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2026-04-12T07:30:11Z

math-Umgebung

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In der [[Mathematik]] ist die '''Calkin-Algebra''' (nach [[John Williams Calkin]]) eine spezielle [[Banachalgebra]], die einem [[Banachraum]] (ein [[Vektorraum]]) zugeordnet ist.
In der Calkin-Algebra kann man Eigenschaften [[Beschränkter Operator|stetiger]] [[linearer Operator]]en vereinfacht betrachten, indem Operatoren, deren Differenz [[kompakter Operator|kompakt]] ist, identifiziert werden. So kommt man zu Klassifikationssätzen für normale Operatoren modulo kompakter Operatoren.

== Definition ==
Sei <math>E</math> ein Banachraum. Dann ist die Banachalgebra <math>K(E)</math> der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] auf <math>E</math> ein zweiseitiges, abgeschlossenes [[Ideal (Mathematik)|Ideal]] in der Algebra <math>B(E)</math> aller [[Beschränkter Operator|beschränkten]] [[linearer Operator|linearen Operatoren]] auf <math>E</math>.
Dann ist die Quotienten-Algebra <math>B(E)/K(E)</math> mit der [[Quotientennorm]] wieder eine Banachalgebra, die Calkin-Algebra von <math>E</math>. <math>\pi \colon B(E) \rightarrow B(E)/K(E)</math> sei die [[Quotientenabbildung]].<ref>J. W. Calkin: ''Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space.'' In: ''[[Annals of Mathematics]].'' 42, 839–873 (1941)</ref>

== Fredholm-Operatoren ==
[[Fredholm-Operator]]en lassen sich mittels der Calkin-Algebra charakterisieren. Der ''Satz von [[Frederick Valentine Atkinson|F. V. Atkinson]]'' besagt, dass für einen beschränkten linearen Operator <math>T\in B(E)</math> folgende Aussagen äquivalent sind:<ref>F. V. Atkinson: ''The normal solvability of linear equations in normed spaces.'' In: ''Mat. Sb.'' 28 (70), 3–14 (1951)</ref>
* <math>T</math> ist ein Fredholm-Operator.
* Es gibt einen Operator <math>S\in B(E)</math>, so dass <math>\mathrm{id}_E-ST</math> und <math>\mathrm{id}_E-TS</math> kompakt sind.
* <math>\pi_E(T)</math> ist invertierbar in <math>B(E)/K(E)</math>.

Eine wichtige Folgerung ist, dass die Menge der Fredholm-Operatoren eine [[offene Menge]] in <math>B(E)</math> ist, denn sie ist nach diesem Satz das Urbild der offenen Menge der invertierbaren Elemente in <math>B(E)/K(E)</math> unter der stetigen Abbildung <math>\pi</math>.

== C*-Algebra ==

Ist <math>H</math> ein [[Hilbertraum]], so ist <math>B(H)/K(H)</math> als Quotient einer [[C*-Algebra|C<sup>*</sup>-Algebra]] wieder eine C<sup>*</sup>-Algebra.
Für den Rest dieses Abschnitts sei <math>H</math> [[Separabler Raum|separabel]] und unendlich-dimensional.
Dann ist die Calkin-Algebra <math>B(H)/K(H)</math> ''einfach'', d. h., sie besitzt keine zweiseitigen, abgeschlossenen Ideale außer <math>\{0\}</math> und <math>B(H)/K(H)</math> selbst, denn <math>K(H)\subset B(H)</math> ist ein maximales zweiseitiges Ideal.
Weiter besitzt die Calkin-Algebra <math>2^{\aleph_0}</math> (siehe [[Kontinuum (Mathematik)]]) paarweise [[Orthogonalprojektion|orthogonale Projektionen]]. Die Calkin-Algebra besitzt keine von 0 verschiedenen separablen [[Hilbertraum-Darstellung|Darstellungen]], d. h., ist <math>\varphi: B(H)/K(H)\rightarrow B(\tilde{H})</math> ein *-[[Homomorphismus]], so ist der Hilbertraum <math>\tilde{H}</math> entweder der [[Nullvektorraum]] oder nicht-separabel.

== Anwendungen ==
Bezüglich der Klassifikation [[normaler Operator]]en ergeben sich erhebliche Vereinfachungen, wenn man Begriffe modulo kompakter Operatoren verwendet, solche Begriffe haben in der Regel den Zusatz ''wesentlich''. Im Folgenden sei <math>H</math> wieder ein separabler Hilbertraum.

Das [[wesentliches Spektrum|wesentliche Spektrum]] <math>\sigma_e(T)</math> eines Operators <math>T\in B(H)</math> ist definiert als das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] ohne die [[isolierter Punkt|isolierten Punkte]] endlicher Vielfachheit (''Vielfachheit'' bedeutet [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des zugehörigen [[Eigenraum]]s). Das wesentliche Spektrum eines normalen Operators T ist genau das bzgl. der Calkin-Algebra berechnete gewöhnliche Spektrum von <math>\pi(T)</math>.

Man nennt zwei Operatoren <math>T_1</math> und <math>T_2</math> ''unitär äquivalent modulo K(H)'', falls es einen [[unitärer Operator|unitären Operator]] <math>U\in B(H)</math> gibt, so dass <math>U^* T_1 U - T_2</math> kompakt ist. Das bedeutet, dass <math>\pi(T_1)</math> und <math>\pi(T_2)</math> in der Calkin-Algebra unitär äquivalent sind, wobei die unitäre Transformation so gewählt werden kann, dass sie ein unitäres Urbild in <math>B(H)</math> hat.

Es gilt nun der folgende Satz von [[Hermann Weyl]], [[John von Neumann]] und [[I. D. Berg]]: Für zwei normale Operatoren <math>T_1,T_2 \in B(H)</math> sind äquivalent:<ref>I. D. Berg: ''An Extension of the Weyl-von Neumann theorem to normal operators.'' In: ''Trans. [[American Mathematical Society]].'' 160, 365–371 (1971)</ref>
* <math>T_1</math> und <math>T_2</math> sind unitär äquivalent modulo K(H).
* <math>\sigma_e(T_1) = \sigma_e(T_2)</math>.
Zusatz: Ist <math>\emptyset \not= X \subset {\mathbb C}</math> [[kompakter Raum|kompakt]], so gibt es einen normalen Operator <math>T \in B(H)</math> mit <math>\sigma_e(T) = X</math>.

Der nächste Schritt besteht darin, den Begriff der Normalität nur noch modulo kompakter Operatoren zu betrachten. Man nennt einen Operator <math>T \in B(H)</math> ''wesentlich normal'', wenn sein Bild <math>\pi(T)</math> in der Calkin-Algebra normal ist. Auch für diese Operatoren gelingt eine Klassifikation modulo K(H), wie der folgende Satz von [[Lawrence G. Brown|L. G. Brown]], [[Ronald G. Douglas|R. G. Douglas]] und [[Peter Fillmore|P. A. Fillmore]] zeigt ([[BDF-Theorie]]). Für zwei wesentlich normale Operatoren <math>T_1,T_2 \in B(H)</math> sind äquivalent:<ref>R. G. Douglas: ''C*-Algebra Extensions and K-Homology.'' [[Princeton University Press]] 1980</ref>
* <math>T_1</math> und <math>T_2</math> sind unitär äquivalent modulo K(H).
* <math>\sigma_e(T_1) = \sigma_e(T_2) =: X</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb C}\setminus X</math> gilt <math>\mathrm{index}(T_1-\lambda 1_H) = \mathrm{index}(T_2-\lambda 1_H)</math>.

Dabei steht ''index'' für den [[Fredholm-Index]], man beachte, dass dieser für die im Satz angegebenen Operatoren nach obigem Satz von Atkinson definiert ist.

== Automorphismen auf der Calkin-Algebra ==
Im Rahmen der oben erwähnten BDF-Theorie stellten die Autoren 1977 die Frage, ob alle *-Automorphismen auf der Calkin-Algebra ''innere'' sind, das heißt, ob es zu jedem solchen Automorphismus <math>\varphi</math> einen unitären Operator <math>u\in B(H)/K(H)</math> gibt mit <math>\varphi(a) = uau^*</math> für alle <math>a\in B(H)/K(H)</math>. *-Automorphismen, die nicht von dieser Form sind, nennt man ''äußere *-Automorphismen''. Die Frage lautet also, ob es auf der Calkin-Algebra äußere *-Automorphismen gibt.<ref>L. G. Brown, R. G. Douglas, P. A. Fillmore: ''Extensions of C*-algebras and K-Homology'', Annals of Mathematics (1977), Band 105, Seiten 265–324, Seite 270 vor Def. 1.7</ref>

Für <math>B(H)</math> ist bekannt, dass jeder *-Automorphismus ein innerer ist. Der Beweis benutzt, dass ein *-Automorphismus Operatoren mit eindimensionalem Bild wieder auf solche abbilden muss und konstruiert daraus einen unitären Operator, macht also wesentlich von kompakten Operatoren Gebrauch. Aber genau diese hat man in der Calkin-Algebra ja nicht mehr zur Verfügung, so dass sich der Beweis nicht übertragen lässt. Das Problem der Existenz äußerer *-Automorphismen war lange offengeblieben, bis es in den Jahren 2007 und 2011 eine überraschende Lösung gefunden hat. Dieses Problem hat sich als unabhängig erwiesen, das heißt, die Axiome der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] mit [[Auswahlaxiom]], kurz ZFC, lassen keine Entscheidung dieser Frage zu.

Zunächst haben [[N. Christopher Phillips|N. C. Phillips]] und [[Nik Weaver|N. Weaver]] gezeigt, dass unter der zusätzlichen Annahme der [[Kontinuumshypothese]] die Existenz äußerer [[Automorphismus|Automorphismen]] folgt. Da die Kontinuumshypothese zu ZFC konsistent ist, wie [[Kurt Gödel|K. Gödel]] mit dem [[Konstruierbarkeitsaxiom|Modell der konstruktiblen Mengen]] bereits 1938 nachgewiesen hatte, ist also auch die Existenz äußerer *-Automorphismen zu ZFC konsistent.<ref>N. C. Phillips, N. Weaver: ''The Calkin algebra has outer automorphisms'', Duke Mathematical Journal (2007), Band 139, Seiten 185–202</ref>

Damit ist ein Beweis, dass alle *-Automorphismen innere sind, nicht mehr möglich, es war aber nicht ausgeschlossen, dass es einen Beweis der Existenz äußerer *-Automorphismen auf Basis der ZFC-Axiome, der die Kontinuumshypothese nicht benutzt, geben könnte. Dass auch das nicht der Fall ist, hat [[Ilijas Farah|I. Farah]] im Jahre 2011 gezeigt. Nimmt man zu ZFC das [[Open-Coloring-Axiom]] hinzu, so sind alle *-Automorphismen auf der Calkin-Algebra innere.<ref>I. Farah: ''All automorphisms of the Calkin algebra are inner'', Annals of Mathematics (2011), Band 173 Seiten 619–661</ref> Da das Open-Coloring-Axiom ebenfalls zu ZFC konsistent ist, wie [[S. Todorcevic]] 1989 gezeigt hatte, kann man in ZFC die Existenz äußerer *-Automorphismen auf der Calkin-Algebra auch nicht widerlegen, das heißt, die Existenz äußerer *-Automorphismen auf der Calkin-Algebra ist insgesamt unabhängig von ZFC.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Calkin-Algebra - Versionsgeschichte

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