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2023-02-08T05:21:50Z

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Der '''Champernowne-Index''' oder '''Champernowne-[[Kettenindex]]''' ([[Englische Sprache|englisch]]: ''{{lang|en|Champernowne’s [chain] index}}'') – nach dem [[Vereinigtes Königreich|britischen]] [[Mathematiker]] sowie [[Ökonom]]en [[David Gawen Champernowne]] (1912–2000) – ist ein vom [[Atkinson-Maß]] abgeleitetes [[Ungleichheitsmaß|Disparitätsmaß]].

== Definition ==

Für den Atkinson-Index <math>A</math> gilt:

: <math>A = 1 - \left[\frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} \left(\frac{I_i}{\mu}\right)^{1 - \varepsilon}\right]^{\frac{1}{1 - \varepsilon}}\, ;\quad \varepsilon \neq 1\, ,</math>

wobei <math>I_i</math> für das Einkommen des <math>i</math>-ten [[Wirtschaftssektor]]s (oder Haushalts), <math>\mu</math> für das Durchschnittseinkommen ([[arithmetisches Mittel]]) und <math>n</math> für die Anzahl der Sektoren steht.

Sobald <math>\varepsilon = 1</math> ist, kollabiert der <math>A</math>-Index zum Champernowne-Index <math>C</math>, welcher, wie folgt, definiert ist:

: <math>C = \textit{CII} = 1 - \frac{\hat \mu}{\mu} = 1 - \frac{M}{\mu}</math> mit <math>\mu = \bar{I}_{\text{arithm}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} I_i</math> sowie <math>\hat \mu = M = \bar{I}_{\text{geom}} = \left(\prod\limits_{i = 1}^{n} I_i\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\prod\limits_{i = 1}^{n} I_i}\, ,</math>
: <math>C = 1 - \frac{\sqrt[n]{\prod\limits_{i = 1}^{n} I_i}}{\frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} I_i}\, .</math>

== Herleitung ==

Dieser Kettenindex macht sich das Konzept des [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittels]] zunutze. Es ist sehr gut bekannt, dass bei einer [[Ungleichverteilung]] der geometrische Mittelwert kleiner als das arithmetische Mittel ist. Die [[Inverses Element#Additiv Inverses|Gegenzahl]] des Quotienten vom geometrischen Mittel zum arithmetischen Mittelwert kann wahrlich als ein Index der Ungleichverteilung ([[Gleichheit#Wirtschaft und Ökonometrie|Ungleichheit/Disparität]]), ein so genanntes Ungleichheitsmaß, betrachtet werden. Formal kann der Index folgendermaßen notiert werden:

: <math>C = \textit{CII} = 1 - \frac{\hat \mu}{\mu}\, ,</math>

wobei <math>\!\ \mu</math> und <math>\hat \mu</math> die früheren, arithmetischen und geometrischen Mittel der [[Einkommensverteilung]] angeben. Es ist leicht erkennbar, dass dieser Index Werte zwischen <math>0</math> und <math>1</math> variiert.

Offenbar kann man dabei an ein weiteres Maß, bei dem der geometrische Mittelwert durch [[Harmonisches Mittel|harmonische Mittel]] substituiert wird, denken.<br />
Diese Maße reagieren sensibel auf den Transfer von Einkommen und sind umso größer, wenn der Transfer am „unteren Ende“ der Verteilung stattfindet.

Sie reagieren auf den Transfer von Einkommen zwischen 2 Personen sensibel. Dies kann man prüfen, indem man <math>x_j</math> sowie <math>x_k</math> entsprechend durch <math>(x_j - d)</math> und <math>(x_k + d)</math> austauscht, und man kann die Richtung der (Ver-)Änderung ermitteln. Die Anwendung der [[Differentialrechnung|Differenzialrechnung]] ist ebenfalls möglich.

Das große Problem dieser Indizes ist, dass diese nicht definiert werden können, falls ein Einkommen in Höhe von <math>0</math> vorliegt.

== Literatur ==

* Rao Bhanoji, M. K. Ramakrishnan: ''Income Inequality in Singapore: Impact of Economic Growth and Structural Change, 1966–1975.'' NUS Press, Singapur 1981 S. 26.
* [[Amartya Sen]]: ''[http://www.scribd.com/doc/35498294/buddha-teaching-economics On Some Debates in Capital Theory].'' In: ''Economica.'' Vol. 41, Nr. 163. Blackwell Publishing, 1974, S. 328–335.

== Weblinks ==

* Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/[[Indira Gandhi National Open University]]): ''[http://www.egyankosh.ac.in/bitstream/123456789/25847/1/Unit-11.pdf Unit 11: Measures of Inequality]'' – PD/gemeinfrei (PDF; 3,34 MB).
* Athanasios Kampas, Spyridon Mamalis ([[Aristoteles-Universität Thessaloniki]]): ''[http://www.eng.auth.gr/mattas/7_2_7.pdf Assessing the Distributional Impacts of Transferable Pollution Permits: The Case of Phosphorus Pollution Management at a River Basin Scale]'' (PDF; 76 kB).

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Wirtschafts- und Sozialstatistische Kennzahl]]

Champernowne-Index - Versionsgeschichte

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