imported>Datenliterat: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */

2024-12-12T07:15:25Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0

Neue Seite

In der [[Qualitätskontrolle#Statische Qualitätssicherung|statistischen Prozess- und Qualitätskontrolle]] ist die '''kumulative Summe''' oder '''CUSUM''' (von {{enS|cumulative sum}}) eine sequentielle Analysemethode zur Entdeckung von Änderungen in einer sequentiellen Datenreihe oder [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] (z. B. Kurswechsel bzw. [[Wendepunkt]]e).<ref>{{Literatur |Autor=E. S. Page |Titel=Continuous Inspection Schemes |Sammelwerk=Biometrika |Band=41 |Nummer=1/2 |Datum=1954-06 |ISSN=0006-3444 |Seiten=100–115 |Sprache=en |JSTOR=2333009}}</ref> E. S. Page definierte 1954 eine Qualitätszahl <math>\theta</math>, einen Parameter einer [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsverteilung]]; z. B. den [[Erwartungswert]]. Er entwickelte CUSUM als Methode, um generelle Änderungen des Parameters aus zufälligem Rauschen herauszufiltern, und schlug ein Grenzkriterium vor, ab dem in den Prozess eingegriffen werden sollte. Einige Jahre später stellte [[George Alfred Barnard]] das V-Mask Diagramm vor zur visuellen Entdeckung von Änderungen von <math>\theta</math>.<ref>{{Literatur |Autor=G. A. Barnard |Titel=Control Charts and Stochastic Processes |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) |Band=21 |Nummer=2 |Datum=1959 |ISSN=0035-9246 |Seiten=239–271 |Sprache=en |JSTOR=2983801}}</ref>

== Vorgehensweise ==

CUSUM betrachtet die kumulative Summen von Datenwerten <math>x_n</math> und vorgegebenen Werten <math>\omega_n</math>:

:<math>S_0=0</math>
:<math>S_n=\max(0, S_{n-1}+x_n-\omega_n)</math>

Es ist wichtig anzumerken, dass CUSUM nicht die bloße kumulative Summe der Datenwerte ist, sondern die kumulative Summe der Differenzen zwischen den Datenwerten <math>x_n</math> und <math>\omega_n</math>. Überschreitet der Wert von <math>S_{n+1}</math> einen vorgegebenen Grenzwert, dann hat man eine Änderung gefunden. CUSUM erkennt also nicht nur scharfe Datenwertänderungen, sondern auch schrittweise und kontinuierliche über den Betrachtungszeitraum. Meist handelt es sich bei <math>\omega</math> um eine [[Likelihood-Funktion]], obwohl dies in Pages Artikel nicht so spezifiziert wird.

== Beispiele ==

=== Beispiel 1 ===

In dem Beispiel wird vorgegeben <math>\omega_n=5</math> und betrachtet werden sowohl positive als auch negative kumulierte Abweichungen:

:<math>S_0=S_0^+=S_0^-=0</math>
:<math>S_{n}^+=\max(0, S_{n-1}^++x_n-\omega_n)</math>
:<math>S_{n}^-=-\min(0, -(S_{n-1}^--x_n+\omega_n))</math>
:<math>S_{n}= S_{n-1}-\omega_n+x_n</math>

[[Datei:cumsum.png|mini|Grafische Darstellung der CUSUM Berechnung.]]
{| class="wikitable"
|-
! n
! Datenwert <math>x_n</math>
! <math>x_n-\omega_n</math>
! <math>S_n^+</math>
! <math>S_n^-</math>
! CUSUM <math>S_n</math>
|-
| 0
|
|
| 0
| 0
| 0
|-
| 1
| 2
| −3
| 0
| 3
| −3
|-
| 2
| 4
| −1
| 0
| 4
| −4
|-
| 3
| 7
| +2
| 2
| 2
| −2
|-
| 4
| 3
| −2
| 0
| 4
| −4
|-
| 5
| 9
| +4
| 4
| 0
| 0
|}

<math>S_n</math> kann auch aufgefasst werden:

# Alle Datenpunkte werden mittelwertbereinigt (<math>x_n-\omega_n</math>) und
# zu jedem dadurch neu entstandenen Wert werden alle vorhergehenden mittelwertbereinigten Differenzen addiert.

Der Mittelwert ist dabei die Likelihoodschätzung für den Erwartungswert normalverteilter Datenwerte.

=== Beispiel 2 ===

Die folgenden Grafiken zeigen den Verlauf von <math>S_n\,</math>, <math>S_n^+</math> und <math>S_n^-</math> in verschiedenen Situationen:

* '''links:''' der Mittelwert des Prozesses ändert sich nicht
* '''Mitte:''' der Mittelwert des Prozesses wird langsam größer (im Verhältnis zur Streuung)
* '''rechts''': der Mittelwert springt abrupt nach oben nach 60 Zeiteinheiten

In den Daten (oben) sind diese Änderungen kaum zu erkennen, jedoch im Verlauf der <math>S_n\,</math>, <math>S_n^+</math> und <math>S_n^-</math> Kurven (unten).

[[Datei:CusumExample.svg|zentriert|640px]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Michèle Basseville, Igor V. Nikiforov
|Titel=Detection of Abrupt Changes: Theory and Application
|Verlag=Prentice-Hall
|Ort=Englewood Cliffs, N.J.
|Datum=1993
|ISBN=0-13-126780-9
|Sprache=en
|Online=http://www.irisa.fr/sisthem/kniga/}}
* {{Literatur
|Autor=[[Douglas M. Hawkins]], [[David H. Olwell]]
|Titel=Cumulative sum charts and charting for quality improvement
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Datum=1998
|ISBN=0-387-98365-1
|Sprache=en}}

== Weblinks ==

* http://www.medialabinc.net/keyword-details.asp?keyword=CUSUM&courseid=1026

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Six Sigma]]
[[Kategorie:Abkürzung]]

CUSUM - Versionsgeschichte

imported>Datenliterat: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */