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2025-03-23T12:06:13Z

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Die '''cauchysche Integralformel''' (nach [[Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[Residuensatz]].

== Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben ==
=== Aussage ===
Ist <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon D\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>a\in D</math> ein Punkt in <math>D</math> und <math>U:=U_r(a)\subset D</math> eine [[Relative Kompaktheit|relativ kompakte]] Kreisscheibe in <math>D</math>, dann gilt für alle <math>z\in U_r(a)</math>, also für alle <math>z</math> mit <math>|z-a|<r</math>:
:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math>
Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto a+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand von <math>U</math>.

=== Beweis ===
Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch <math>w\mapsto\tfrac{f(w)-f(z)}{w-z}</math> für <math>w\neq z</math> und <math>w\mapsto f'(z)</math> für <math>w=z</math>. <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Mit dem [[Cauchyscher Integralsatz|Integralsatz von Cauchy]] gilt nun
:<math>0 = \oint_{\partial U} g = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}</math>.
Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>, welche verschwindet, da der Integrand eine [[Stammfunktion]] (nämlich <math>\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math>) hat. Also ist <math>h</math> konstant, und wegen <math>h(a)=2\pi\mathrm{i}</math> ist <math>h(z)=2\pi\mathrm{i}</math>.

== Folgerungen ==
* Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=a+re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>.
::<math>f|_{U}(a)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(a+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t</math>
* Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-a|<r</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>:
::<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math>
* Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar für <math>|z-a|<r</math>.
::<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-a\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)(z-a)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}(z-a)^n.</math>
* Mit der Integralformel für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt:
::<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math>
* Der [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Daraus ergibt sich zudem ein [[Fundamentalsatz der Algebra#Indirekter Beweis mit dem Satz von Liouville|einfacher Beweis]] des [[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]] (jedes Polynom zerfällt in <math>\mathbb C</math> in Linearfaktoren). Allerdings lässt sich dieser auch bereits aus dem [[Cauchyscher Integralsatz#Cauchyscher Integralsatz für Elementargebiete|Cauchyschen Integralsatz]] folgern, siehe [[Fundamentalsatz der Algebra#Beweis mit Methoden der Funktionentheorie|die hiesigen zwei Beweise]].

=== Beweise ===
Die Cauchysche Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:
:<math>\begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & =\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math>

Entwicklung von <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> in der Cauchyschen Integralformel mit Hilfe der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] ergibt
:<math>\begin{align}
f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a-(z-a)}\mathrm{d}\zeta\\
& =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{\zeta-a}}\mathrm{d}\zeta\,\overset{|\frac{z-a}{\zeta-a}|<1}{=}\,\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-a}{\zeta-a}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\
& =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-a)^{n}\end{align}</math>
Da für <math>|z-a|<|\zeta-a|=r</math> die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d. h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:
:<math>\begin{align}
a_{n} & =\frac{1}{n!}f^{(n)}|_{U}(a)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\\
& =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(a+re^{\mathrm{i}t})}{(re^{\mathrm{i}t})^{n+1}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\end{align}</math>

Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|=r</math>; dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>:
:<math>|a_{n}|=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\leq\frac{1}{2\pi r^n}\int_0^{2\pi}\underbrace{|f(a+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M}\,\mathrm{d}t\leq \frac{M}{r^{n}}</math>

Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>:
:<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math>
Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>:
: <math>f(z)=a_0</math>
Das heißt, jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant ([[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]]).

=== Beispiel ===
Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:
:<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!}\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math>

== Cauchysche Integralformel für Polyzylinder ==
Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch
:<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n}
\oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math>

erklärt. Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu
:<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>,
mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel
:<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n}
\oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math>
für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung
:<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math>
wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[Bochner-Martinelli-Formel]].

== Cauchysche Integralformel für Zyklen ==
Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:

Ist <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet, <math>f\colon D\to\mathbb{C}</math> holomorph und <math>\Gamma</math> ein nullhomologer [[Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>D</math>, dann gilt für alle <math>z\in D</math>, die nicht auf <math>\Gamma</math> liegen, folgende Integralformel:
:<math>\operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math>

Dabei bezeichnet <math>\operatorname{ind}_{\Gamma}(z)</math> die [[Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]] von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Kurt Endl, [[Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
* Wolfgang Fischer, [[Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47).

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]]

Cauchysche Integralformel - Versionsgeschichte

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