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Die '''Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen''' (auch: '''Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen''' oder '''Cauchy-Riemann-Gleichungen''') im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionentheorie]] sind ein System von zwei [[partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] zweier [[Reelle Zahl|reell-wertiger]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]]. Sie schlagen eine Brücke von den [[Differenzierbarkeit#Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen|reell-differenzierbaren]] Funktionen <math>\R^2 \rightarrow \R^2</math> zu den komplex-differenzierbaren der [[Funktionentheorie|(komplexen) Funktionentheorie]] <math>\Complex \rightarrow \Complex</math>.

Zum ersten Mal tauchen sie 1752 bei [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert|d’Alembert]] auf.<ref>{{cite journal |first=J. |last=d’Alembert |authorlink=Jean le Rond d’Alembert |year=1752 |title=Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides |journal=gallica |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b.modeAffichageimage.f1.langFR.vignettesnaviguer |language=fr}}</ref> [[Leonhard Euler|Euler]] verband dieses System 1777 mit den analytischen Funktionen.<ref>{{cite journal |first=L. |last=Euler |authorlink=Leonhard Euler |year=1797 |title=Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis |journal=Nova Acta Acad. Sci. Petrop. |volume=10 |pages=3–19 |language=fr}}</ref> In einem rein funktionentheoretischen Kontext erscheinen sie 1814 bei [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>{{cite journal |first=A.L. |last=Cauchy |year=1814 |title=Mémoire sur les intégrales définies |journal=Oeuvres complètes Ser. 1 |volume=1 |pages=319–506 |language=fr}}</ref> und 1851 in [[Bernhard Riemann|Riemanns]] Dissertation.<ref>{{cite journal |first=B. |last=Riemann |authorlink=Bernhard Riemann |title=Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse |journal=pdf |url=https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Grund/Grund.pdf |language=de}}</ref>

== Definition ==
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (CRDG) sind das System von zwei Differentialgleichungen zweier reellwertiger Funktionen <math>u,v \colon \R^2 \rightarrow \R</math> in zwei reellen [[Variable (Mathematik)|Variablen]]  <math>x,\,y</math>:
: <math>\left.\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x}(x, y) &= \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) & \qquad \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x, y) &= -\frac{\partial v}{\partial x}(x, y) & \qquad
\end{align}\right\}</math> (CRDG)

== Beziehung zu den holomorphen Funktionen ==

Vergleiche hierzu auch den Abschnitt [[Holomorphe Funktion#Zum Holomorphiebegriff|Erläuterungen]] im Artikel über [[holomorphe Funktion]]en.

=== Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen ===

<math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller [[Vektorraum]] mit der kanonischen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>(1,\mathrm{i})</math>. Dies gibt Anlass zu einer natürlichen Identifikation <math>\mathbb{C}\simeq \mathbb{R}^2</math>. Ein Punkt <math>z\in\Complex</math> hat die reellen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>x:=\operatorname{Re}(z), \;y:=\operatorname{Im}(z) \in \R</math>, oder kurz <math> z = x + \mathrm{i} y</math>. Eine [[komplexwertige Funktion]] <math> f: U\subset\Complex \to \mathbb{C}</math> auf einer [[Offene Menge|offenen Teilmenge]] von <math>\Complex</math> kann man daher durch Zerlegung in ihren Real- und Imaginärteil <math>f\left(x+\mathrm{i}y\right)=u\left(x,y\right) + \mathrm{i} v\left(x,y\right)</math> als eine <math>\mathbb{R}^2</math>-wertige Funktion von zwei reellen Variablen <math>(x,y)\in \tilde{U} := \{(a,b)\in\R^2\ |\ a+\mathrm{i}b \in U\}</math> auffassen.

=== Komplexe Differenzierbarkeit ===
Ein wichtiges elementares Resultat der Funktionentheorie ist die Beziehung zwischen den Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung und den [[Holomorphe Funktion|holomorphen]] (also den auf einer offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> komplex differenzierbaren) Funktionen.

Eine Funktion <math>f</math> ist auf <math>U</math> nämlich genau dann komplex differenzierbar, wenn ihre Entsprechung
<math>\widetilde{f}(x,y)=f(x+\mathrm{i}y)=:u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math> auf <math>\widetilde{U}</math> (reell) [[Totale Differenzierbarkeit|differenzierbar]] ist und die Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. In diesem Fall gilt <math>f' = \tfrac{\partial{\widetilde{f}}}{\partial x} = -\mathrm{i} \tfrac{\partial{\widetilde{f}}}{\partial y}</math>.

Insbesondere klärt diese Aussage den Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit von Abbildungen der Ebene in die Ebene. Weiter kann sogar gezeigt werden, dass die Begriffe holomorph
und [[Analytische Funktion|analytisch]] äquivalent sind. Für weitere äquivalente Charakterisierungen siehe [[Holomorphe Funktion#Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher]].

=== Herleitung ===

Wenn <math>f</math> in <math>U</math> komplex differenzierbar ist, dann existiert
:<math>f'(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})=\lim_{\underset{h\in\Complex}{h\to0}}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}</math>
für jedes <math>z_0\in U</math>. Durch Auflösen nach <math> f(z_{0}+h)</math> ergibt sich
:<math> f(z_0+h) = f(z_0) + f'(z_0) \cdot h + r(h) \quad\text{mit}\;\lim_{h \rightarrow 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0.</math>
Zerlegt man <math> f'(z_0)=:a+\mathrm{i} b</math> und <math> h=\Delta x+\mathrm{i}\Delta y</math>,
so erhält man
:<math> f(x_0+\Delta x+\mathrm{i} (y_0+\Delta y)) = f(x_0+\mathrm{i} y_0) +
(a +\mathrm{i} b) \Delta x + (-b+\mathrm{i} a) \Delta y + r(h).</math>
Dies zeigt, dass <math>f=u+\mathrm{i} v</math> total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen
von <math>u,v</math> gegeben sind durch
:<math> \frac{\partial u}{\partial x}(z_0)=a = \frac{\partial v}{\partial y}(z_0);
\frac{\partial u}{\partial y}(z_0)=-b = -\frac{\partial v}{\partial x}(z_0).</math>

=== Beispiel ===

Die Funktion <math>f \colon \Complex \to \Complex</math>, <math>f(x+\mathrm{i}y) = x^2-y^2 + 2\mathrm{i}{xy}</math> ist holomorph, denn ihr Realteil <math>u(x,y) = x^2-y^2</math> und ihr Imaginärteil <math>v(x,y) = 2xy</math> sind reell differenzierbar und es gilt
:<math>\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y)</math>,
:<math>\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)</math>.

== Weitere Eigenschaften ==
=== Polarkoordinaten ===
Man kann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auch in anderen [[Koordinaten]] als den [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen]] darstellen. Im Folgenden wird die Darstellung in [[Polarkoordinaten]] erläutert. Eine Darstellung einer [[komplexe Zahl#Polarform|komplexen Zahl in Polarform]] ist <math>z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}</math>. Dies führt dazu, dass man die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] von <math>f</math> nach <math>r</math> beziehungsweise <math>\phi</math> zu betrachten hat. Für diese gilt

:<math>\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial f}{\partial z}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f',\, \quad\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{\partial z}{\partial\phi}\frac{\partial f}{\partial z}=\mathrm{i}r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}f'.</math>

Daraus folgt mit <math>f=u+\mathrm{i}v</math>:

:<math>0=\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\partial f}{\partial\phi}=\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{\mathrm{i}^{2}}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}=\left(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}\right)+\mathrm{i}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial v}{\partial r}\right).</math>

Da beide Klammern verschwinden müssen, gilt:

:<math>\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\phi}</math>

und

:<math>\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\phi}.</math>

Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten.

=== Beziehung zu den konformen Abbildungen ===
{{Hauptartikel|Konforme Abbildung|Biholomorphe Abbildung}}
Die komplexe Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist
:<math>0=f'+\mathrm{i}^{2}f'=\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}\quad \Rightarrow\quad \mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}</math>

Diese Form der Gleichung entspricht der Forderung, dass in der [[Komplexe Zahl#Matrizen|Matrixdarstellung der komplexen Zahlen]] die [[Jacobi-Matrix]] die folgende Struktur hat
:<math>\left[\begin{array}{lr} a & -b\\ b & a\end{array}\right]</math>     mit     <math>a=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad b=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}</math>

Die zu diesen Matrizen gehörenden [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] sind, sofern <math>a</math> und <math>b</math> nicht beide null sind, [[Drehstreckung]]en im Raum <math>\R^2</math>, dabei ist <math>a=r\,\cos(\phi)</math> und <math>b=r\,\sin(\phi)</math>, wobei <math>r\neq 0</math> der [[Skalarmultiplikation|Skalierungsfaktor]] und <math>\phi</math> der [[Winkel|Drehwinkel]] ist. Diese Abbildung ist somit [[winkeltreue Abbildung|winkel-]] und [[Orientierung (Mathematik)|orientierung]]streu; das heißt, der (orientierte) Winkel zwischen zwei Kurven in der Ebene bleibt erhalten. Funktionen, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen und deren Ableitung in keinem Punkt verschwindet, sind also konform.

=== Darstellung durch den Cauchy-Riemann-Operator ===
{{Hauptartikel|Wirtinger-Kalkül}}

In diesem Abschnitt wird eine kompaktere Schreibweise der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aufgezeigt. Dabei wird ersichtlich, dass in <math>z</math> holomorphe Funktionen unabhängig vom komplex konjugierten <math>\bar{z}</math> sein müssen.

Eine komplexe Zahl <math>z</math> und ihre komplex konjugierte <math>\bar z</math> hängen mit Realteil <math>x</math> und Imaginärteil <math>y</math> mittels der Gleichungen
:<math>\begin{align}
z & =x+\mathrm{i}y\ , \ & \bar{z} & =x-\mathrm{i}y\\
x & =\frac{z+\bar{z}}{2}\ , \ & y & =\frac{z-\bar{z}}{2\mathrm{i}}
\end{align}</math>
zusammen.

Aufgrund dieses Zusammenhangs erscheint es sinnvoll die Differentialoperatoren
:<math>\begin{align}\partial:=\frac{\partial}{\partial z} & =\frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)\\
\bar{\partial}:=\frac{\partial}{\partial\bar{z}} & =\frac{\partial x}{\partial\bar{z}}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial\bar{z}}\frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)\end{align}</math>

zu definieren. Der Operator <math>\bar{\partial}</math> heißt [[Cauchy-Riemann-Operator]], und der [[Kalkül]] dieser Operatoren wird [[Wirtinger-Kalkül]] genannt. Mit der komplexen Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus dem vorigen Abschnitt erhält man die Gleichung

:<math>0=\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y}=2\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=2\bar{\partial}f \,.</math>

Hier konnte die partielle Ableitung nach der komplex konjugierten Variable identifiziert werden. Die Gleichung

:<math>\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0</math>   bzw.   <math>\bar{\partial}f = 0</math>

ist eine alternative Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und bedeutet, dass wenn <math>f</math> holomorph ist, es unabhängig von <math>\bar{z}</math> sein muss. Somit können analytische Funktionen als wirkliche Funktionen ''einer'' komplexen Variable anstatt einer komplexen Funktion von ''zwei'' reellen Variablen angesehen werden.

=== Beziehung zu den harmonischen Funktionen ===
Seien <math>u, v</math> und <math>f</math> Funktionen wie im [[#Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen|Abschnitt „Isomorphie zwischen der reellen Ebene und den komplexen Zahlen“]]. Dann sind <math>u</math> und <math>v</math> [[harmonische Funktion]]en, falls <math>f = u + \mathrm{i}v</math> holomorph ist. Dann sind nämlich <math>u</math> und <math>v</math> zweimal stetig differenzierbar (sie sind sogar [[Glatte Funktion|glatt]]) und erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Beispielsweise für <math>u</math> folgt dann mit dem [[Satz von Schwarz]]
:<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right) = - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>,
also <math>\Delta u = 0</math> mit dem [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math>. Eine analoge Rechnung gilt für <math>v</math> und ergibt <math>\Delta v = 0</math>.

Aus dem [[Distribution (Mathematik)#Harmonische Distributionen|Lemma von Weyl]] folgt, dass jede [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] <math>T\in \mathcal{D}'(\Omega)</math>, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen im [[Distributionelle Lösung|distributionellen Sinn löst]], [[Reguläre Distribution|regulär]] sein muss. Daher sind also auch distributionelle Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen holomorphe Funktionen.<ref>[[Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'' (= ''Heidelberger Taschenbücher'' 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1, S. 174.</ref>

== Physikalische Interpretation ==

Diese Interpretation verwendet nicht direkt komplexe Variablen. Es sei eine Funktion <math>f</math> gegeben mit <math>f=u-\mathrm{i}v</math>. Die skalaren Felder <math>u</math> und <math>v</math> sollen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen (beachte andere Vorzeichenkonvention):
:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}\ ,\quad\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}\;.</math>

Betrachte nun das Vektorfeld <math>\vec{f}</math> als reeller dreikomponentiger Vektor:
:<math>\vec{f} = \begin{bmatrix}u\\ v\\ 0\end{bmatrix}\;.</math>

Dann beschreibt die erste Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Quellen]]freiheit:
:<math>0 = \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} = \operatorname{div}\vec{f}</math>
und die zweite Gleichung beschreibt die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotations]]freiheit:
:<math>0 = \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} = \left[ \operatorname{rot}\vec{f} \right]_{3}\;.</math>

Somit ist <math>\vec f</math> quellenfrei und besitzt ein Potential. In der [[Strömungslehre]] beschreibt solch ein Feld eine zweidimensionale [[Potentialströmung]].

== Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in einer Veränderlichen ==
=== Definition ===
Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat die Darstellung
:<math> \bar{\partial} u = f,</math>
dabei ist <math>\bar{\partial}</math> der [[Cauchy-Riemann-Operator]], <math>f</math> ist eine gegebene Funktion und <math>u</math> ist die gesuchte Lösung. Dass <math>\bar{\partial} u = 0</math> den oben definierten homogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht, wird weiter oben im Artikel schon angesprochen. Die Theorie der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung ist für Lösungen in <math>\Complex</math> verschieden von Lösungen in <math>\Complex^n</math> mit <math>n > 1</math> und wird hier in zwei unterschiedlichen Abschnitten angerissen.

=== Fundamentallösung ===
Für Dimension <math>n=1</math> ist die [[Fundamentallösung]] des Cauchy-Riemann-Operators <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}}</math> durch <math>\textstyle \frac{1}{\pi z}</math> gegeben. Das heißt, die durch die Funktion <math>\textstyle u(z) = \frac{1}{\pi z}</math> erzeugte [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] löst die Gleichung <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} u(z) = \delta</math>, wobei <math>\delta</math> die [[Delta-Distribution]] ist. Sei <math>\textstyle \phi \in C_c^\infty(\Complex)</math> eine glatte [[Testfunktion]] mit kompaktem Träger, dann sieht man die Gültigkeit der Aussage aufgrund
:<math>\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{1}{z},\phi \right)_{\mathcal{D} \times \mathcal{D}'} &= - \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\Complex} \frac{1}{z} \,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\phi(z) \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\
&= - \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\Complex \backslash B_\epsilon}
\left( \frac{1}{z} \,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\phi(z) + \phi(z)\,\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\frac{1}{z}\right) \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\
&=- \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\Complex \backslash B_\epsilon} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\phi(z)}{z} \mathrm{d} \overline{z} \mathrm{d} z\\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \frac{2\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} \int_{\R^2 \backslash B_\epsilon} \left( i\frac{\partial}{\partial x}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x+\mathrm{i}y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x+\mathrm{i}y} \right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\partial B_\epsilon} \left( \frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x + \mathrm{i}y} \mathrm{d} x + \mathrm{i}\frac{\phi(x+\mathrm{i}y)}{x + \mathrm{i}y} \mathrm{d} y\right)\\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\mathrm{i}} \int_{\partial B_\epsilon} \frac{\phi(z)}{z} \mathrm{d} z\\
&= \pi \phi(0).
\end{align}</math>

=== Integraldarstellung ===
Für <math>f \in C^k(\Complex)</math> mit <math>k\geq 1</math> erhält man mit
:<math>u(\zeta) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_\Complex \frac{f(z)}{z - \zeta} \mathrm{d} z \mathrm{d} \bar{z}</math>
eine Lösung der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung <math>\bar{\partial} u = f</math> mit <math>u \in C^k(\Complex)</math>.

== Inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung in mehreren Veränderlichen ==
Im Folgenden sei <math>n \in \N</math> die Dimension des zugrundeliegenden Raum beziehungsweise die Anzahl der Komponenten einer Funktion.

=== Definition ===
Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung hat in mehreren Veränderlichen ebenfalls die Darstellung
:<math> \bar{\partial} u = f,</math>
dabei ist <math>\bar{\partial}</math> der [[Dolbeault-Operator|Dolbeault-Quer-Operator]], <math>f = (f_1, \ldots , f_n)</math> ist eine gegebene <math>(0,1)</math>-[[komplexe Differentialform]] mit kompaktem [[Träger (Mathematik)|Träger]] und <math>u</math> ist die gesuchte Lösung. Explizit bedeutet dies, dass das System
:<math>\frac{\partial u}{\partial \bar{z}_j} = f_j</math>
von partiellen Differentialgleichungen für <math>j = 1 , \ldots , n </math> gelöst werden muss. Der Differentialoperator <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar{z}_j}</math> ist der [[Cauchy-Riemann-Operator]].

=== Notwendige Bedingung ===
Für <math>n > 1</math> ist die Voraussetzung <math>\bar{\partial} f = 0</math> notwendig. Man sieht dies, wenn man auf beiden Seiten der Gleichung den Dolbeault-Quer-Operator anwendet. So erhält man nämlich <math>\bar{\partial} \bar{\partial} u = \bar{\partial} f</math>, da für den Dolbeault-Operator auf Differentialformen <math>\bar{\partial} \bar{\partial} = 0</math> gilt, muss <math>\bar{\partial} f = 0</math> gelten. Da <math>f</math> eine (0,1)-Form ist, bedeutet <math>\bar{\partial} f = 0</math> nicht, dass <math>f</math> eine [[holomorphe Differentialform]] ist, denn nur (p,0)-Formen, die diese Gleichung erfüllen, heißen holomorph.

=== Existenzaussage ===
Sei <math>f = (f_1, \ldots , f_n)</math> eine (0,1)-Form mit <math>\bar{\partial} f = 0</math> und <math>f_j \in C_c^k(\Complex^n)</math>. Dann existiert eine Funktion <math>u \in C_c^k(\Complex^n)</math>, so dass die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung <math>\bar{\partial} u = f</math> erfüllt ist.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie. ''1. Band'' |Auflage=3. neu bearbeitete und erweiterte |Verlag=Springer |Ort=Berlin u. a. |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4 |Kommentar=''Springer-Lehrbuch'' |Sprache=de}}
* [[Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' 2. revised edition. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X (''North-Holland mathematical Library'', 7).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Bernhard Riemann als Namensgeber]]

Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen - Versionsgeschichte

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