imported>Mathze: /* Definition */ Kursivsetzung für eingeführte Begriffe

2024-05-12T22:01:35Z

Definition: Kursivsetzung für eingeführte Begriffe

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[[Datei:Cauchy sequence illustration.svg|miniatur|Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.]]
[[Datei:Cauchy sequence illustration2.svg|miniatur|Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.]]
Eine '''Cauchy-Folge''' (bzw. '''Cauchyfolge'''), '''Cauchysche Folge''' oder '''Fundamentalfolge''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Folge (Mathematik)|Folge]], bei der der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein wird. Cauchy-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker [[Augustin-Louis Cauchy]] benannt und von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der [[Analysis]].

Eine Cauchy-Folge [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] konvergiert immer und hat eine reelle Zahl als [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] – der Grenzwert einer Cauchy-Folge [[Rationale Zahl|rationaler Zahlen]] kann auch [[irrationale Zahl|irrational]] sein. Die reellen Zahlen sind damit ein [[vollständiger Raum]], da sie ein [[metrischer Raum]] sind und ein solcher definitionsgemäß genau dann vollständig ist, wenn in ihm alle Cauchy-Folgen konvergieren.


{{TOC limit|limit=3}}

== Cauchy-Folgen von Zahlen ==
=== Definition ===

Eine Folge <math>(a_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> [[Reelle Zahl|reeller]] Zahlen heißt ''Cauchy-Folge'' oder ''Fundamentalfolge'', wenn es zu jedem <math>\varepsilon>0</math> einen Index <math>N</math> gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als <math>\varepsilon</math> voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als

:<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon </math>

schreiben, wobei <math>| \cdot |</math> den [[Betragsfunktion|Betrag]] einer Zahl darstellt.

==== Anmerkungen ====

* In der Definition kann <math>\ge N</math> auch durch <math>>N</math> und <math>< \varepsilon</math> auch durch <math>\le \varepsilon</math> ersetzt werden.

* Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl <math>\varepsilon</math> ein [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] der Länge <math>2\varepsilon</math> gibt, in dem [[fast alle]] Folgenglieder liegen.

* Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für [[Grenzwert (Folge)|konvergente]] Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet.

=== Beispiele ===

* Die Folge <math>a_i = \tfrac{1}{i}</math> ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen <math>\varepsilon>0</math> ein <math>N</math> so wählen, dass <math>N>\tfrac{1}{\varepsilon}</math> erfüllt ist. Sind nun <math>n\geq m>N</math> beliebig gewählt, dann gilt

::<math>| a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>.

* Die Folge <math>a_i = i</math> ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu <math>\varepsilon=\tfrac12</math> gewählt und <math>N</math> eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man <math>n=N+1</math> und <math>m=n+1</math> wählen und es gilt immer<ref>Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: <math>\exists \varepsilon>0 ~ \forall N\in\mathbb{N} ~ \exists m,n \ge N \colon \left|a_m-a_n \right|\geq\varepsilon</math>.</ref>

::<math>| a_m - a_n | = | m - n | = 1 \geq \varepsilon</math>.

=== Vollständigkeit ===
Es gibt Folgen rationaler Zahlen, deren Folgenglieder sich in der beschriebenen Weise häufen, ohne aber einen Grenzwert in der Menge der rationalen Zahlen zu haben. Ein Beispiel hierfür ist die Folge rationaler Zahlen mit der Bildungsvorschrift (siehe [[Heron-Verfahren]])

:<math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>.

Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die [[irrationale Zahlen|irrationale Zahl]] <math>\sqrt{2}</math> und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. Die Problematik, dass in der Menge der rationalen Zahlen <math>\mathbb Q</math> viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der [[Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Vervollständigung]] des Zahlenbereichs auf die Menge <math>\mathbb{R}</math> der reellen Zahlen.

== Cauchy-Folgen in metrischen Räumen ==
=== Definition ===
Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für [[metrischer Raum|metrische Räume]] <math>(X,d)</math>, also beliebige [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math>, auf denen eine [[Metrischer Raum|Metrik]] <math>d</math> gegeben ist. Eine Folge <math>(x_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> von Elementen in <math>X</math> heißt dann Cauchy-Folge, wenn

:<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, x_n) < \varepsilon</math>

gilt.<ref name="werner2">{{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Jahr=2005|Seiten=2}}</ref> Damit gibt es zu jedem reellen <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>N</math>, so dass für alle natürlichen Zahlen <math>m,n \geq N</math> der Abstand der entsprechenden Folgenglieder <math>d(x_m, x_n) < \varepsilon</math> ist.

Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes <math>\varepsilon > 0</math> gibt es einen Punkt <math>a</math> und einen Index <math>N</math>, so dass alle Folgenglieder ab <math>x_N</math> in der [[Offene Kugel#Offene Kugel|offenen Kugel]] <math>B_\varepsilon(a)</math> um den Punkt <math>a</math> mit Radius <math>\varepsilon</math> liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt <math>a</math> vom Radius <math>\varepsilon</math> abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert <math>a</math> von <math>\varepsilon</math> unabhängig sein muss.

=== Vollständigkeit ===

Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge <math>(x_i)_{i \in \N}</math> gegen einen Grenzwert <math>x \in X</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> einen Index <math>N \in \N</math>, sodass <math>d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2</math> für alle <math>n \geq N</math> gilt. Mit der [[Dreiecksungleichung]] für metrische Räume folgt dann für alle <math>m,n \geq N</math>

:<math>d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x) + d(x,x_n) < \tfrac{\varepsilon}2 + \tfrac{\varepsilon}2 = \varepsilon</math>

und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von [[Vollständiger Raum|vollständigen Räumen]] führte. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von [[Äquivalenzklasse]]n von Cauchy-Folgen [[Vervollständigung (metrischer Raum)|vervollständigt]] werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen <math>(x_i)_{i\in \N}</math> und <math>(y_i)_{i\in \N}</math> von Elementen in <math>X</math> als äquivalent angesehen, wenn
:<math>\forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\N \quad \forall m,n \geq N \colon \quad d(x_m, y_n) < \varepsilon</math>
oder, was dasselbe ist,
:<math>\lim_{m,n\in\N} d(x_m,y_n) = 0</math>.
Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in <math>X</math>, dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich.

== Siehe auch ==
* [[Cauchy-Kriterium]]
* [[Cauchy-Netz]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium}}

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Cauchy-Folge - Versionsgeschichte

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