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2024-08-18T13:05:08Z

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Die '''Callan-Symanzik-Gleichung''', auch '''Gell-Mann-Low-Gleichung''', '''’t Hooft-Weinberg-Gleichung''' oder '''Georgi-Politzer-Gleichung''',<ref name="Schwartz" /> nach [[Curtis Callan]], [[Kurt Symanzik]], [[Murray Gell-Mann]], [[Francis Low]], [[Gerardus ’t Hooft]], [[Steven Weinberg]], [[Howard Georgi]] und [[David Politzer]], ist eine Gleichung in der [[Quantenfeldtheorie]]. Sie beschreibt, wie sich die [[Renormierung|renormierten]] [[Greensche Funktion|Greenschen Funktionen]] der Theorie in Abhängigkeit von der Energieskala verhalten. Es handelt sich daher um eine [[Renormierungsgruppe]]n-Gleichung.

Die Greensche Funktion ist dabei der [[Vakuumerwartungswert]] des [[Zeitordnung|zeitgeordneten]] Produkts aller in der Theorie vorkommenden Felder (Teilchen). Angenommen, es existieren zwei Arten von Teilchen, das [[Elektron]] <math>\psi</math> und das [[Photon]] <math>A</math>, dann lautet die Greensche Funktion <math>G_{k,l}</math> für ein System aus <math>k</math> Photonen und <math>l</math> Elektronen:<ref name="Schwartz" />
:<math>G_{k,l} = \left\langle \Omega \left|T\left(A_{\mu_1} \dots A_{\mu_k} \psi_1 \dots \psi_l\right)\right| \Omega \right\rangle</math>
mit dem [[Zeitordnungsoperator]] <math>T</math> und dem [[Quantenvakuum|Vakuumzustand]] <math>|\Omega \rangle</math>. Im Allgemeinen ist die renormierte Greensche Funktion abhängig von allen [[Impuls]]en <math>p</math> der Teilchen, der renormierten [[Kopplungskonstante]]n <math>e_R</math> und ihrer renormierten [[Masse (Physik)|Massen]] <math>m_R</math> sowie eines Renormierungsparameters <math>\mu</math>. Die Callan-Symanzik-Gleichung lautet:<ref name="Schwartz" />
:<math>\left(\mu \frac{\partial}{\partial \mu} + \frac k2 \gamma_3 + \frac l2 \gamma_2 + \beta \frac{\partial}{\partial e_R} + \gamma_m m_R \frac{\partial}{\partial m_R}\right) G_{k,l} = 0</math>
In dieser Gleichung wurden die Abkürzungen
*<math>\gamma_3 = \frac{\mu}{Z_3}\frac{\mathrm dZ_3}{\mathrm d\mu}</math> mit dem Renormierungsfaktor für das Photon <math>Z_3</math>
*<math>\gamma_2 = \frac{\mu}{Z_2}\frac{\mathrm dZ_2}{\mathrm d\mu}</math> mit dem Renormierungsfaktor für das Elektron <math>Z_2</math>
*<math>\gamma_m = \frac{\mu}{m_R}\frac{\partial m_R}{\partial \mu}</math>
*<math>\beta = \mu \frac{\partial e_R}{\partial \mu}</math>
verwendet. Die Funktion <math>\beta</math> heißt auch [[Betafunktion (Physik)|Symanzik’sche Betafunktion]] und gibt das [[Laufende Kopplung|Laufen der Kopplungskonstanten]] mit der betrachteten Skala <math>\mu</math> wieder.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Schwartz">
{{Literatur
|Autor=Matthew D. Schwartz
|Titel=Quantum Field Theory and the Standard Model
|Verlag=Cambridge University Press
|Ort=Cambridge
|Datum=2014
|ISBN=978-1-107-03473-0
|Seiten=433–434
|Sprache=en}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Callan-Symanzik-Gleichung - Versionsgeschichte

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