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2025-09-12T19:19:39Z

der Filter --> das Filter (Es sind zwar beide Schreibweisen möglich, aber wir sollten innerhalb des Artikels nicht hin und her springen)

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'''Butterworth-Filter''' sind kontinuierliche [[Filter (Elektrotechnik)|Frequenzfilter]], die so ausgelegt sind, dass der [[Frequenzgang (System)|Frequenzgang]] für einen [[Tiefpass]] unterhalb der [[Grenzfrequenz]] ωg möglichst lange horizontal verläuft (für einen Hochpass gilt umgekehrt dasselbe). Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die [[Übertragungsfunktion]] absinken und in die Durchlass[[dämpfung]] von ''n''·20 dB pro Frequenzdekade übergehen (''n'' ist die Ordnung des Butterworth-Filters). Die einfachste Form des Butterworth-Filters 1. Ordnung stellt das [[RC-Glied]] dar. Eine moderne praktische Anwendung des Filters ist in der [[Computeranimation]] üblich; sie dient der Reduktion von Kurvenpunkten, ohne die generelle Form der Kurve zu verändern.

[[Datei:Butterworth filter bode plot de.svg|mini|Das [[Bode-Diagramm]] eines Butterworth-Tiefpassfilters erster Ordnung]]
[[Datei:Butterworth Filter in Computer Animation.jpg|mini|Das Butterworth-Filter vereinfacht die Punktdichte einer Kurve, ohne den grundsätzlichen Kurvenverlauf zu verändern.<ref>In diesem Beispiel wird das Butterworth-Filter als Tiefpassfilter eingesetzt, der in der hohen Punktdichte der oberen Kurve Rauschen entdeckt (Punkte, die sich um die glatte Kurve herum verteilen, statt auf ihr zu liegen) und mit einer voreingestellten Sample-Rate eine grundsätzlich ähnliche, jedoch viel einfachere Kurve erzeugt. Die Anwendung stammt aus der Computeranimation.</ref>]]
Ein Signal wird an der Grenzfrequenz auf das <math>\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071</math>-fache des ursprünglichen Signals abgeschwächt, d. h. die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt ca. [[Bel (Einheit)|3 dB]]. Butterworth-Filter haben sowohl im [[Durchlassbereich]] als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde das Butterworth-Filter nach dem britischen Physiker [[Stephen Butterworth]], der diese Art von Filter erstmals beschrieb.<ref>Stephen Butterworth: ''On the Theory of Filter Amplifiers'' In: ''Wireless Engineer'', Band 7, 1930, Seiten 536–541</ref>

[[Bild:Butterworth orders.svg|mini|Butterworth-Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5]]
[[Bild:Butterworth II Order LPF.png|mini|Beispiel: Butterworth-Filter 2. Ordnung [[Tiefpass]], realisiert als [[Sallen-Key-Filter]].]]

== Übertragungsfunktion ==

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:
:<math>
\left|\underline{A}\right|^2 = \frac{A_0^2}{1+ k_{2n} \Omega ^{2n}}
</math>

mit
:<math>A_0</math> [[Gleichspannungsverstärkung]]
:<math>\Omega = \frac{f}{f_g}</math> auf Grenzfrequenz normierte [[Frequenz]]
:<math>n</math> Ordnung des Filters

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

== Koeffizienten ==

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form (<math>P = \frac {p}{\omega_0}</math>):
:<math>
A[P] = \frac{A_0}{\prod_{i} (1 + a_i P + b_i P^2)}
</math>

ergeben sich für die Koeffizienten <math> a_i </math> und <math> b_i </math> folgende Beziehungen:

Ordnung ''n'' des Filters gerade:
:<math>i = 1 \ldots \frac {n}{2}</math>
:<math> a_i = 2 \cos \frac{(2 i - 1) \pi}{2 n}</math>
:<math> b_i = 1 \ </math>

Ordnung ''n'' des Filters ungerade:
:<math>i = 2 \ldots \frac{(n + 1)}{2}</math>
:<math> a_1 = 1 \ </math>
:<math> b_1 = 0 \ </math>
:<math> a_i = 2 \cos \frac{(i - 1) \pi}{n} </math>
:<math> b_i = 1 \ </math>

== Eigenschaften ==

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:
* monotoner [[Frequenzgang|Amplitudengang]] sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
* schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
* beträchtliches [[Überschwingen]] bei der [[Sprungantwort]], verschlechtert sich mit der Ordnung
* der [[Phasengang|Phasenverlauf]] besitzt eine kleine Nichtlinearität
* relativ frequenzabhängige [[Gruppenlaufzeit]]
* großer Realisierungsaufwand bei hoher Ordnung

== Filterrealisierung ==

[[Bild:Butterworth Cauer 1 form.PNG|right]]
Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das ''k''-te Element ist gegeben mit:
:<math>C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]</math> für ''k'' ungerade
:<math>L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]</math> für ''k'' gerade

In der [[digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in [[IIR-Filter]]n (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.
Die [[Kaskadierung]] zweier Butterworth-Filter n-ter Ordnung ergibt einen [[Linkwitz-Riley-Filter]] 2n-ter Ordnung.

== Normalisierte Butterworth-Polynome ==

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise als komplex konjugierte Pole ''s''1 und ''s''n geschrieben. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ωc=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

:<math>B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]</math> für ''n'' gerade
:<math>B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]</math> für ''n'' ungerade

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten sie:
{| class="wikitable centered" style="text-align: center;"
|-
! n || Faktoren der Polynome <math>B_n(s)</math>
|-
! 1
| <math>s+1</math>
|-
! 2
| <math>s^2+\sqrt{2}s+1</math>
|-
! 3
| <math>\left(s+1\right)\left(s^2+s+1\right)</math>
|-
! 4
| <math>\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2}}s+1\right)</math>
|-
! 5
| <math>\left(s+1\right)\left(s^2+\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}s+1\right)</math>
|-
! 6
| <math>\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{3}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{3}}s+1\right)</math>
|-
! 7
| <math>\left(s+1\right)\left(s^2+0{,}4450s+1\right)\left(s^2+1{,}2470s+1\right)\left(s^2+1{,}8019s+1\right)</math>
|-
! 8
| <math>\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}s+1\right)\left(s^2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}s+1\right)</math>
|}

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Siehe auch ==
* [[Bessel-Filter]]
* [[Cauer-Filter]]
* [[Tschebyscheff-Filter]]
* [[Linkwitz-Riley-Filter]]

== Weblinks ==
*[http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physikalischeelektronik/phys_elektr/node49.html Analogfilter], Othmar Marti and Alfred Plettl, Universität Ulm
*[http://www.changpuak.ch/electronics/butterworth_lowpass.php Online Butterworth Tiefpassfilter Rechner]

[[Kategorie:Filter (Elektrotechnik)]]

Butterworth-Filter - Versionsgeschichte

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