag=[[Princeton University Press]]
|Datum=1990
|ISBN=0-691-08542-0
|Sprache=en}}
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory] (PDF; 1,2 MB)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Chernklassen - Versionsgeschichte

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