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Definition und Eigenschaften: Eigenschaft 3 und 4 sichtbar

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'''C*-Algebren''' werden im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Sie sind in der [[Mathematische Physik|mathematischen Physik]] entstanden. Es handelt sich um eine Abstraktion der beschränkten [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] auf einem [[Hilbertraum]], sie spielen daher in der mathematischen Beschreibung der [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]] eine Rolle. '''C*-Algebren''' sind spezielle [[Banachalgebra|Banachalgebren]], bei denen ein enger Zusammenhang zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften besteht; die [[Kategorientheorie|Kategorie]] der [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten Räume]] erweist sich als äquivalent zur Kategorie der kommutativen C*-Algebren, daher wird die Theorie der C*-Algebren auch als [[nichtkommutative Topologie]] angesehen. Sofern eine solche nichtkommutative Topologie von einer Metrik induziert wird, wird diese durch das relativ neue Forschungsfeld der [[Nichtkommutative Geometrie|nichtkommutativen Geometrie]] erfasst, welches in den 1990er Jahren von [[Alain Connes]] begründet wurde.

== Definition und Eigenschaften ==
Eine C*-Algebra über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math> \mathbb K = \Complex </math> oder <math> \R </math> ist eine [[Banachalgebra]] <math>\mathcal A</math> mit einer [[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>^* \colon \mathcal A\ni a\mapsto a^* \in \mathcal A </math> mit folgenden Eigenschaften
{| ;"
|-
|
* <math>\forall a\in\mathcal A:(a^*)^*=a</math>

||(involutiv)
|-
|
* <math>\forall a,b\in \mathcal A:(ab)^*=b^* a^*</math>

||(anti-multiplikativ)
|-
|
* <math>\forall a,b\in\mathcal A: \forall z,w\in \mathbb K:(za+wb)^*=\overline z a^* +\overline w b^*</math>    
||(semilinear, anti-linear oder [[Komplexe Zahl#Komplexe Konjugation|konjugiert]] linear)
|-
|
* <math>\forall a\in\mathcal A: \left\|a^*a\right\|=\left\|a\right\|^2</math>
||(C*-Eigenschaft)
|}

Die ersten drei Eigenschaften sind die Eigenschaften einer [[*-Algebra]]. Aus der C*-Eigenschaft folgt, dass die Involution [[Isometrie|isometrisch]] ist, was sie zusammen mit den ersten drei Eigenschaften der C*-Algebra zu einer [[Banachalgebra#Banach-*-Algebra oder involutive Banachalgebra|Banach-*-Algebra (= involutiven Banachalgebra)]] macht.

Man spricht von einer ''kommutativen C*-Algebra'', wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Die meisten Autoren verstehen unter einer C*-Algebra stets eine <math>\Complex</math>-Banachalgebra und schreiben genauer ''reelle'' C*-Algebra, wenn auch <math>\R</math>-Banachalgebren zugelassen sind.

== Standardbeispiele; die Sätze von Gelfand-Neumark und von Gelfand-Neumark-Segal ==
{{Hauptartikel|Satz von Gelfand-Neumark}}
Das bekannteste Beispiel einer C*-Algebra ist die Algebra <math>\mathcal B(\mathcal H)</math> der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum <math>\mathcal H</math> und allgemeiner
jede in der [[Normtopologie]] abgeschlossene selbstadjungierte Unteralgebra von <math>\mathcal B(\mathcal H)</math>. Umgekehrt besitzt nach dem [[Satz von Gelfand-Neumark|Satz von Gelfand-Neumark-Segal]] jede C*-Algebra diese Form, ist also zu einer normabgeschlossenen selbstadjungierten Unteralgebra eines <math>\mathcal B(\mathcal H)</math> isomorph.

Die komplexwertigen, stetigen und [[Lokalkompakter Raum#Verschwinden im Unendlichen|im Unendlichen verschwindenden]] Funktionen auf einem lokalkompakten [[Hausdorffraum]] <math>\mathcal X</math> bilden bezüglich der [[Supremumsnorm]] und der [[Komplexe Konjugation|komplexen Konjugation]] als Involution eine kommutative C*-Algebra [[C0-Funktion|<math>\mathcal C_0(\mathcal X)</math>]]. Der [[Satz von Gelfand-Neumark]] besagt, dass jede kommutative C*-Algebra zu einer solchen Algebra von Funktionen isomorph ist.

== Weitere Eigenschaften von C*-Algebren ==

=== Homomorphismen zwischen C*-Algebren ===
Sind <math>\mathcal A</math> und <math>\mathcal B</math> C*-Algebren, dann heißt eine Abbildung <math>\varphi \colon \mathcal A \to \mathcal B</math> *-[[Homomorphismus]], falls sie linear,
multiplikativ und mit der Involution verträglich ist.

Jeder *-Homomorphismus <math>\varphi</math> ist [[Kontraktion (Mathematik)|kontrahierend]], das heißt, es gilt <math>\left\|\varphi(a)\right\| \leq \left\|a\right\|</math> für beliebiges <math>a \in \mathcal A</math>, und daher insbesondere [[Stetige Funktion|stetig]].

[[Injektivität|Injektive]] *-Homomorphismen <math>\varphi</math> sind automatisch [[Isometrie|isometrisch]], das heißt, es gilt <math>\left\|\varphi(a)\right\| = \left\|a\right\|</math> für beliebiges <math>a \in\mathcal A</math>.

=== Endlichdimensionale C*-Algebren ===
Die Algebren der komplexen <math>n \times n</math>-Matrizen <math>M_n</math>, die mit den linearen Operatoren auf <math>\mathbb{C}^n</math> identifiziert
werden können, bilden mit der [[Operatornorm]] eine C*-Algebra.
Man kann zeigen, dass jede endlichdimensionale C*-Algebra zu einer direkten Summe solcher Matrixalgebren isomorph ist.

=== Konstruktion neuer C*-Algebren aus vorgegebenen ===
* [[Direkte Summe]]n, [[Direktes Produkt|direkte Produkte]], [[Induktiver Limes|induktive Limites]] von C*-Algebren sind mit einer geeigneten Normdefinition wieder C*-Algebren.

* Es gibt eine minimale und eine maximale Möglichkeit, [[Tensorprodukt]]e von C*-Algebren zu C*-Algebren zu vervollständigen, siehe „[[Räumliches Tensorprodukt]]“ und „[[Maximales Tensorprodukt]]“.

* Im Artikel über [[Duale C*-Algebra|duale C*-Algebren]] werden ''eingeschränkte Produkte'' definiert.

* Ein abgeschlossenes [[zweiseitiges Ideal]] ist automatisch bzgl. der Involution abgeschlossen und die Quotientenalgebra ist mit der [[Quotientennorm]] wieder eine C*-Algebra.

* Aus einem [[C*-dynamisches System|C*-dynamischen System]] <math>(\mathcal A,\mathcal G,\alpha)</math> lassen sich weitere C*-Algebren konstruieren, das Kreuzprodukt <math>\mathcal A\ltimes_\alpha \mathcal G</math> und das reduzierte Kreuzprodukt <math>\mathcal A\ltimes_{\alpha r} \mathcal G</math>.

=== Einselemente ===
C*-Algebren müssen kein [[Einselement]] haben. Man kann aber stets ein Einselement [[Adjunktion (Einselement)|adjungieren]] oder als Ersatz für ein fehlendes Einselement eine beschränkte [[Approximation der Eins]] verwenden, die es in jeder C*-Algebra gibt.

=== Hilbertraum-Darstellungen ===
{{Hauptartikel|Hilbertraum-Darstellung}}
Ist <math>\mathcal H</math> ein Hilbertraum, so nennt man einen *-Homomorphismus <math>\mathcal A\rightarrow \mathcal B(\mathcal H)</math> eine Hilbertraum-Darstellung oder einfach Darstellung von <math>\mathcal A</math>. Die Theorie der Hilbertraum-Darstellungen ist ein wichtiges Instrument zur weitergehenden Untersuchung von C*-Algebren.

== Beispiele und Spezialfälle von C*-Algebren ==
* Die [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] <math>\mathcal K(\mathcal H)</math> auf einem Hilbertraum <math>\mathcal H</math> bilden eine C*-Unteralgebra von <math>\mathcal B(\mathcal H)</math>. <math>\mathcal K(\mathcal H)</math> ist ein [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossenes]] [[zweiseitiges Ideal]] in <math>\mathcal B(\mathcal H)</math>. Die Quotienten-Algebra <math>\mathcal B(\mathcal H)/\mathcal K(\mathcal H)</math> heißt [[Calkin-Algebra]].
* [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]] sind [[Starke Operatortopologie|stark abgeschlossene]] *-Unteralgebren von <math>\mathcal B(\mathcal H)</math>. Da die [[starke Operatortopologie]] [[Gröbere und feinere Topologien|gröber]] als die Normtopologie ist, sind die Von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen und daher insbesondere C*-Algebren.
* [[Gruppen-C*-Algebra|Gruppen-C*-Algebren]] (= [[einhüllende C*-Algebra]] der [[Harmonische Analyse|Gruppenalgebra]] <math>L^1(G)</math>)
* [[Duale C*-Algebra|Duale C*-Algebren]] (= C*-Algebren kompakter Operatoren)
* [[Liminale C*-Algebra|Liminale C*-Algebren]] (= CCR-Algebren)
* [[Postliminale C*-Algebra|Postliminale C*-Algebren]] (= GCR-Algebren oder Typ-I-C*-Algebren), zum Beispiel die [[Toeplitz-Algebra]]
* [[UHF-Algebra|UHF-Algebren]], zum Beispiel die [[CAR-Algebra]]
* [[AF-C*-Algebra|AF-C*-Algebren]],
* Bunce-Deddens-Algebren
* [[Nukleare C*-Algebra|Nukleare C*-Algebren]],
* [[Irrationale Rotationsalgebra]],
* [[Cuntz-Algebra]],
* Cuntz-Krieger-Algebra

== Historische Bemerkungen ==
Eine B*-Algebra ist nach [[Israel Moissejewitsch Gelfand|Gelfand]] und [[Mark Neumark|Neumark]] (1943) eine involutive Banachalgebra <math>\mathcal A</math> (mit Einselement 1) mit den zwei Eigenschaften
# <math>\left\|a^*a\right\|=\left\|a\right\|^2</math> für alle <math>a \in \mathcal A</math>,
# <math>1+a^*a</math> ist für jedes <math>a \in \mathcal A</math> invertierbar.
Eine C*-Algebra wurde als eine normabgeschlossene und bezüglich der Involution abgeschlossene Unteralgebra der Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum definiert. Gelfand und Neumark konnten dann zeigen, dass jede B*-Algebra eine C*-Algebra ist. Die bereits von ihnen vermutete Redundanz der zweiten Bedingung konnte erst in den 1950er Jahren von [[Masanori Fukamiya|M. Fukamiya]] und [[Irving Kaplansky|I. Kaplansky]] gezeigt werden.
Der Begriff B*-Algebra als eine abstrakt definierte (d. h. nicht auf einem Hilbertraum dargestellte) Algebra ist durch den [[Satz von Gelfand-Neumark]] entbehrlich geworden, weshalb man den Begriff B*-Algebra nur noch in älterer Literatur finden kann.

Der Name C*-Algebra wurde durch die Veröffentlichung ''Irreducible representations of operator algebras'' (1947) des Mathematikers [[Irving Segal]] geprägt. Möglicherweise deutet das C in C*-Algebra darauf hin, dass C*-Algebren ein nichtkommutatives Analogon des Raums der stetigen Funktionen <math>C(T)</math> sind, und das Zeichen * betont die Bedeutung der Involution.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, S. 5.</ref>

Die C*-Bedingung <math>\left\|a^*a\right\|=\left\|a\right\|^2</math> für alle <math>a \in A</math> konnte in den 1960er Jahren weiter zu <math>\left\|a^*a\right\|=\left\|a^*\right\|\cdot\left\|a\right\|</math> für alle <math>a \in A</math> abgeschwächt werden, was sich aus dem [[Satz von Vidav-Palmer]], der seinerseits die C*-Algebren unter allen Banachalgebren charakterisiert, herleiten lässt. Diese Abschwächung der C*-Bedingung spielt in der Theorie der C*-Algebren allerdings keine besondere Rolle.

== Verallgemeinerungen ==
In der [[Mathematische Physik|Mathematischen Physik]] verallgemeinert man den Begriff zum Zwecke der Behandlung allgemeiner physikalischer Observablen in der [[Quantenfeldtheorie]], indem man nicht Hilbert- oder Banachräume, sondern allgemeinere [[Temperierte Distribution#Gelfandsches Raumtripel|Gelfandsche Raumtripel]] voraussetzt, also auch [[Distribution (Mathematik)|distributionswertige]] Funktionale u. dgl. zulässt.

== Siehe auch ==
* [[Erweiterung (C*-Algebra)]]
* [[KK-Theorie]]

== Literatur ==
* [[William Arveson|W. Arveson]]: ''Invitation to C*-algebras'', ISBN 0-387-90176-0
* [[Jacques Dixmier|J. Dixmier]]: ''Les C*-algèbres et leurs représentations'', Gauthier-Villars, 1969
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'', 1983, ISBN 0-12-393301-3
* Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5
* M. Takesaki: ''Theory of Operator Algebras I'' (Springer 1979, 2002)
* I. Khavkine and V. Moretti: ''Algebraic QFT in Curved Spacetime and quasifree Hadamard states: an introduction'', Univ. Trient, 2015, {{arXiv|1412.5945}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:C-Algebra}}
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

C*-Algebra - Versionsgeschichte

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