imported>InNomineHominis: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */

2025-02-04T16:43:28Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0

Neue Seite

Der '''cauchysche Integralsatz''' (nach [[Augustin Louis Cauchy]]) ist einer der wichtigsten Sätze der [[Funktionentheorie]]. Er handelt von [[Kurvenintegral]]en für [[Holomorphe Funktion|holomorphe]] (auf einer [[Offene Menge|offenen Menge]] komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende [[Weg (Mathematik)|Wege]] das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der [[Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] und des [[Residuensatz]]es benutzt.

Die erste Formulierung des Satzes stammt von [[1814]], als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den [[Jordanscher Kurvensatz|jordanschen Kurvensatz]] als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das [[Lemma von Goursat]] ohne diese tiefgreifende Aussage aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] aus.

== Der Satz ==
Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert.

=== Cauchyscher Integralsatz für Elementargebiete ===
Sei <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[Elementargebiet]], also ein Gebiet, auf dem jede [[holomorphe Funktion]] <math>f\colon D\to\mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktion]] besitzt. [[Sterngebiet]]e sind beispielsweise Elementargebiete. Der Cauchysche Integralsatz besagt nun, dass
: <math>\oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math>
für jede [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Kurve]] <math>\gamma \colon [a,b]\to D</math> (wobei <math>a, b \in \R</math> und <math>a < b</math>). Für das Integralzeichen mit Kreis siehe [[Kurvenintegral#Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven|Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven]].

Ist <math>D</math> kein Elementargebiet, so ist die Aussage falsch. Zum Beispiel ist <math> f\colon z\mapsto\tfrac 1z</math> auf dem Gebiet <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math> holomorph, dennoch verschwindet <math>\textstyle \oint_\gamma f(z)\, dz</math> nicht über jede geschlossene Kurve. Beispielsweise gilt
: <math>\;\oint\limits_{\partial U_r(0)}\frac{1}{z} \, \mathrm dz=2\pi\mathrm i\neq 0</math>
für die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um <math>0</math> mit positivem Radius <math>r</math>.

=== Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version) ===
Ist <math>D\subseteq\mathbb C</math> offen und sind <math>\alpha,\beta\colon[0,1]\to D</math> zwei zueinander [[homotop]]e Kurven in <math>D</math>, dann ist
: <math>\int\limits_{\alpha }f(z)\, dz=\int\limits_{\beta }f(z)\, dz</math>
für jede holomorphe Funktion <math>f\colon D\to\mathbb C</math>.

Ist <math>D</math> ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d. h. <math>D</math> ist ein [[Elementargebiet]].

Bei erneuter Betrachtung des obigen Beispiels bemerkt man, dass <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math> ''nicht'' einfach zusammenhängend ist.

=== Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version) ===

Ist <math>D\subseteq\mathbb C</math> ein Gebiet und <math>\Gamma</math> ein [[Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] ''in'' <math>D</math>, dann verschwindet
: <math>\int\limits_\Gamma f(z)\, dz</math>
genau dann für jede holomorphe Funktion <math>f\colon D\to\mathbb C</math>, wenn <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>D</math> ist.

== Isolierte Singularitäten ==
=== Windungszahl des Integrationsweges ===
Es sei <math>D\subseteq\mathbb C</math> ein Gebiet, <math>a\in D</math> ein [[innerer Punkt]] und <math>f\colon D\setminus\{a\}\to\mathbb{C}</math> holomorph. Sei <math>U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D</math> eine [[punktierte Umgebung]], auf der <math>f</math> holomorph ist. Sei ferner <math>\gamma</math> eine vollständig in <math>D</math> verlaufende geschlossene [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], die <math>a</math> genau einmal positiv orientiert umläuft, d. h. für die [[Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]] gilt <math>\operatorname{ind}_{\gamma}(a)=1</math> (insbesondere liegt <math>a</math> nicht auf <math>\gamma</math>). Mit dem Integralsatz gilt nun
: <math>\oint\limits_\gamma f(z)\, dz = \oint\limits_{\partial U} f(z)\, dz.</math>
Durch Verallgemeinerung auf beliebige Umlaufzahlen von <math>\gamma</math> erhält man
:<math>\oint\limits_\gamma f(z)\, dz=\operatorname{ind}_{\gamma}(a) \oint\limits_{\partial U}f(z)\, dz.</math>
Mithilfe der Definition des [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuums]] ergibt sich sogar
: <math>\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_\gamma f(z)\, dz=\operatorname{ind}_{\gamma}(a)\operatorname{Res}_a f(z).</math>
Der [[Residuensatz]] ist eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf mehrere [[isolierte Singularität]]en und auf Zyklen.

=== Beispiel ===
Es wird im Folgenden das Integral <math>\;\oint\limits_{\partial U(a)}\frac{1}{(z-a)^n}\mathrm{d}z</math> mit <math>n\in\mathbb{Z}</math> bestimmt. Wähle als Integrationsweg <math>\partial U(a)=\partial U_{r}(a)</math> einen Kreis mit Radius <math>r</math> um <math>a</math>, also
: <math>z=\gamma(t)=a+re^{2\pi\mathrm{i}t}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{d}z=\frac{\partial\gamma}{\partial t}\mathrm{d}t=2\pi ire^{2\pi\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>
Daraus folgt:
: <math>\begin{align}\;\oint\limits_{\partial U_{r}(a)}\frac{1}{(z-a)^{n}}\mathrm{d}z & =\int\limits_{0}^{1}\frac{2\pi\mathrm{i}re^{2\pi\mathrm{i}t}}{r^{n}e^{2\pi n\mathrm{i}t}}\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}r^{1-n}\int\limits_{0}^{1}e^{2\pi\mathrm{i}t(1-n)}\mathrm{d}t=\begin{cases} 2\pi\mathrm{i}[t]_{0}^{1} & \mbox{für}\ n=1\\ \frac{r^{1-n}}{1-n}[e^{2\pi\mathrm{i}t(1-n)}]_{0}^{1} & \mbox{für}\ n\neq 1\end{cases}\\
& =\begin{cases} 2\pi\mathrm{i} & \mbox{für}\ n=1\\ 0 & \mbox{für}\ n\neq 1\end{cases}=2\pi\mathrm{i}\delta_{n,1}\end{align}</math>

Da man jede Funktion <math>f(z)</math>, die auf einem Kreisring um <math>a</math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]] ist, in eine [[Laurent-Reihe]] entwickeln kann, <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}</math>, ergibt sich bei der Integration um <math>a</math>:
: <math>\;\oint\limits_{\partial U(a)}f(z)\mathrm{d}z=\oint\limits_{\partial U(a)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}\mathrm{d}z=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\oint\limits_{\partial U(a)}(z-a)^{n}\mathrm{d}z
</math>
Nun lässt sich obiges Ergebnis anwenden: <math>\;\oint\limits_{\partial U_{r}(a)}(z-a)^{n}\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\delta_{n,-1}</math>
: <math>\;\oint\limits_{\partial U(a)}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}2\pi\mathrm{i}\delta_{n,-1}=2\pi\mathrm{i}\,c_{-1}=2\pi\mathrm{i}\,\text{Res}_{a}(f)
</math>,
wobei der Entwicklungskoeffizient <math>c_{-1}</math> [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] genannt wird.

== Herleitung ==
Folgende Herleitung, die allerdings die '''stetige''' komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt,
führt das komplexe Integral auf reelle zweidimensionale Integrale zurück.

Sei <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> mit <math>x,y\in\mathbb{R}</math> und <math>f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)\in\mathbb{C}</math> mit <math>u,v\in\mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Integral entlang der Kurve <math>\gamma(z)</math> in der [[Komplexe Zahl|komplexen Ebene]], bzw. für das äquivalente Linienintegral entlang der Kurve
:<math>C(x,y)=\begin{pmatrix}\Re(\gamma(z))\\ \Im(\gamma(z))\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\Re(\gamma(x,y))\\ \Im(\gamma(x,y))\end{pmatrix}</math>
in der reellen Ebene <math>\mathbb{R}^{2}</math>

: <math> \begin{align}
\underset{\gamma\subset\mathbb{C}}{\int}f(z)\, dz & =\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}f(x,y)\,(dx+idy)=\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}f(x,y)\\ if(x,y)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}\\
& =\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}u(x,y)\\ -v(x,y)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}+i\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}v(x,y)\\ u(x,y)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}
\end{align}</math>

Damit wurde das komplexe Kurvenintegral durch zwei reelle Kurvenintegrale ausgedrückt.

Für eine geschlossene Kurve <math>C=\partial S</math>, die ein [[einfach zusammenhängend]]es Gebiet S berandet, lässt sich der [[Gaußscher Integralsatz|Integralsatz von Gauß]] (hier wird die Stetigkeit der [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] verwendet) anwenden

: <math>\begin{align}
\underset{\gamma\subset\mathbb{C}}{\oint}f(z)\, dz & =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u\\ -v\end{pmatrix}dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v\\ u\end{pmatrix}dxdy\\
& =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ \partial_{x}u-\partial_{y}v\right\} dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ \partial_{x}v+\partial_{y}u\right\} dxdy
\end{align}</math>

bzw. alternativ der [[Satz von Stokes]]

: <math>\begin{align}
\underset{\gamma\subset\mathbb{C}}{\oint}f(z)\, dz & =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left[\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\\ 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}u\\ -v\\ 0\end{pmatrix}\right]_{3}dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left[\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\\ 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}v\\ u\\ 0\end{pmatrix}\right]_{3}dxdy\\
& =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ -\partial_{x}v-\partial_{y}u\right\} dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ \partial_{x}u-\partial_{y}v\right\} dxdy
\end{align}</math>

Ist die Funktion <math>f(z)</math> in S [[komplex differenzierbar]], müssen dort die [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]]

:<math>\partial_{x}u=\partial_{y}v</math>   und   <math>\partial_{x}v=-\partial_{y}u</math>

gelten, sodass die obigen Integranden (egal ob in der Gauß- oder Stokes-Version) verschwinden:

:<math>\underset{\gamma}{\oint}f(z)\, dz=0</math>

Somit ist der cauchysche Integralsatz für holomorphe Funktionen auf einfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen.

=== Cauchyscher Integralsatz mit Wirtinger-Kalkül und Satz von Stokes ===
Der '''cauchysche Integralsatz''' ergibt sich als leichte Folgerung aus dem [[Satz von Stokes]], wenn man den [[Wirtinger-Kalkül]] zum Einsatz bringt<ref>{{Literatur |Autor=[[Klaus Jänich]] |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin (u. a.) |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6 |Seiten=19–20}}</ref>. Dabei wird zum Beweis des Integralsatzes die Berechnung des [[Kurvenintegral]]s verstanden als [[Integralrechnung|Integration]] der [[Komplexe Differentialform|komplexwertigen Differentialform]]
: <math>\omega = f(z) dz </math>
über die [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Kurve]] <math>C </math>, die das [[einfach zusammenhängend]]e und von <math>C=\partial S</math> [[Rand (Topologie)|berandete]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math> S</math> umläuft.

Der [[Wirtinger-Kalkül]] besagt nun, dass das [[Differential (Mathematik)|Differential]] <math>df </math> die Darstellung
: <math>df = \frac {\partial f}{\partial z} dz + \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} {d\bar z} </math>
hat, woraus unmittelbar
: <math>d{\omega} = df \wedge dz = { \frac {\partial f}{\partial z} dz } \wedge dz + { \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} {d\bar z} } \wedge dz </math>
folgt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Klaus Jänich]] |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin (u. a.) |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6 |Seiten=15, 20}}</ref>

Nun ist zunächst grundsätzlich
:<math>dz \wedge dz = 0 </math>

Weiterhin bedeutet die vorausgesetzte [[Holomorphie]]bedingung für <math> f </math> nach dem [[Wirtinger-Kalkül]] nichts weiter als
: <math> \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} = 0 </math>  ,
was unmittelbar
: <math> { \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} {d\bar z} } \wedge dz = 0 </math>
nach sich zieht.<ref>{{Literatur |Autor=[[Klaus Jänich]] |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin (u. a.) |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6 |Seiten=16, 20}}</ref>

Insgesamt ergibt sich also:
: <math>d{\omega} = 0</math>
und damit schließlich mittels [[Satz von Stokes]]:
: <math> \int\limits_{C} f(z) dz = \int\limits_{\partial S} \omega = \int\limits_S \mathrm{d} \omega = \int\limits_S \mathrm{0} = 0 </math>

==== Anmerkung ====
Es lässt sich mit Hilfe des [[Lemma von Goursat|Integrallemmas von Goursat]] zeigen, dass sich aus der komplexen Differenzierbarkeit allein – also ohne die zusätzliche Annahme der Stetigkeit der Ableitungen! – bereits der cauchysche Integralsatz und dann auch die Existenz aller höheren Ableitungen ergibt. Dieser Zugang zum cauchyschen Integralsatz umgeht den Satz von Stokes und ist unter didaktischen Gesichtspunkten vorzuziehen.

== Folgerungen ==
Der Cauchysche Integralsatz ermöglicht unmittelbar [[Fundamentalsatz der Algebra#Direkter Beweis mittels des Cauchyschen Integralsatzes|Beweise]] des [[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]], welcher besagt, dass jedes komplexe [[Polynom]] über <math>\Complex</math> in Linearfaktoren zerfällt, d. h., dass der Körper der komplexen Zahlen [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossen]] ist.

== Literatur ==
* Kurt Endl, [[Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3
* Wolfgang Fischer, [[Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 57, Kapitel 3, Satz 1.4 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47).
* [[Günter Bärwolff]]: ''Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure.'' 2. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
* {{Literatur
|Autor=[[Klaus Jänich]]
|Titel=Einführung in die Funktionentheorie
|Auflage=2.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=1980
|ISBN=3-540-10032-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Cauchyscher Integralsatz - Versionsgeschichte

imported>InNomineHominis: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */