imported>Samuel Adrian Antz: ∞-Chern-Weil-Theorie hinzugefügt.

2025-03-09T06:37:41Z

∞-Chern-Weil-Theorie hinzugefügt.

Neue Seite

In der [[Mathematik]] ist die '''Chern-Weil-Theorie''' ein allgemeines Verfahren, wie man die charakteristischen Klassen eines [[Prinzipalbündel]]s aus seiner [[Zusammenhang (Prinzipalbündel)#Krümmung|Krümmung]] berechnen kann. ([[Charakteristische Klasse]]n sind [[Kohomologie]]klassen, die topologisch messen, wie getwistet ein Bündel ist.) Historisch entstand sie beim Beweis der [[Satz von Gauß-Bonnet#Satz von Gauß-Bonnet-Chern|höherdimensionalen Version des Satzes von Gauß-Bonnet]], sie markierte den Beginn der “globalen [[Differentialgeometrie]]”, also der Wechselwirkung von [[Geometrie]] und [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Die Theorie ist nach [[André Weil]] und [[S. S. Chern]] benannt.

== Definition ==

Sei <math>\pi:P\rightarrow M</math> ein [[Prinzipalbündel]] mit Strukturgruppe <math>G</math>, sei <math>\mathfrak g</math> die [[Lie-Gruppe#Lie-Algebra der Lie-Gruppe|Lie-Algebra]] von <math>G</math>. Chern-Weil-Theorie definiert einen Homomorphismus
:<math>\phi:I^*(\mathfrak{g})\rightarrow H^*_{dR}(M)</math>
vom Raum der [[Invariantes Polynom#Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen|<math>Ad(G)</math>-invarianten Polynome]] auf <math>\mathfrak g</math> in die [[de-Rham-Kohomologie]], den sogenannten '''Chern-Weil-Homomorphismus'''.

Jedem invarianten Polynom <math>f\in I^k(\mathfrak{g})</math> wird die <math>2k</math>-[[Differentialform|Form]]
:<math>f(\Omega,\ldots,\Omega)\in\Omega^{2k}(M)</math>
zugeordnet, wobei <math>\Omega\in\Omega^2(M)</math> die [[Zusammenhang (Prinzipalbündel)#Krümmung|Krümmungsform eines Zusammenhangs]] des Prinzipalbündels ist. Das heißt, für <math>X_1,\ldots,X_{2k}\in T_pP</math> ist
:<math>f(\Omega)(X_1,\dots,X_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{2k}}\operatorname{sign}(\sigma) f(\Omega(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}),\dots,\Omega(X_{\sigma(2k-1)}, X_{\sigma(2k)}))</math>.
<math>f(\Omega)</math> ist eine geschlossene Form und <math>\phi(f)</math> ist dann per Definition die Kohomologieklasse dieser <math>2k</math>-Form. Man kann zeigen, dass <math>\phi(f)</math> nicht vom gewählten Zusammenhang abhängt.

== Beispiele ==

* Sei <math>G=GL(n,\mathbb C)</math>. Dann hat die Krümmungsform Werte in <math>\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)= \operatorname{Mat}(n,\mathbb C)</math>. Die Entwicklung
::<math>\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(\Omega) t^k</math>
:definiert invariante Polynome
::<math>c_k(\Omega)\in I^{2k}(\mathfrak{g})</math>,
:zum Beispiel ist <math>c_1(\Omega)=\frac{i}{2\pi}Tr(\Omega)</math> und <math>c_n(\Omega)=(\frac{i}{2\pi})^n \det(\Omega)</math>. Die Kohomologieklassen <math>\phi(c_1),\ldots,\phi(c_n)</math> sind die [[Chern-Klasse]]n.

== Universeller Chern-Weil-Homomorphismus ==

Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe und <math>BG</math> ihr [[klassifizierender Raum]]. <math>BG</math> ist keine [[Mannigfaltigkeit]], trotzdem lässt sich für das universelle <math>G</math>-Bündel <math>\pi:EG\rightarrow BG</math> ein Chern-Weil-Homomorphismus <math>\phi_G:I^*(G)\rightarrow H^*(BG)</math> definieren.

Wenn <math>\pi:P\rightarrow M</math> ein <math>G</math>-Prinzipalbündel und <math>F:M\rightarrow BG</math> seine klassifizierende Abbildung ist, dann
ist <math>\phi=F^*\circ\phi_G</math>.

== Siehe auch ==
* [[Weil-Algebra]]
* [[∞-Chern-Weil-Theorie]]

== Literatur ==

* ''Appendix C: Connections, Curvature, and Characteristic Classes'' in: Milnor, John W.; Stasheff, James D.: ''Characteristic classes.'' Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp.
* Chapter 5 in: Candel, Alberto; Conlon, Lawrence: ''Foliations. II.'' Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. xiv+545 pp. ISBN 0-8218-0881-8

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Chern-Weil-Theorie - Versionsgeschichte

imported>Samuel Adrian Antz: ∞-Chern-Weil-Theorie hinzugefügt.