imported>MrBenjo: +Normdaten

2024-03-22T19:27:10Z

+Normdaten

Neue Seite

Als '''CES-Funktion''' (kurz für englisch ''constant elasticity of substitution'' – „konstante Substitutionselastizität“) bezeichnet man in der [[Volkswirtschaftslehre]] eine Klasse von Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches dieselbe [[Substitutionselastizität]] aufweisen. Diese Eigenschaft ist in einer Vielzahl von ökonomischen Anwendungen – sei es im [[Mikroökonomik|mikro-]] oder im [[Makroökonomik|makroökonomischen]] Bereich – vorteilhaft. Für bestimmte Parameterkonstellationen gehen aus der allgemeinen CES-Funktion überdies spezielle Funktionsklassen hervor, die ebenfalls weitläufig Gebrauch finden.

In der wissenschaftlichen Praxis finden CES-Funktionen unter anderem als [[Nachfragefunktion]]en '''(CES-Nachfragefunktion),''' [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]]en '''(CES-Nutzenfunktion)''' und [[Produktionsfunktion]] '''(CES-Produktionsfunktion)''' Verwendung.

== Definition ==
{{Kasten|1=
Als '''CES-Funktion''' bezeichnet man allgemein eine Funktion
:<math>z=\beta\cdot \left[\alpha_{1}x_1^{-\rho}+\alpha_{2}x_2^{-\rho}+\dotsb+\alpha_{n}x_n^{-\rho}\right]^{-\gamma /\rho}</math>
mit <math>\beta,\gamma>0</math>; <math>x_i>0</math> und <math>\alpha_i>0</math> für alle <math>i=1,\dotsc,n</math> sowie <math>\rho\neq0</math>.<ref>Die hiesige Definition folgt Sydsæter u. a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit <math>\beta = 1</math> (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch <math>\gamma =1</math> (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit <math>\alpha_i =1</math> betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch <math>\rho</math> statt <math>-\rho</math> verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.</ref>}}Dabei ist (aus noch zu erläuternden Gründen) <math>\gamma</math> der Homogenitätsgrad. Fast immer setzt man <math>\beta = 1</math> und in der Regel auch <math>\gamma =1</math>.

;Unterschiedliche Verwendungszwecke
Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit <math>y</math> (statt <math>z</math>), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die <math>x_i</math> stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors <math>i</math>, wobei es eben <math>n</math> Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-CES-Produktionsfunktion <math>y=\left[\alpha_{1}K^{-\rho}+\alpha_{2}L^{-\rho}\right]^{-1/\rho}</math> (bisweilen auch mit der Vorgabe <math>\alpha_1+\alpha_2=1</math><ref>Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.</ref>), wobei <math>K</math> für den Kapital- und <math>L</math> für den Arbeitseinsatz steht; in einer von [[Robert Solow]] im Feld der Wachstumstheorie eingeführten Version ist <math>y=(\alpha K^\rho+L^\rho)^{1/\rho}</math><ref>Robert M. Solow: ''A Contribution to the Theory of Economic Growth.'' In: ''The Quarterly Journal of Economics.'' 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 ([http://faculty.lebow.drexel.edu/LainczC/cal38/Growth/Solow_1956.pdf] (PDF; 2,2 MB); {{JSTOR|1884513}}).</ref>.

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel <math>u</math>) bezeichnet <math>x_i</math> die Menge des konsumierten Gutes <math>i</math>.

== Eigenschaften ==
Es lässt sich zeigen, dass die CES-Funktion im definierten Sinne [[Homogene Funktion|homogen]] vom Grade <math>\gamma</math> ist.<ref>Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u. a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.</ref> Weiterhin ist sie für <math>\rho\leq -1</math> [[Quasikonvexe Funktion|quasikonvex]]<ref>Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall <math>\rho <-1</math> würde die CES-Technologie dann nämlich konkave [[Isoquante]]n implizieren, was wenig plausibel erscheint.</ref>, für <math>\rho\geq -1</math> [[quasikonkav]]. Für <math>0<\gamma\leq 1</math> und zugleich <math>\rho\geq -1</math> ist sie überdies [[Konvexe und konkave Funktionen|konkav]] und für <math>0<\gamma <1</math>, <math>\rho >-1</math> sogar strikt konkav.

== Spezialfälle ==
Es kann gezeigt werden, dass die CES-Funktion für <math>\rho\rightarrow 0</math> in eine Funktion vom [[Cobb-Douglas-Funktion|Cobb-Douglas-Typ]] (mit Substitutionselastizität <math>\sigma = 1</math>) und für <math>\rho\rightarrow \infty</math> in eine [[Leontief-Produktionsfunktion|Leontief-Funktion]] (<math>\sigma = 0</math>) übergeht.<ref>Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall <math>n=2</math> und <math>\alpha_1+\alpha_2=1</math>.</ref>

Spezifische Parameterkonstellationen erlauben weitere Präzisierungen. So ist beispielsweise <math>z=\left[\alpha_{1}x_1^{-\rho}+\dotsb+\alpha_{n}x_n^{-\rho}\right]^{-1/\rho}</math> mit <math>\alpha_1+\dotsb+\alpha_n=1</math> vom CES-Typ mit Substitutionselastizität <math>\sigma=1/(1+\rho)</math>. Für <math>\rho\rightarrow0</math> konvergiert <math>\sigma\rightarrow1</math> und <math>z</math> reduziert sich zur linear-homogenen Cobb-Douglas-Funktion <math>z=x_1^{\alpha_1}\dotsm x_n^{\alpha_n}</math>. Für <math>\rho\rightarrow\infty</math> folgt wiederum <math>\sigma\rightarrow0</math> und es ergibt sich im Grenzwert die Leontief-Funktion <math>z=\min\{x_1,\dotsc,x_n\}</math>.<ref>Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.</ref>

== Literatur ==
* [[Kenneth Arrow]], H. B. Chenery, B. S. Minhas und [[Robert Solow]]: ''Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency.'' In: ''Review of Economics and Statistics.'' 43, Nr. 3, 1961, S. 225–250.
* Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: ''Advanced Microeconomic Theory.'' 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
* Carl P. Simon und Lawrence Blume: ''Mathematics for Economists.'' W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0.
* Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: ''Economists’ mathematical manual.'' 4. Aufl. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: {{DOI|10.1007/3-540-28518-0}}).
* Knut Sydsæter u. a.: ''Further mathematics for economic analysis.'' 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
* [[Hal Varian]]: ''Microeconomic Analysis.'' W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
* Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: ''Grundlagen der Mikroökonomik.'' Springer, Heidelberg u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8. [S. 127–131]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4147512-4}}

{{SORTIERUNG:Cesfunktion}}
[[Kategorie:Produktionstheorie]]

CES-Funktion - Versionsgeschichte

imported>MrBenjo: +Normdaten