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2025-01-03T15:55:03Z

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Die '''Cauchy-Gleichung''', auch '''Cauchy-Modell''' genannt, ist eine mathematische Beschreibung der [[Dispersion (Physik)|Dispersion elektromagnetischer Wellen]] in Festkörpern über einen großen Spektralbereich. Sie kommt meist im Bereich des sichtbaren Lichts zur Anwendung. Der empirisch ermittelte Zusammenhang wurde 1830 von [[Augustin-Louis Cauchy]] veröffentlicht.<ref>{{Literatur|Autor=Augustin-Louis Cauchy|Titel=Sur la réfraction et la réflexion de la lumière|Sammelwerk=Bulletin de Férussac|Nummer=14|Jahr=1830|Seiten=6–10|Online=[http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-90194&Deb=159&Fin=165&E=PDF PDF auf Galica]}}</ref>

== Beschreibung ==

Die Cauchy-Gleichung ist eine parametrische Beschreibung des [[Brechungsindex]] <math>n</math> eines Materials in Abhängigkeit von der [[Wellenlänge]] in der Form:
:<math>n(\lambda) \;=\; B_0 + \sum_{j=1}^i \frac{B_j}{\lambda^{2 j}} </math>

{| class="wikitable float-right"
|+ Cauchy-Parameter im sichtbaren Spektralbereich für ausgewählte Materialien
|-class="hintergrundfarbe6"
!Material !! A !! B in μm<sup>2</sup>
|-
|[[Quarzglas]] || 1,4580 || 0,00354
|-
|Borsilikatglas (BK7) || 1,5046 || 0,00420
|-
|Kronglas (K5) || 1,5220 || 0,00459
|-
|Barium-Kronglas (BaK4) || 1,5690 || 0,00531
|-
|Barium-Flintglas (BaF10) || 1,6700 || 0,00743
|-
|dichtes Flintglas (SF10) || 1,7280 || 0,01342
|}

Für die meisten Materialien reichen aber bereits die ersten zwei Glieder der Reihe aus, um die gemessene Dispersion in einem eingegrenzten Spektralbereich ausreichend gut zu beschreiben. Aus diesem Grund werden häufig nur die Parameter A, B, C für die Beschreibung angegeben, dies gilt auch für viele optische Simulations- und Analyseprogramme, wie sie beispielsweise in der [[Ellipsometrie]] verwendet werden. Es gilt:
:<math> n(\lambda) = A + \frac {B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}</math>

Die Beschreibung gilt allerdings nur für [[Isotropie|isotrope]], nahezu ideal transparente Materialien. Das heißt, der [[Extinktionskoeffizient]] <math>k</math> im komplexen Brechungsindex <math>n-\mathrm i k</math> ist sehr klein. Um auch den Übergangsbereich zu einem Spektralbereich mit Absorption hinreichend gut zu beschreiben, kann die Cauchy-Gleichung um einen wellenlängenabhängigen Term für den Extinktionskoeffizienten erweitert werden:
: <math>k(\lambda) \;=\; \alpha \, \mathrm e^{ 12400 \beta \left( \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\gamma} \right)}</math>

wobei <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> entsprechenden Anpassungsparameter darstellen.
Für die Simulation von [[Doppelbrechung|doppelbrechenden]], also optisch anisotropen Materialien, bieten einige Analyse-Programme auch zusätzliche Modell-Erweiterungen an.

== Gültigkeit ==

Wie bereits beschrieben, gilt die Cauchy-Gleichung nur in einem eingegrenzten Spektralbereich. Das beschriebene Material darf in diesem Bereich keine Absorptionsbanden, beispielsweise durch [[Bandlücke|Bandübergänge]] hervorgerufen, aufweisen. Daher können nur transparente Materialien hinreichend gut beschrieben werden. Physikalische Effekte wie anomale Dispersion, wie sie im Bereich von Absorptionszentren auftreten und auch das Absorptionsverhalten selbst können nicht beschrieben werden, daher auch keine Metalle.

[[Image:Dispersion_-_Sellmeier_vs_Cauchy_modell_DE.svg|thumb|Der Brechungsindex von [[Borsilikatglas]] (BK7) aufgetragen gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.]]

[[Wolfgang von Sellmeier]] veröffentlichte 1871 ein erweitertes empirisches Modell, das nach ihm [[Sellmeier-Gleichung]] genannt wird. Es modelliert den Brechungsindex im Ultraviolett und im Infrarot besser. Allerdings ist auch diese Beschreibung auf Wellenlängen beschränkt, in denen das Material transparent ist. Eine verbesserte Beschreibung des Brechungsindizes für Metalle folgte Ende des 19. Jahrhunderts mit dem [[Drude-Modell]] für Metalle von [[Paul Drude]]. [[Hendrik Antoon Lorentz|Hendrik A. Lorentz]] gelang es mit dem Modell des [[Lorentz-Oszillator]] die Ansätze von Drude und Sellmeier zu vereinigen.

==Literatur==
*{{Literatur|Autor=D. Y. Smith, Mitio Inokuti, William Karstens|Titel=A generalized Cauchy dispersion formula and the refractivity of elemental semiconductors|Sammelwerk=Journal of Physics: Condensed Matter|Band=13|Nummer=17|Jahr=2001|Seiten=3883–3893|DOI=10.1088/0953-8984/13/17/309}}
*{{Literatur|Autor=A. L. Cauchy|Titel=Mémoire sur la dispersion de la lumière|Verlag=JG Calve|Jahr=1836|Online={{Google Buch|BuchID=nDIAAAAAQAAJ|Linktext=Volltext}}}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Optik]]

Cauchy-Gleichung - Versionsgeschichte

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