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2025-11-24T06:24:28Z

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente

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{{Dieser Artikel|behandelt die mathematischen Eigenschaften, für Anwendungen in der Physik siehe [[Lorentzkurve]].}}
Die '''Cauchy-Verteilung''' (nach [[Augustin Louis Cauchy]]) ist eine stetige, [[Wölbung (Statistik)|leptokurtische]] (supergaußförmige) [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]].

[[Bild:Pendulum Cauchy.svg|thumb|Pendel der Länge <math>s</math> mit Ruheposition <math>t</math> und Auslenkungswinkel <math>U</math>. Ist <math>U</math> gleichverteilt, so ist die Auslenkung <math>X</math> Cauchy-verteilt.]]
Anschaulich gesprochen beschreibt sie die tangentiale [[Auslenkung]] eines [[Mathematisches Pendel|Pendels]]. Hat das Pendel die Länge <math>s</math>, Ruheposition <math>t</math> und einen über dem Intervall <math>(-90\text{°},90\text{°})</math> [[Stetige Gleichverteilung|gleichverteilten]] Auslenkungswinkel <math>U</math>, so ist die Position <math>X = s \tan(U) + t</math> Cauchy-verteilt mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Bühler |Titel=Die Cauchy-Verteilung und das Gesetz der großen Zahlen |Sammelwerk=Monoid |Band=Jahrgang 30 |Nummer=103 |Verlag=Universität Mainz |Datum=2010 |Seiten=16-18 |Online=https://monoid.mathematik.uni-mainz.de/M103.pdf}}</ref>

Die Cauchy-Verteilung tritt außerdem als die Verteilung einer Zufallsvariable <math>Z=X/Y</math> auf, die das Verhältnis zweier [[Zufallsvariable|Zufallsvariablen]] <math>X</math> und <math>Y</math> mit einer rotationsinvarianten gemeinsamen Dichte ist (z. B. zwei unabhängige zentrierte normalverteilte Zufallsvariablen).<ref>{{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Stochastik: Eine Einführung mit Grundzügen der Maßtheorie |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-59562-6 |Seiten=144}}</ref>

Ferner ist sie in der Physik für eine genäherte Beschreibung von [[Resonanz]] von Bedeutung. Sie wird dort ''Resonanzkurve'' oder [[Lorentzkurve]] (nach [[Hendrik Antoon Lorentz]]) genannt. Daher gibt es auch die Bezeichnungen '''Lorentz-Verteilung''' und '''Cauchy-Lorentz-Verteilung'''.

== Definition ==
[[Bild:Cauchy pdf.svg|thumb]][[Datei:Cauchy cdf.svg|mini|Dichtefunktion (oben) und Verteilungsfunktion (unten) der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei entspricht <math>\gamma</math> im Bild ''s'' in der nebenstehenden Gleichung und <math>x_0</math> entspricht ''t''.]]
Eine Zufallsvariable <math>X</math> hat eine Cauchy-Verteilung mit Zentrum <math>t \in \mathbb{R}</math> und Breitenparameter <math>s>0</math>, wenn sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
: <math> f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}</math>
besitzt. Hierfür schreibt man auch symbolisch <math>X \sim \mathrm{C}(t,s)</math> und sagt, dass <math>X</math> ''Cauchy-verteilt'' ''(zu <math>t</math> und <math>s</math>)'' ist.<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Henze |Titel=Stochastik für Einsteiger |Auflage=13. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63839-2 |Seiten=314}}</ref>

Die spezielle Cauchy-Verteilung zu den Parametern <math>t=0</math> und <math>s=1</math>, also mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
: <math>f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}</math>,
heißt '''Standard-Cauchy-Verteilung'''. Für eine standard-Cauchy-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> schreibt man entsprechend <math>X \sim \mathrm{C}(0,1)</math>.

== Eigenschaften ==
=== Verteilungsfunktion ===

Die [[Verteilungsfunktion]] der Cauchy-Verteilung ist
: <math>F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right)</math>.

Die Verteilungsfunktion der Standard-Cauchy-Verteilung lautet insbesondere (<math> t = 0, s = 1</math>)
: <math>F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(x)</math>.

=== Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente ===
Die Cauchy-Verteilung ist eine Verteilung, die weder [[Erwartungswert]] noch [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] oder [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] besitzt, sie sind [[Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)|unbestimmt]]. Dementsprechend besitzt sie auch keine endlichen [[Moment (Stochastik)|Moment]]e und keine [[momenterzeugende Funktion]]. Wenn man die Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung umformt, erhält man die folgende Darstellung.
: <math> f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2} = \frac{1}{\pi\cdot s} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{x-t}{s}\right)^2}</math>
Auch wenn der Erwartungswert und die Varianz nicht existiert, übernehmen die Verteilungsparameter <math>t\in \mathbb{R}</math> und <math>s > 0</math> die Rolle eines Mittelwertes und eines Streuparameters analog zur [[Normalverteilung]].

=== Quantile ===
Die [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] erhält man aus der [[Quantilfunktion]]
:<math> F^{-1}(p) = s \cdot \tan(\pi(p -1/2)) +t </math>.

=== Median, Modus, Quartilabstand ===
Die Cauchy-Verteilung besitzt den [[Median (Stochastik)|Median]] bei <math>t</math>, den [[Modus (Stochastik)|Modus]] ebenfalls bei <math>t</math>, und den [[Streuungsmaß (Statistik)#Interquartilsabstand|Quartilsabstand]] <math>2s</math>.

=== Symmetrie ===
Die Cauchy-Verteilung ist [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] zum Parameter <math> t </math>.

=== Entropie ===
Die [[Differentielle Entropie|Entropie]] beträgt <math>\log(4 \pi s)</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] der Cauchy-Verteilung ist <math>y \mapsto \exp(ity - s|y|)</math>.

=== Reproduktivität ===
Die Cauchy-Verteilung gehört zu den [[Reproduktivität|reproduktiven]] Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Der [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittelwert]]
:<math>\overline{X}=\frac{X_1+X_2+\dotsb +X_n}{n}</math>
aus <math>n</math> standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem [[Gesetz der großen Zahlen]], das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe [[Satz von Etemadi]]) gilt. Ferner gilt auch der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] nicht.

=== Invarianz gegenüber Faltung ===
Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber [[Faltung (Stochastik)|Faltung]], das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der [[Halbwertsbreite]] <math>\Gamma_{a}</math> und einem Maximum bei <math>t_a</math> mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite <math>\Gamma_{b}</math> und einem Maximum bei <math>t_b</math> ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite <math>\Gamma_{c} = \Gamma_{a} + \Gamma_{b}</math> und einem Maximum bei <math>t_c = t_a + t_b</math>. Somit bildet die Cauchy-Verteilung eine [[Faltungshalbgruppe]].

== Beziehung zwischen der Cauchy-Verteilung und der Standard-Cauchy-Verteilung ==
Ist eine Zufallsvariable <math>X</math> standard-Cauchy-verteilt, so ist die transformierte Zufallsvariable <math>Y=sX+t</math> (mit <math>t \in \mathbb{R}</math> und <math>s>0</math>) Cauchy-verteilt zu <math>t</math> und <math>s</math>. Umgekehrt gilt: Ist <math>Y</math> Cauchy-verteilt mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>, dann ist <math display="inline">X=\frac{Y - t}{s}</math> standard-Cauchy-verteilt.

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==

=== Beziehung zur stetigen Gleichverteilung ===
Ist <math>U</math> auf dem Intervall <math>(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})</math> [[Stetige Gleichverteilung|stetig gleichverteilt]], dann ist <math>X = \tan(U)</math> standard-Cauchy-verteilt. Entsprechend ist <math>Y = sX + t</math> Cauchy-verteilt mit den Parametern <math>s</math> und <math>t</math>. Dies motiviert das Beispiel der Pendel-Auslenkung.

=== Beziehung zur Normalverteilung ===
Sind <math>X,Y</math> zwei unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann ist der Quotient <math>Z=\tfrac{X}{Y}</math> standard-Cauchy-verteilt.<ref>{{Literatur |Autor=Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang |Titel=Introduction to Probability |Online=https://ia803404.us.archive.org/6/items/introduction-to-probability-joseph-k.-blitzstein-jessica-hwang/Introduction%20to%20Probability-Joseph%20K.%20Blitzstein%2C%20Jessica%20Hwang.pdf|Verlag=CRC Press |Datum=2015 |ISBN=978-1-4665-7559-2 |Seiten=294-295}}</ref> Etwas allgemeiner gilt, dass der Quotient von zwei unabhängigen, zentrierten [[Normalverteilung|normalverteilten]] Zufallsvariablen Cauchy-verteilt ist.

=== Beziehung zur studentschen t-Verteilung ===
Die Standard-Cauchy-Verteilung ist der Spezialfall der [[Studentsche t-Verteilung|studentschen t-Verteilung]] <math>\mathcal{t}_n</math> mit einem [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgrad]] <math>n=1</math>.

=== Beziehung zur Lévy-Verteilung ===
Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle [[alpha-stabile Verteilungen|α-stabile Verteilung]] mit dem Exponentenparameter <math>\alpha=1</math>.

== Anwendungsbeispiel ==

Bei der Cauchy-Verteilung als Vertreter der [[Heavy-tailed-Verteilung]]en ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> mindestens 2,326, so beträgt bei einer standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte [[Zufallszahl]]en in Simulationen.

== Zufallszahlen ==

Zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallszahlen bietet sich die [[Inversionsmethode]] an. Die nach dem [[Simulationslemma]] zu bildende [[Pseudoinverse]] der [[Verteilungsfunktion]] <math>F(x)</math> lautet hierbei <math>F^{-1}(y) = -\cot(\pi y)</math> (siehe [[Kotangens]]). Zu einer Folge von [[Standardzufallszahl]]en <math>u_i</math> lässt sich daher durch <math>x_i := -\cot ( \pi u_i )</math>, oder wegen der Symmetrie auch durch <math>x_i := \cot ( \pi u_i )</math>, eine Folge standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[William Feller]] |Titel=An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1 |Verlag=Wiley & Sons |ISBN=0471257087 |Auflage=3. |Jahr=1968}}
*{{Literatur|Autor=William Feller|Titel=An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2|Verlag=John Wiley & Sons|ISBN=0471257095|Auflage=2.|Jahr=1991}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Cauchy-Lorentz distributions|Cauchy-Verteilung}}
* {{MathWorld|CauchyDistribution|Cauchy Distribution}}

== Siehe auch ==
* [[Versiera der Agnesi]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Cauchy-Verteilung - Versionsgeschichte

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