imported>Invisigoth67: typo, form

2025-10-08T05:54:11Z

typo, form

Neue Seite

'''Chemical Reaction Network Theory''' ('''CRNT''') untersucht das qualitative Verhalten der [[Chemisches Gleichgewicht|steady state]] [[Konzentration (Chemie)|Konzentrationen]] eines [[Chemie|chemischen]] [[Reaktionsnetzwerk]]es ohne Verwendung der [[Kinetik (Chemie)|kinetischen Parameter]].
Sie definiert eine allgemeine Beziehung zwischen der Netzwerkstruktur und der Menge der [[Kritischer Punkt (Dynamik)|Fixpunkte]] des entsprechenden Systems an [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differenzialgleichungen]].
Für eine Unterklasse an chemischen Systemen ist dieser Ansatz in der Lage, die Existenz von multiplen Steady states [[Algebra|algebraisch]] vorherzusagen oder auszuschließen, und kommt demnach ohne die Verwendung [[Numerische Verfahren|numerischer Verfahren]] aus.

Das System gewöhnlicher Differenzialgleichungen, das einem chemischen Reaktionsnetzwerk entspricht, besteht aus Polynomen mit im Prinzip beliebigem Grad. Demzufolge kann eine analytische Untersuchung der Fixpunkte eines solchen Problems im Allgemeinen nicht mit [[Lineare Algebra|linearer Algebra]] erfolgen. Zusätzlich ergibt sich die Schwierigkeit, dass jeder Reaktion, die dem Massenwirkungsgesetz folgt, ein kinetischer Parameter zugeordnet ist, der oft nicht oder nicht genau bekannt ist. Zur numerischen Lösung des Differenzialgleichungssystems ist aber die Kenntnis der kinetischen Parameter notwendig. Als Folge dessen existieren im schlechtesten Fall zwei Mengen an Unbekannten: (i) die kinetischen Parameter und (ii) die Konzentrationen der einzelnen Spezies an einem Fixpunkt. Selbst bei Kenntnis der kinetischen Parameter und der numerischen Ermittlung eines Fixpunktes ist es nicht klar, ob multiple Fixpunkte existieren; d. h. ob bei einer anderen Wahl der Startkonzentrationen (die im gleichen linearen Unterraum wie die Vorherigen liegen, siehe [[#Stöchiometrischer Unterraum|stöchiometrischer Unterraum]] und [[#Stöchiometrische Kompatibilitätsklasse|stöchiometrische Kompatibilitätsklasse]]) ein anderer Fixpunkt existiert. CRNT kann diese Frage durch die Berechnung eines Index, der sogenannten [[#Defizienz|Defizienz]] (siehe weiter unten), für eine Teilmenge der chemischen Reaktionsnetzwerke ohne Kenntnis der kinetischen Parameter oder der Konzentrationen beantworten. In [[O-Notation]] erfolgt die Berechnung der Defizienz in <math>\mathcal{O}(1)</math> wenn die Erstellung des chemischen Reaktionsnetzwerks in <math>\mathcal{O}(n)</math> erfolgt.

== Geschichte ==
Erste Grundlagen der CRNT wurden von Horn und Jackson<ref name="Horn1972">F. Horn and R. Jackson: ''General mass action kinetics.'' Arch Rational Mech Anal 1972.</ref> entwickelt und von Martin Feinberg und Mitarbeitern ausgearbeitet und weiterentwickelt.<ref name="Feinberg1979">M. Feinberg: ''Lectures on chemical reaction networks.'' 1979.</ref><ref name="Feinberg1995">M. Feinberg: ''The existence and uniqueness of steady states for a class of chemical reaction networks.'' Arch Rational Mech Anal 1995.</ref><ref name="Gunawardena2003">J. Gunawardena: ''Chemical reaction network theory for in-silico biologists.'' 2003.</ref>

== Grundlagen ==
Die CRNT beschreibt chemische Reaktionsnetzwerke, die dem [[Massenwirkungsgesetz]] zugrunde liegen. In diesem Absatz wird der Begriff „Reaktionsnetzwerk“ als ein Satz an Reaktionen aufgefasst, wie man ihn in einem Lehrbuch der Biochemie finden kann (z. B. alle Reaktionen der [[Glykolyse]]). Im Absatz [[#Klassische CRNT|Klassische CRNT]] wird der Begriff im Sinne der CRNT exakt definiert.

[[Reversible Reaktion]]en, das heißt [[Chemische Reaktion|Reaktionen]], die in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung ablaufen können, müssen hierbei in zwei [[Reversible Reaktion#Irreversible Reaktion|irreversible]] Reaktionen aufgesplittet werden: eine irreversible Reaktion für jede Richtung. Demzufolge beschreibt CRNT nur Reaktionsnetzwerke, welche aus irreversiblen Reaktionen bestehen. Ein solches Netzwerk wird in vier [[Menge (Mathematik)|Mengen]] aufgeteilt:

* 1. Die Menge der Spezies <math>\mathcal{S}</math>:
: Die Menge der Spezies besteht aus den einzelnen [[Reaktant|Substraten]] und [[Produkt (Chemie)|Produkten]] der Reaktionen des Reaktionsnetzwerkes.
* 2. Die Menge der Komplexe <math>\mathcal{C}</math>:
: Diese Menge wird aus der Gesamtheit der Spezies, welche von einer Reaktion konsumiert oder produziert werden, gebildet. Bei den Elementen aus <math>\mathcal{C}</math> handelt es sich um [[Multimenge]]n. Das heißt, <math>\mathcal{C}</math> besteht aus der Gesamtheit der Mengen der Spezies links und rechts von den Reaktionspfeilen.
* 3. Die Menge der Reaktionen <math>\mathcal{R}</math>:
: Diese Menge besteht aus allen Reaktionen des betrachteten chemischen Reaktionsnetzwerkes.
* 4. Die Menge der [[Kinetik (Chemie)|kinetischen Ratenkonstanten]] <math>\mathcal{K}</math>:
: Diese Menge besteht aus den Ratenkonstanten aller Reaktionen des betrachteten chemischen Reaktionsnetzwerkes.

'''Bemerkung zur Notation:''' Es existieren zwei äquivalente Darstellungen eines Komplexes:<ref name="Gunawardena2003" /> (i) als Element der Menge <math>\mathcal{C}</math> wie oben definiert; und (ii) als Vektor aus <math>\mathbb{N}^{\vert\mathcal{S}\vert}.</math> Sei <math>y(s)</math> die Funktion, die den stöchiometrischen Koeffizienten von Spezies <math>s\in\mathcal{S}</math> in Komplex <math>y\in\mathcal{C}</math> zurückliefert, d. h. <math>y(s)\geq 1,</math> wenn <math>s\in y</math> und <math>y(s) = 0</math> andernfalls. Der Index <math>s</math> in <math>y_s</math> ist dann als Funktion zu verstehen, die den Eintrag von Spezies <math>s\in\mathcal{S}</math> in Vektor <math>y\in\mathbb{N}^{\vert\mathcal{S}\vert}</math> liefert, also

<math>
y_s =
\begin{cases}
y(s), & \text{wenn }s\in y\\
0, & \text{andernfalls}
\end{cases}.
</math>

Hierfür wird natürliche eine festgelegte Ordnung (z. B. [[lexikographische Ordnung]]) der Spezies im Vektor <math>y\in\mathbb{N}^{\vert\mathcal{S}\vert}</math> vorausgesetzt.

=== Beispiel 1 ===
Das chemische Reaktionsnetzwerk, bestehend aus der einzigen Reaktion <math>\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}</math> mit Ratenkonstante <math>k_{\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}},</math> besitzt:

* die Spezies <math>\mathcal{S} = \{\text{A}, \text{B}\};</math>
* die Komplexe …
** … als Menge: <math>\mathcal{C} = \{\{\text{A}, \text{A}\}, \{\text{B}\}\}</math> (hierbei sind die Komplexe <math>\{\text{A},\text{A}\}</math> und <math>\{2\text{A}\}</math> äquivalent (andere [[Notation]]));
** … als Vektoren: <math>\{[2,0]^T, [0,1]^T\}</math> (mit lexikographischer Ordnung der Spezies);
* die Reaktionen <math>\mathcal{R} = \{\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}\};</math>
* die Ratenkonstanten <math>\mathcal{K} = \{k_{\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}}\}.</math>

Die wichtigste Menge ist hierbei <math>\mathcal{C}.</math> Zwei Komplexe, die zur gleichen Reaktion gehören, können nun z. B. wie folgt beschrieben werden: <math>y,y'\in\mathcal{C}</math> mit <math>y\rightarrow y'\in\mathcal{R}.</math>

== Klassische CRNT ==
Siehe auch<ref name="Horn1972" /><ref name="Feinberg1979" /><ref name="Feinberg1995" />.<ref name="Gunawardena2003" /> Seien <math>\mathbb{P} := \{x\in\mathbb{R}\ \vert\ x>0\}</math> die Menge aller [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] größer Null und <math>\overline{\mathbb{P}} := \mathbb{P}\cup\{0\}</math> die Menge aller reellen Zahlen größer oder gleich Null.

=== Definitionen ===
==== Positiver Steady state ====
Sei <math>c</math> der Vektor der Konzentrationen des chemischen Reaktionsnetzwerkes (Massenwirkungsgesetz).
Das System ist in einem ''positiven Steady state'' wenn <math>\text{d}c/\text{d}t = 0</math> und <math>c\in\mathbb{P}</math>.

==== Reaktionsnetzwerk ====
Ein ''Reaktionsnetzwerk'' ist ein Tripel <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R})</math> mit <math>\mathcal{S}</math> als Menge der Spezies; mit <math>\mathcal{C}</math> als Menge der Komplexe; mit <math>\mathcal{R}</math> als Menge der Reaktionen.

Für [[#Beispiel 1|Beispiel 1]] gilt dann
<math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}) = (\{\text{A}, \text{B}\}, \{\{\text{A}, \text{A}\}, \{\text{B}\}\}, \{\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}\}).</math>

==== Chemisches Reaktionsnetzwerk ====
Ein ''chemisches Reaktionsnetzwerk'' <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}, \mathcal{K})</math> ist ein Reaktionsnetzwerk, welches mit einer [[Kinetik (Chemie)|Kinetik]] ausgestattet ist. D.h. mit jeder Reaktion des Reaktionsnetzwerks ist eine positive Ratenkonstante assoziiert.

Für [[#Beispiel 1|Beispiel 1]] gilt dann
<math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}, \mathcal{K}) = (\{\text{A}, \text{B}\}, \{\{\text{A}, \text{A}\}, \{\text{B}\}\}, \{\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}\}, \{k_{\text{A}+\text{A}\rightarrow\text{B}}\}).</math>

Ein Komplex <math>y</math> ist ''direkt verlinkt'' mit <math>y'</math>, wobei <math>y,y'\in\mathcal{C}</math>, auch geschrieben <math>y\leftrightarrow y'</math>, wenn entweder <math>y\rightarrow y'\in\mathcal{R}</math> oder <math>y'\rightarrow y\in\mathcal{R}</math>. D.h. zwei Komplexe sind direkt verlinkt, wenn eine Reaktion in <math>\mathcal{R}</math> existiert, welche diese verbindet.

==== Linkageklasse ====
Seien <math>y,y'\in\mathcal{C}</math>. Komplex <math>y</math> ist ''verlinkt'' mit Komplex <math>y'</math>, gekennzeichnet durch <math>y\sim y'</math>, wenn entweder <math>y = y'</math> oder es existieren <math>y_1, \ldots, y_m\in\mathcal{C}</math> so dass <math>y = y_1 \leftrightarrow\ldots\leftrightarrow y_m = y'</math>. Die [[Äquivalenzrelation]] <math>\sim</math> induziert eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] von <math>\mathcal{C}</math> in [[Äquivalenzklasse]]n, welche als ''Linkageklassen'' bezeichnet werden.

===== Beispiel 2 =====
Gegeben sei das Reaktionsnetzwerk <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}) = (\{\text{A},\text{B},\text{C}\}, \{\{2\text{A}\}, \{\text{B}\}, \{2\text{B}\}, \{\text{C}\}, \{2\text{C}\}\}, \{R_1, R_2, R_3, R_4\})</math> mit

<math>
\begin{array}{crcl}
R_1 := & 2 \text{A} & \rightarrow & \text{B},\\
R_2 := & \text{B} & \rightarrow & 2 \text{A},\\
R_3 := & \text{B} & \rightarrow & \text{C},\\
R_4 := & 2 \text{C} & \rightarrow & 2 \text{B}.
\end{array}
</math>

{{Anker |Beispiel_2}} [[Datei:CRNT Beispiel 2.svg|mini|Der Graph, welcher das Reaktionsnetzwerk aus [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] repräsentiert. Die Linkageklassen bestehen aus den [[Zusammenhang von Graphen|zusammenhängenden Komponenten]] des Graphen (l = 2). Die Knoten des Graphen sind äquivalent zu den Komplexen (n = 5). Die starken Linkageklassen werden durch die Knoten in den eingerahmten Teilgraphen markiert. Die terminalen starken Linkageklassen sind durch Knoten mit doppeltem Rahmen markiert.]]

Die Linkageklassen bestehen dann aus <math>\mathcal{L}_1 = \{\{2\text{A}\}, \{\text{B}\}, \{\text{C}\}\}</math> und <math>\mathcal{L}_2 = \{\{2\text{B}\}, \{2\text{C}\}\}</math>. Eine intuitive Methode, die Linkageklassen zu bestimmen, besteht darin, die Menge der Reaktionen als [[Graph (Graphentheorie)|Graph]] aufzuzeichnen, wobei Reaktionen an den Enden "zusammengebaut" werden, wo sie gleiche Komplexe aufweisen (siehe [[#Beispiel 2|Abbildung]]).

==== Starke Linkageklasse ====
Seien <math>y,y'\in\mathcal{C}</math>. Komplex <math>y</math> ''reagiert ultimativ'' zu Komplex <math>y'</math>, geschrieben <math>y\Rightarrow y'</math>, wenn entweder <math>y = y'</math> oder es existieren <math>y_1, \ldots, y_m\in\mathcal{C}</math> so dass <math>y = y_1\rightarrow\ldots\rightarrow y_m = y'</math>. Komplex <math>y</math> ist ''stark verlinkt'' mit <math>y'</math>, geschrieben <math>y\approx y'</math>, wenn <math>y\Rightarrow y'</math> und <math>y'\Rightarrow y</math>. Die Äquivalenzrelation <math>\approx</math> induziert eine Partition von <math>\mathcal{C}</math> in Äquivalenzklassen, welche als ''starke Linkageklassen'' bezeichnet werden.

Die starken Linkageklassen von [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] sind gegeben durch <math>\overline{\mathcal{L}}_1=\{\{2\text{A}\},\{\text{B}\}\}</math>, <math>\overline{\mathcal{L}}_2=\{\{\text{C}\}\}</math>, <math>\overline{\mathcal{L}}_3 = \{\{2\text{B}\}\}</math> und <math>\overline{\mathcal{L}}_4 = \{\{2\text{C}\}\}</math>. Die starken Linkageklassen lassen sich wieder leicht bestimmen, wenn das Reaktionsnetzwerk als Graph repräsentiert wird. Es gilt dann für jedes Paar <math>y,y'\in\mathcal{C}</math> an Knoten einer starken Linkageklasse, dass ein gerichteter Pfad von <math>y</math> zu <math>y'</math> und zurück existiert. Im unteren Graph sind die starken Linkageklassen durch Rahmen markiert (siehe [[#Beispiel 2|Abbildung]]).

==== Terminale starke Linkageklasse ====
Eine ''terminale starke Linkageklasse'' ist eine starke Linkageklasse, in welcher kein Komplex zu einem Komplex einer anderen starken Linkageklasse reagiert.

Die terminalen starken Linkageklassen von [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] sind gegeben durch <math>\overline{\mathcal{L}}_2=\{\{\text{C}\}\}</math> und <math>\overline{\mathcal{L}}_3 = \{\{2\text{B}\}\}</math>. Wenn man das Reaktionsnetzwerk wieder als Graph auffasst, dann ist eine terminale starke Linkageklasse eine Linkageklasse, aus welcher kein Reaktionspfeil auf eine andere starke Linkageklasse zeigt. Im unteren Graph sind die starken Linkageklassen durch doppelte Rahmen markiert (siehe [[#Beispiel 2|Abbildung]]).

Die folgende Definition und die daraus abgeleiteten Aussagen gelten nur für Reaktionsnetzwerke, welche exakt eine terminale starke Linkageklasse pro Linkageklasse enthalten.<ref name="Gunawardena2003" />

==== Defizienz ====
Die Defizienz eines Reaktionsnetzwerks (abgekürzt mit <math>\delta</math>) ist definiert durch

<math>
\delta := n - l - q,
</math>

wobei <math>n</math> für die Anzahl der Komplexe, <math>l</math> für die Anzahl der Linkageklassen und <math>q</math> für den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der [[stöchiometrische Matrix|stöchiometrischen Matrix]] <math>N</math> des gegebenen Reaktionsnetzwerkes steht.

Die [[stöchiometrische Matrix]] <math>N</math> von [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] ist gegeben durch

<math>
N = \left[\begin{array}{rrrr}
-2 & 2 & 0 & 0\\
1 &-1 &-1 & 2\\
0 & 0 & 1 &-2
\end{array}\right].
</math>

Demzufolge ergibt sich <math>q = \text{rang}(N) = 2</math>. Die Defizienz von [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] ist dann <math>\delta = 5 - 2 - 2 = 1</math>.

==== Schwache Reversibilität ====
Ein Reaktionsnetzwerk heißt ''schwach reversibel'' wenn jede Linkageklasse aus einer terminalen starken Linkageklasse besteht.

Bei [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] handelt es sich um kein schwach reversibles Reaktionsnetzwerk.

==== Stöchiometrischer Unterraum ====
Der stöchiometrische Unterraum (abgekürzt mit <math>S</math>) eines Reaktionsnetzwerkes <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R})</math> ist die [[lineare Hülle]] seiner Reaktionsvektoren. D.h.,

<math>
S := \text{span}(\{y - y'\in\mathbb{R}^{\vert\mathcal{S}\vert}\text{ }\vert\text{ }y\rightarrow y'\in\mathcal{R}\}).
</math>

Da die Menge der Reaktionsvektoren identisch zu den Spalten der stöchiometrischen Matrix <math>N</math> sind, ist der stöchiometrische Unterraum äquivalent zum [[Spaltenraum]] von <math>N</math>.

==== Stöchiometrische Kompatibilitätsklasse ====
Zwei Vektoren <math>c,c'\in\overline{\mathbb{P}}^{\vert\mathcal{S}\vert}</math> sind ''stöchiometrisch kompatibel'', wenn <math>c - c' \in S</math>. Stöchiometrische Kompatibilität ist eine Äquivalenzrelation, welche <math>\overline{\mathbb{P}}^{\vert\mathcal{S}\vert}</math> in Äquivalenzklassen, die ''stöchiometrischen Kompatibilitätsklassen'', aufteilt.

Demzufolge muss die [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]] der zeitlichen Entwicklung der Konzentrationen immer in der gleichen stöchiometrischen Kompatibilitätsklasse liegen wie die Konzentrationen zum Zeitpunkt t = 0.

=== Theoreme ===
==== Deficiency-Zero Theorem ====
Sei <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R})</math> ein Reaktionsnetzwerk mit Defizienz Null.

* (i) Wenn das Netzwerk nicht schwach reversibel ist, dann nimmt das entsprechende System an gewöhnlichen Differenzialgleichungen weder einen positiven Steady state noch einen periodischen Orbit in <math>\mathbb{P}^{\vert \mathcal{S}\vert}</math> an (unabhängig von der Wahl der kinetischen Ratenkonstanten).
* (ii) Wenn das Netzwerk schwach reversibel ist, dann hat das entsprechende System aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen für eine beliebige Wahl der kinetischen Ratenkonstanten folgende Eigenschaften: Jede positive stöchiometrische Kompatibilitätsklasse enthält genau einen positiven Steady state; dieser positive Steady state ist asymptotisch stabil; und es existieren keine nichttrivialen periodischen Orbits in <math>\mathbb{P}^{\vert \mathcal{S}\vert}</math>.

Siehe<ref name="Feinberg1979" /> oder<ref name="Feinberg1995" /> für einen Beweis.

==== Deficiency-One Theorem ====
Sei <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R})</math> ein Reaktionsnetzwerk mit Defizienz <math>\delta</math>. Und seien <math>\delta_{\mathcal{L}_i}</math> mit <math>1 \leq i \leq l</math> die Defizienzen der Linkageklassen. Weiterhin sei vorausgesetzt:

* (i) <math>\delta_{\mathcal{L}_i} \leq 1</math> mit <math>1 \leq i \leq l</math>;
* (ii) <math>\sum_{i=1}^{l}\delta_{\mathcal{L}_i} = \delta</math>;
* (iii) jede Linkageklasse enthält nur eine terminale starke Linkageklasse.

Wenn die entsprechenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen für eine Wahl der kinetischen Ratenkonstanten einen positiven Steady state annehmen, dann existiert genau ein positiver Steady state in jeder stöchiometrischen Kompatibilitätsklasse. Wenn das Netzwerk schwach reversibel ist, dann nehmen die entsprechenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen einen positiven Steady state für jede Wahl der kinetischen Ratenkonstanten an.

Siehe<ref name="Feinberg1979" /> oder<ref name="Feinberg1995" /> für einen Beweis.

== Beziehung zu den Differenzialgleichungen ==

Das System an gewöhnlichen Differenzialgleichungen eines chemischen Reaktionsnetzwerkes sei gegeben durch die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f(c) := \text{d}c/\text{d}t</math>. Die Funktion <math>f(c)</math> eines jeden chemischen Reaktionsnetzwerkes kann nun in vier unabhängige [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]], eine nicht lineare und drei lineare Abbildungen, zerlegt werden<ref name="Gunawardena2003" /><ref name="Gatermann2005">K. Gatermann, M. Eiswirth and A. Sensse: ''Toric ideals and graph theory to analyze Hopf bifurcations in mass action systems.'' Journal of Symbolic Computation 2005.</ref><ref name="Conradi2007">C. Conradi, D. Flockerzi, J. Raisch and J. Stelling: ''Subnetwork analysis reveals dynamic features of complex (bio)chemical networks.'' Proc Natl Acad Sci U S A 2007.</ref>

<math>f(c) = Y I_a I_k \psi(c),</math>

welche im Folgenden definiert werden.

=== Definitionen ===
==== Basisvektoren des Komplexraums ====
Wenn <math>\mathcal{U}\subseteq\mathcal{C}</math>, dann sei

<math>
\omega_{\mathcal{U}}=
\begin{cases}
1, & \text{wenn }y\in\mathcal{U}\\
0, & \text{andernfalls.}
\end{cases}
</math>

Die Basisvektoren des Komplexraums <math>\mathbb{R}^{\vert\mathcal{C}\vert}</math> sind dann gegeben durch die Menge <math>\{\omega_{\{y\}}\text{ }\vert\text{ }y\in\mathcal{C}\}</math>.

Die Menge der Basisvektoren, repräsentiert als Matrix und eine entsprechende Sortierung der Vektoren vorausgesetzt, ist die [[Einheitsmatrix]] <math>E_{\vert\mathcal{C}\vert}</math>.

==== Die nichtlineare Abbildung ψ ====
Sei <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}, \mathcal{K})</math> ein chemisches Reaktionsnetzwerk. Die nicht lineare Abbildung <math>\psi: \mathbb{R}^{\vert\mathcal{S}\vert}\rightarrow \mathbb{R}^{\vert\mathcal{C}\vert}</math> ist gegeben durch

<math>
\psi(c) := \sum_{y\in\mathcal{C}}\omega_{\{y\}}c^y,
</math>

mit

<math>
c^y := \prod_{s\in\mathcal{S}} c_s^{y_s}.
</math>

==== Matrix I<sub>k</sub> ====
wird noch ergänzt

==== Matrix I<sub>a</sub> ====
Sei <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}, \mathcal{K})</math> ein chemisches Reaktionsnetzwerk. Die lineare Abbildung <math>I_a: \mathbb{R}^{\vert\mathcal{R}\vert}\rightarrow \mathbb{R}^{\vert\mathcal{C}\vert}</math> ist gegeben durch

<math>
I_a(v) := \sum_{y\rightarrow y'\in\mathcal{R}}(\omega_{\{y'\}} - \omega_{\{y\}})v_{y\rightarrow y'},
</math>

mit <math>v\in\mathbb{R}^{\vert\mathcal{R}\vert}</math>.

==== Matrix Y ====
Sei <math>(\mathcal{S}, \mathcal{C}, \mathcal{R}, \mathcal{K})</math> ein chemisches Reaktionsnetzwerk. Die lineare Abbildung <math>Y: \mathbb{R}^{\vert\mathcal{C}\vert}\rightarrow \mathbb{R}^{\vert\mathcal{S}\vert}</math>
ist definiert durch <math>Y(\omega_{\{y\}}) := y</math> mit <math>y \in \mathbb{N}^{\vert\mathcal{S}\vert}</math>.

Es gilt hierbei <math>N = Y I_a</math> und <math>v(c) = I_k \psi(c)</math> so dass <math>f(c)</math> auch vereinfacht geschrieben werden kann als <math>f(c) = Nv(c)</math> (siehe auch [[stöchiometrische Matrix]]).

=== Beispiel ===
Das System an gewöhnlichen Differenzialgleichungen von [[#Beispiel 2|Beispiel 2]] ist gegeben durch

<math>
\begin{array}{rcrrcrcrcr}
\frac{\text{d}c_{\text{A}}}{\text{d}t} & = & - & 2 k_{R_1} c_{\text{A}}^2 & + & 2 k_{R_2} c_{\text{B}} & & & & \\
\frac{\text{d}c_{\text{B}}}{\text{d}t} & = & & k_{R_1} c_{\text{A}}^2 & - & k_{R_2} c_{\text{B}} & - & k_{R_3} c_{\text{B}} & + & 2 k_{R_4} c_{\text{C}}^2\\
\frac{\text{d}c_{\text{C}}}{\text{d}t} & = & & k_{R_3} c_{\text{B}} & - & 2 k_{R_4} c_{\text{C}}^2 & & & &
\end{array}
</math>



== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Biochemie]]

Chemical Reaction Network Theory - Versionsgeschichte

imported>Invisigoth67: typo, form