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2024-07-16T19:21:09Z

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'''Cauer-Filter''' oder auch '''elliptische Filter''' sind [[Filter (Elektronik)|Frequenzfilter]], die auf einen sehr steilen Übergang des [[Frequenzgang (System)|Frequenzgangs]] vom [[Durchlassbereich]] in den Sperrbereich ausgelegt sind. Sie sind benannt nach [[Wilhelm Cauer (Mathematiker)|Wilhelm Cauer]]. Im Gegensatz zu den ähnlich aufgebauten [[Tschebyscheff-Filter]]n weisen Cauer-Filter sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen oszillierenden Verlauf der [[Übertragungsfunktion]] auf.

Für den Entwurf eines Cauer-Filters wird von den [[rational elliptische Funktionen|rationalen elliptischen Funktionen]] <math>R_n(\xi,\omega)</math> Gebrauch gemacht, wovon sich auch der Name dieses Filtertyps ableitet. Im Gegensatz zu anderen Filtern wie [[Tschebyscheff-Filter]] oder [[Butterworth-Filter]] kann bei dem Filterentwurf ein vorgegebenes Amplituden-Toleranzschema mit gegebener konstanter Garantiedämpfung im Sperrbereich und gegebener Welligkeit im Durchlassbereich sowie gegebenen Übergangsfrequenzen mit einem System minimaler Ordnung realisiert werden. Dies bedeutet einen geringeren [[Elektrische Schaltung|schaltungstechnischen]] Aufwand als mit anderen Filtertypen. Diesen Vorteil erkauft man sich allerdings durch starke [[Phase (Schwingung)|Phasenverzerrungen]] der Übertragungsfunktion. Übermäßig starke Phasenverzerrungen sind bei manchen Filteranwendungen unerwünscht, so dass trotz der Vorzüge von elliptischen Filtern dem Tschebyscheff- oder Butterworthfilter und dem erhöhten Schaltungsaufwand in bestimmten Anwendungen der Vorzug gegeben wird.
Es kann aber auch ein [[Allpass]]filter zur Korrektur der Phase verwendet werden, gleichfalls durch erhöhten Schaltungsaufwand erkauft.

== Übertragungsfunktion ==
[[Datei:Elliptic Filter Response (4th Order).svg|mini|hochkant=1.6|Übertragungsfunktion eines Cauer-Filters 4. Ordnung mit ε=0,5 und ξ=1,05]]
Die Übertragungsfunktion eines Cauer-Tiefpasses der Ordnung <math>n</math> ist gegeben durch:

:<math>|G_n(\mathrm{j}\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2R^2_n(\xi,\omega)}}</math>

und das Betragsquadrat des Frequenzverlaufs ist:

:<math>|G_n(\mathrm{j}\omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2R^2_n(\xi,\omega)}</math>

jeweils mit den rational elliptischen Funktionen <math>R_n(\xi,\omega)</math> der Ordnung <math>n</math>. Der Faktor <math>\epsilon</math> ist ein Parameter, welcher primär die Welligkeit der Übertragungsfunktion beeinflusst. Der Parameter <math>\xi</math> beeinflusst die Selektivität des Filters. In nebenstehender Abbildung ist die Übertragungsfunktion eines Cauer-Filters 4. Ordnung mit den Parameter ε=0,5 und ξ=1,05 mit der Abkürzung

:<math>L_n=R_n(\xi,\omega)</math>

dargestellt.

Für die praktische Anwendung und Dimensionierung von Cauer-Filtern wird mit Filter-Tabellen oder entsprechenden Softwarepaketen wie [[GNU Octave]] oder [[MATLAB]] gearbeitet. Aus diesen Tabellen können bis zu einer gewissen Filterordnung die benötigten Bauteilwerte für ein Filter direkt abgelesen werden.

== Literatur ==
* [[Wilhelm Cauer (Mathematiker)|Wilhelm Cauer]]: ''Siebschaltungen''. VDI-Verlag, Berlin, 1931.
* Wilhelm Cauer: ''Theorie der linearen Wechselstromschaltungen.'' Band 1. Akademische Verlags-Gesellschaft Becker und Erler, Leipzig, 1941.
* Wilhelm Cauer: ''Theorie der linearen Wechselstromschaltungen.'' Band 2. Aus dem Nachlaß herausgegeben von Ernst Glowatzki. Akademie-Verlag, Berlin 1960.
* Anatol I. Zverev: ''Handbook of Filter Synthesis.'' John Wiley & Sons, New York NY u. a. 1967, ISBN 0-471-74942-7 (Auch: Wiley-Interscience, Hoboken NJ 2005).
* Leland B. Jackson: ''Digital Filters and Signal Processing.'' Kluwer, Boston MA u. a. 1986, ISBN 0-89838-174-6.

[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]

Cauer-Filter - Versionsgeschichte

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