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2025-05-22T23:20:34Z

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'''CAT(0)-Räume''' sind ein Begriff aus der Geometrie, mit dem Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung auf allgemeine metrische Räume verallgemeinert werden. Ihre definierende Eigenschaft ist, dass Dreiecke dünner sein sollen als Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene.

== Definition ==

=== Vergleichsdreiecke ===
[[Datei:Trianglecomparison.JPG|mini|<math>d(x,y)\le\parallel x^\prime-y^\prime\parallel</math>]]
Sei <math>(X,d)</math> ein [[geodätischer metrischer Raum]]. Ein geodätisches Dreieck <math>\Delta(a,b,c)</math> in <math>X</math> ist ein Dreieck mit Ecken <math>a,b,c\in X</math>, dessen drei Seiten Geodäten sind. Zu jedem geodätischen Dreieck <math>\Delta(a,b,c)</math> gibt es ein (bis auf [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz]] eindeutiges) ''Vergleichsdreieck'' <math>\Delta(a^\prime,b^\prime,c^\prime)</math> im <math>\mathbb R^2</math> mit
:<math>d(a,b)=\lVert a^\prime-b^\prime\rVert,\ d(a,c)=\lVert a^\prime-c^\prime\rVert,\ d(b,c)=\lVert b^\prime-c^\prime\rVert</math>.
Man hat dann eine ''Vergleichsabbildung''
:<math>f:\partial \Delta(a,b,c)\rightarrow\partial \Delta(a^\prime,b^\prime,c^\prime)</math>,
die (zum Beispiel) jedem Punkt <math>x</math> auf der Seite <math>(a,b)</math> den entsprechenden Punkt <math>x^\prime</math> auf der Seite <math>(a^\prime,b^\prime)</math> (d. h. den eindeutigen Punkt mit <math>\lVert x^\prime-a^\prime\rVert=d(x,a)</math>) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

=== CAT(0)-Räume ===

Ein geodätischer metrischer Raum <math>(X,d)</math> ist ein ''CAT(0)-Raum'', wenn zu jedem geodätischen Dreieck <math>\Delta(a,b,c)</math> in <math>X</math> mit Vergleichsabbildung <math>f:\partial \Delta(a,b,c)\rightarrow\partial \Delta(a^\prime,b^\prime,c^\prime)</math> die Ungleichung
:<math>d(x,y)\le\lVert f(x)-f(y)\rVert </math> für alle <math>x,y\in \partial \Delta(a,b,c)</math> gilt.
Anschaulich: Jedes geodätische Dreieck ist mindestens so dünn wie sein Vergleichsdreieck.

== Beispiele ==

* [[Einfach zusammenhängend]]e [[Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit|vollständige]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]]en nichtpositiver [[Schnittkrümmung]] sind CAT(0)-Räume. Dazu zählen der euklidische <math>\mathbb R^n</math>, der [[Hyperbolischer Raum|hyperbolische Raum]], <math>SL(n,\mathbb R)/SO(n)</math>, allgemeiner alle [[Symmetrischer Raum|symmetrischen Räume]] ohne kompakten Faktor.
* Einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung werden auch als [[Hadamard-Mannigfaltigkeit]]en bezeichnet. Vollständige CAT(0)-Räume bezeichnet man als [[Hadamard-Raum|Hadamard-Räume]].
* Endliche [[Produkttopologie#Beispiele|Produkte]] von CAT(0)-Räumen sind CAT(0)-Räume.
* [[Reeller Baum|<math>\mathbb R</math>-Bäume]] und [[Euklidisches Gebäude|euklidische]] oder [[Hyperbolisches Gebäude|hyperbolische Gebäude]] sind CAT(0)-Räume.
* [[Hilbertraum|Hilberträume]] sind CAT(0)-Räume.
*Eine [[zusammenziehbarer Raum|zusammenziehbare]] Mannigfaltigkeit der Dimension <math>\ge 6</math> trägt genau dann eine [[Geodätische Vollständigkeit|geodätisch vollständige]] CAT(0)-Metrik, wenn sie [[Kollabierbarer Simplizialkomplex|kollabierbar]] ist.<ref>[[Karim Adiprasito|Adiprasito]]-[[Louis Funar|Funar]]: [[arxiv:1512.06403|Hyperbolicity of contractible manifolds]]</ref>
* '''Satz von Gromov''': Ein [[kubischer Komplex]] ist genau dann ein CAT(0)-Raum, wenn er einfach zusammenhängend und der [[Link (Simplizialkomplex)|Link]] jeder Ecke ein [[Fahnenkomplex]] ist.

== Eigenschaften ==

* In einem CAT(0)-Raum <math>x</math> lassen sich je zwei Punkte durch eine ''eindeutige'' [[Geodäte]] verbinden. Die Geodäte hängt stetig von ihren Endpunkten ab.
* In CAT(0)-Räumen gilt die [[Satz von Ptolemäus#Verallgemeinerungen (Metrische Räume und Riemannsche Mannigfaltigkeiten)|Ptolemäische Ungleichung]]
: <math>d(x,y)d(u,v)\le d(x,u)d(y,v)+d(x,v)d(y,u)</math> für alle <math>x,y,u,v\in X</math>.
* Für Geodäten <math>\gamma_1,\gamma_2:\left[a,b\right]\rightarrow X</math> ist die Funktion <math>d(\gamma_1(t),\gamma_2(t))</math> [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex]].
* CAT(0)-Räume sind [[Zusammenziehbarer Raum|zusammenziehbar]].

== Geodätischer Rand ==

Geodätische Strahlen in einem CAT(0)-Raum heißen ''asymptotisch'', wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine [[Äquivalenzrelation]] auf der Menge der geodätischen Strahlen. Der ''Geodätische Rand'' <math>\partial_\infty X</math> des CAT(0)-Raumes <math>(X,d)</math> ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Strahlen.

Jeder Punkt in <math>\partial_\infty X</math> lässt sich mit jedem Punkt in <math>X</math> durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Unterschiedliche Punkte in <math>\partial_\infty X</math> müssen sich aber nicht immer durch eine Geodäte verbinden lassen.

=== Kegel-Topologie ===

Die [[Topologischer Raum|Topologie]] auf <math>(X,d)</math> lässt sich zu einer Topologie auf <math>X\cup\partial_\infty X</math> erweitern<ref>{{Webarchiv |url=http://www.math.bgu.ac.il/~barakw/rigidity/bh.pdf |text=Bridson-Haefliger: ''Metric spaces of nonpositive curvature.'' |wayback=20131224115132}} (PDF-Datei; 3,83 MB), Definition II.8.5</ref>, so dass gilt: Eine Folge <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math> konvergiert gegen <math>p\in\partial_\infty X</math> genau dann, wenn (für beliebiges <math>x_0\in X</math>) die Folge der <math>x_0</math> und <math>x_n</math> verbindenden Geodäten lokal gleichmäßig gegen die <math>x_0</math> und <math>p</math> verbindende Geodäte konvergiert.

Diese Topologie wird als ''Kegel-Topologie'' bezeichnet.

Beispiel: Wenn <math>(X,d)</math> eine einfach zusammenhängende, vollständige n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist, dann ist <math>\partial_\infty X</math> mit der Kegel-Topologie [[homöomorph]] zur (n-1)-dimensionalen Sphäre.

=== Tits-Metrik ===

Die Tits-Metrik (nach [[Jacques Tits]]) <math>d_T:\partial_\infty X\times\partial_\infty X\rightarrow\mathbb R</math> ist für <math>p_1,p_2\in\partial_\infty X</math> definiert durch
:<math>d_T(p_1,p_2):=\sup_{x\in X}\lim_{t\rightarrow\infty}\angle_x(\gamma_1(t),\gamma_2(t))</math>,
wobei <math>\gamma_1,\gamma_2</math> zu <math>p_1,p_2</math> asymptotische Geodäten sind.

Hierbei ist (allgemein für <math>x,a,b\in X</math>) der Winkel <math>\angle_x(a,b)</math> definiert als der Winkel bei <math>x^\prime</math> des Vergleichsdreiecks <math>\Delta(x^\prime,a^\prime,b^\prime)</math> im <math>\mathbb R^2</math>.

Die Tits-Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel-Topologie auf <math>\partial_\infty X</math>.

Beispiele: Falls <math>(X,d)</math> eine einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit ''negativer'' Schnittkrümmung ist, dann ist <math>d_T(p_1,p_2)=\pi</math> für alle <math>p_1,p_2\in\partial_\infty X</math>, die Tits-Metrik induziert also die [[diskrete Topologie]]. Falls <math>(X,d)=(\mathbb R^n,d_{eukl})</math> der euklidische Raum ist, dann ist <math>(\partial_\infty X,d_T)</math> homöomorph zur Sphäre.

=== Horosphären ===

Zu einem Punkt <math>p\in\partial_\infty X</math> und einer Geodäte <math>\gamma:\left[0,\infty\right]\rightarrow X</math> mit <math>\lim_{t\rightarrow\infty}\gamma(t)=p</math> definiert man die Busemann-Funktion <math>b_\gamma:X\rightarrow\mathbb R</math> durch
:<math>b_\gamma(x):=\lim_{t\rightarrow\infty}d(x,\gamma(t))-t</math>.
Falls <math>X</math> vollständig ist und <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> zwei zu <math>p\in\partial_\infty X</math> asymptotische Geodäten sind, dann ist <math>b_{\gamma_1}-b_{\gamma_2}</math> konstant. Insbesondere hängt die Zerlegung von <math>X</math> in die [[Niveaumenge]]n von <math>b_\gamma</math> nur von <math>p\in\partial_\infty X</math> und nicht von der Wahl der zu <math>p</math> asymptotischen Geodäte <math>\gamma</math> ab.
Die Niveaumengen von <math>b_\gamma(x)</math> werden als ''Horosphären'' von <math>p</math> bezeichnet.

== Isometrien ==

Jede Isometrie <math>f:X\rightarrow X</math> eines vollständigen CAT(0)-Raumes <math>(X,d)</math> fällt in eine der folgenden 3 Klassen:
* [[Elliptische Isometrie|''elliptisch'']]: <math>f</math> hat einen Fixpunkt in <math>X</math>,
* [[Hyperbolische Isometrie|''hyperbolisch'']]: <math>f</math> hat keinen Fixpunkt in <math>X</math>, lässt aber eine Geodäte invariant,
* [[Parabolische Isometrie|''parabolisch'']]: <math>f</math> lässt einen Punkt <math>p\in\partial_\infty X</math> und seine Horosphären invariant.<ref>[https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kfujiwara/gs04.2.pdf Fujiwara: CAT(0) spaces for Riemannian geometers] (PDF-Datei; 116 kB)</ref>

== CAT(0)-Gruppen ==

Eine CAT(0)-Gruppe ist eine Gruppe, die [[G-Raum#Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich|eigentlich diskontinuierlich]] und [[G-Raum#Kokompakte Wirkung|kokompakt]] durch [[Isometrie]]n auf einem endlich-dimensionalen CAT(0)-Raum wirkt.

== Lokale CAT(0)-Räume ==
Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des [[Satz von Cartan-Hadamard|Satzes von Cartan-Hadamard]] besagt: wenn <math>X</math> ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung <math>\widetilde{X}</math> eine eindeutige Metrik <math>\tilde{d}</math> so dass
* die Überlagerung <math>\widetilde{X}\to X</math> eine [[lokale Isometrie]] ist, und
* <math>(\widetilde{X},\tilde{d})</math> ein CAT(0)-Raum ist.

== Quellen ==
<references/>

{{SORTIERUNG:CAT0-Raum}}
[[Kategorie:Metrischer Raum]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Topologie]]

CAT(0)-Raum - Versionsgeschichte

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