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2019-05-26T21:32:12Z

Anwendungen

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Der '''Casimir-[[Operator (Mathematik)|Operator]]''' (auch '''Casimir-[[Invariante (Mathematik)|Invariante]]''', benannt nach dem Physiker [[Hendrik Casimir]]) wird im mathematischen Teilgebiet der [[Algebra]] und der [[Differentialgeometrie]] untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der [[universelle einhüllende Algebra|universellen einhüllenden Algebra]] einer [[Lie-Algebra]]. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte [[Drehimpulsoperator]], der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen [[Drehgruppe]] ist.

== Definition ==
Angenommen, <math>\mathfrak{g}</math> ist eine <math>n</math>-dimensionale [[halbeinfache Lie-Algebra]]. Sei
:<math>\{X_i\}_{i=1}^n</math>
irgendeine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\mathfrak{g}</math> und
:<math>\{X^i\}_{i=1}^n</math>
sei die [[Dualbasis]] von <math>\mathfrak{g}</math> hinsichtlich einer festen invarianten [[Bilinearform]] (z. B. der [[Killingform]]) auf <math>\mathfrak{g}</math>. Das '''quadratische Casimir-Element''' <math>\Omega</math> ist das durch die Formel
:<math>\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i</math>
gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra <math>U(\mathfrak{g})</math>. Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element <math>\Omega</math> davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra <math>U(\mathfrak{g})</math> liegt.

Sei <math>\rho</math> eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum <math>V</math>. Dann ist die korrespondierende ''quadratische Casimir-Invariante'' <math>\rho(\Omega)</math> der durch
:<math>\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i)</math>
gegebene [[Linearer Operator|lineare Operator]] auf <math>V</math>.

== Anwendungen ==
Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der [[globale Analysis|globalen Analysis]]. Operiert eine [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] [[Lie-Gruppe]] <math>G</math> mit zugehöriger Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> auf einer [[differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]] <math>M</math>, so werden die Elemente von <math>\mathfrak{g}</math> durch [[geometrischer Differentialoperator|Differentialoperatoren]] erster Ordnung auf <math>M</math> beschrieben. Sei <math>\rho</math> die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf <math>M</math>. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der <math>G</math>-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf <math>M</math>.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von [[Pseudo-Differentialoperator]]en in der [[Erik Ivar Fredholm|Fredholm]]-Theorie.

== Literatur ==
* James E. Humphreys: ''Introduction to Lie Algebras and Representation Theory'', 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]

Casimir-Operator - Versionsgeschichte

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