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2025-07-08T21:48:41Z

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[[Datei:Liber Assumptorum Proposition 1.jpg|mini|Propositio I im ''Liber Assumptorum'' (1661)]]
[[Datei:Works of Archimedes Lemmas.PNG|mini|Die erste Seite des ''Book of Lemmas'' in ''The Works of Archimedes'' (1897).]]

Das '''Buch der Lemmata''' (auch '''Buch der [[Hilfssatz|Hilfssätze]]''') ist eine Sammlung von 15 Aussagen über die [[Geometrie]] von [[Kreis]]en. Sie wird dem antiken griechischen [[Mathematiker]] [[Archimedes]] zugeschrieben; seine Urheberschaft ist allerdings fraglich.

== Geschichte ==
Der syrische Mathematiker [[Thabit ibn Qurra]] hat das Manuskript im [[9. Jahrhundert]] aus dem [[Griechische Sprache|Griechischen]] ins [[Arabische Sprache|Arabische]] (Titel: ''K. al-Ma'hūdāt fī usūl al-handasa'') übersetzt und es Archimedes zugeschrieben; aus dem [[10. Jahrhundert]] ist ein Kommentar von Alī ibn Ahmad al-Nasawī überliefert.<ref name="alcuin">{{Internetquelle |url=http://www-app.uni-regensburg.de/Fakultaeten/PKGG/Philosophie/Gesch_Phil/alcuin/work.php?id=32932 |titel=Liber assumptorum |werk=Infothek der Scholastik |hrsg=Universität Regensburg |archiv-datum=2018-06-15 |zugriff=2022-12-12 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20180615214823/http://www-app.uni-regensburg.de/Fakultaeten/PKGG/Philosophie/Gesch_Phil/alcuin/work.php?id=32932 |offline= }}</ref> Im Jahre [[1661]] wurde der Text von [[Abraham Ecchellensis]] ins [[Latein]]ische übertragen und von [[Giovanni Alfonso Borelli|Giovanni A. Borelli]] als ''Archimedis Liber Assumptorum'' in seinem Werk ''Apollonii Pergaei Conicorum lib. V, VI, VII'' herausgegeben.<ref>{{Internetquelle |url=http://library.brown.edu/exhibits/archive/math/ |titel=From Euclid to Newton: An Exhibition in Honor of the 1999 Conference of the Mathematical Association of America |hrsg=Brown University Library |zugriff=2016-05-15}}</ref> Der englische [[Geschichte der Mathematik|Mathematikhistoriker]] [[Thomas Heath|Thomas L. Heath]] wiederum erstellte eine [[Englische Sprache|englische]] Fassung des ''Liber Assumptorum'' und nahm diese [[1897]] unter dem Titel ''Book of Lemmas'' in seinen Sammelband ''The Works of Archimedes'' auf.<ref name="heath">Aaboe: ''Episodes from the Early History of Mathematics.'' 1998, S. 77</ref> Dieser Band wurde – ergänzt u. a. um einen Beitrag des dänischen Mathematikhistorikers [[Johan Ludvig Heiberg (Philologe)|Johan Ludvig Heiberg]] über die Methoden Archimedes’ – [[1914]] von [[Fritz Kliem]] ins Deutsche übersetzt (''Archimedes’ Werke'');<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg= Vorwort zur deutschen Ausgabe. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/n10/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914 |Sprache=de |Seiten=VII}}</ref> das Kapitel ''Book of Lemmas'' heißt hier ''Buch der Hilfssätze''.<ref name="Kliem">{{Literatur |Autor= Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Buch der Hilfssätze. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/456/mode/1up?view=theater|Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=456 ff}}</ref>

Siebzehn Aussagen, einzeln mit „Propositio“ bezeichnet, enthält das ''Liber Assumptorum'' (obwohl in der Einleitung „sechzehn Sätze“ angekündigt sind)<ref>{{Literatur |Autor=Giovanni A. Borelli et al. |Titel=Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber |TitelErg=Propositio XVII |Verlag=Ex Typographia Iosephi Cocchini ... |Online=https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/424/ |Ort=Florenz |Datum=1661 |Seiten=385}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Giovanni A. Borelli et al. |Titel=Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber |TitelErg=Propositio XVII |Verlag=Ex Typographia Iosephi Cocchini ... |Online=https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/450/ |Ort=Florenz |Datum=1661 |Seiten=411–413}}</ref>. Davon sind fünfzehn im ''Book of Lemmas'' mit der Benennung „Proposition“ und in der deutschen Übersetzung Kliems im ''Buch der Hilfssätze'' mit der Bezeichnung [[Satz (Mathematik)|„Satz“]] enthalten.<ref name="Kliem" /> Auf Griechisch ist das Werk nicht überliefert.<ref name="alcuin" />

== Autorschaft ==
Die [[Autor]]schaft Archimedes’ ist nicht gesichert. Zweifel erregen insbesondere Passagen des Textes, in denen auf Archimedes in der dritten Person Bezug genommen wird. In Satz 4 ist beispielsweise die Rede von einer [[Geometrische Figur|Figur]] (gemeint ist der [[Arbelos]]), die „ein von Archimedes sogenannter Άρβυλος“<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke |TitelErg=Satz 4. |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914 |Seiten=459 |Sprache=de |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/459/mode/1up?view=theater}}</ref> genannt wird („quam vocat Archimedes ARBELON“<ref>{{Literatur |Autor=Giovanni A. Borelli et al. |Titel=Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber |TitelErg=Propositio IV |Verlag=Ex Typographia Iosephi Cocchini ... |Ort=Florenz |Datum=1661 |Seiten=390 |Online=https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/429/}}</ref> bzw. „what Archimedes called an Άρβυλος“)<ref>{{Literatur |Autor=[[Thomas Heath|Thomas L. Heath]] |Titel=The Works of Archimedes |Verlag=University of Cambridge |Ort=Cambridge |Datum=1897 |Seiten=304 |Sprache=en |Online=https://www.aproged.pt/biblioteca/worksofarchimede.pdf#page=496&zoom=auto,-13,574}}</ref>.

{{Absatz}}
Zur Frage der Autorschaft Archimedes’ führt Heath aus (rechts daneben die Übersetzung Kliems):

<div style="float:left; width:50%;">
{{Zitat
|Text=The Lemmas cannot, however, have been written by Archimedes in their present form, because his name is quoted in them more than once. The probability is that they were propositions collected by some Greek writer of a later date for the purpose of elucidating some ancient work, though it is quite likely that some of the propositions were of Archimedean origin, e.g. those concerning the geometrical figures called respectively Άρβυλος (literally 'shoemaker's knife') and σαλινον (probably a 'salt-cellar'), and Prop. 8 which bears on the problem of trisecting an angle.
|Sprache=en
|ref=<ref>{{Literatur |Autor=[[Thomas Heath|Thomas L. Heath]] |Titel=The Works of Archimedes |Verlag=University of Cambridge |Ort=Cambridge |Datum=1897 |Seiten=xxxii |Sprache=en |Online=https://www.aproged.pt/biblioteca/worksofarchimede.pdf#page=36&zoom=auto,-13,574}}</ref>}}
</div>
<div style="float:left; width:50%;">
{{Zitat
|Text=Die Hilfsätze können jedoch in der heutigen Form von Archimedes nicht geschrieben sein, da sein Name darin mehrmals genannt wird. Wahrscheinlich waren es Sätze, die von einem späteren griechischen Schriftsteller gesammelt worden sind, um ein altes Werk zu erläutern, doch ist es ganz wahrscheinlich, daß einige von den Sätzen Archimedischen Ursprungs sind, z. B. diejenigen, die sich auf die geometrischen Figuren mit den Namen Άρβυλος (wörtlich „Schuster-Messer“) und σαλινον (vielleicht „Salzfaß“) beziehen, und Satz 8, der sich mit dem Problem der Dreiteilung des Winkels beschäftigt.
|Sprache=de
|ref=<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914 |Seiten=21 |Sprache=de |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/21/mode/1up?view=theater}}</ref>}}
</div>
{{Absatz|links}}

Zusammengefasst bedeutet dies, dass zumindest der [[Arbelos]] (das oben erwähnte „Schuster-Messer“), das [[Salinon]] (das „Salzfaß“) und die in Proposition 8 dargelegte [[Dreiteilung des Winkels#Die Methode des Archimedes|Methode der Dreiteilung des Winkels]] mit hoher Wahrscheinlichkeit Archimedes zugeschrieben werden können.


== Hilfssätze aus dem Buch (Auswahl) ==
Die 15 Abschnitte des Textes enthalten Aussagen über Kreise, zu ihren [[Durchmesser]]n und [[Radius|Radien]], zu [[Sekante]]n und [[Tangente]]n und zu den Verhältnissen dieser Elemente untereinander, sowie die zugehörigen [[Beweis (Mathematik)|Beweise]]. Sie sind in der lateinischen Fassung alle, in der englischen und deutschen Fassung mit Ausnahme von Satz 7 illustriert.

Die Aussagen beziehen sich unter anderem auf folgende Themen der Geometrie und [[Stereometrie]]:

=== Berührende Kreise ===
==== Formulierung ====
[[Datei:Archimedes beruehrende Kreise.svg|mini|hochkant=1|Berührende Kreise, Punkte <math>A</math>,<math>D</math> und <math>F</math> liegen auf einer gemeinsamen Geraden]]
Gegeben seien ein Kreis <math>k_1</math> mit dem [[Mittelpunkt]] <math>M</math> und ein Kreis <math>k_2</math> mit dem Mittelpunkt <math>C</math>, die sich im Punkt <math>A</math> berühren. Der [[Durchmesser]] <math>\overline{EF}</math> von <math>k_1</math> und der Durchmesser <math>\overline{BD}</math> von <math>k_2</math> seien [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zueinander.

Dann liegen die Punkte <math>A</math>, <math>D</math> und <math>F</math> auf einer gemeinsamen [[Gerade]]n.<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 1. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/456/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=456}}</ref>

==== Herleitung ====
Der [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] verwendet [[Seitenverhältnis]]se bei [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlichen]] [[Dreieck]]en (siehe abgebildete [[Planfigur]]).

Die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[DH]</math> sei parallel zu der Strecke <math>[CM]</math>. Somit ist das [[Viereck]] <math>MHDC</math> ein [[Parallelogramm]].

Da außerdem <math>\overline{AM}</math> und <math>\overline{FM}</math> [[Radius]] von <math>k_1</math> und <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{CD}</math> Radius von <math>k_2</math> ist, gilt <math>\overline{AM}=\overline{FM}</math> und <math>\overline{MH}=\overline{CD}=\overline{AC}</math>.

Nach dem [[Strahlensatz]] gilt: <math>\frac{\overline{AM}}{\overline{FM}}=\frac{\overline{DH}}{\overline{FH}}</math>. Also sind <math>ACD</math> und <math>DHF</math> ähnliche [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]].

Es seien <math>\alpha</math>, bzw. <math>\beta</math>, bzw. <math>\gamma</math> die Winkelweiten von <math>\angle ADC</math>, bzw. <math>\angle DFH</math>, bzw. <math>\angle CDF</math>. Dann gilt: <math>\alpha=\beta</math>.

Durch Addition von <math>\gamma</math> auf beiden Seiten dieser Gleichung erhält man: <math>\beta+\gamma=\alpha+\gamma</math> = 180°.

Damit ist bewiesen, dass die Punkte <math>A</math>, <math>D</math> und <math>F</math> auf einer gemeinsamen [[Gerade]]n liegen.<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 49</ref>

=== Halbkreise ===
==== Formulierung ====
[[Datei:Archimedes Halbkreise.svg|mini|hochkant=1.5|Halbkreise, <math>\overline{DF}=\overline{FE}</math>]]
Gegeben sei ein Punkt <math>D</math> auf einem Halbkreis mit dem [[Durchmesser]] <math>\overline{AB}</math>, dessen [[Tangente]]n in den Punkten <math>B</math> und <math>D</math> sich im Punkt <math>T</math> schneiden. <math>E</math> sei der [[Fußpunkt]] des [[Lot (Mathematik)|Lotes]] von <math>D</math> auf <math>AB</math> und <math>F</math> der [[Schnittpunkt]] dieses Lotes mit der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>AT</math>.

Dann ist <math>F</math> der Mittelpunkt von <math>DE</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 2. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/457/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=457}}</ref>

==== Herleitung ====
Der Schnittpunkt der Verlängerungen von <math>AD</math> und <math>BT</math> über <math>D</math>, bzw. <math>T</math> hinaus sei <math>H</math>. Nach dem [[Satz des Thales]] sind die Winkel <math>\angle ADB</math> und damit auch <math>\angle BDH</math> jeweils [[Rechter Winkel|rechte Winkel]]. Da somit <math>D</math> auf dem Thaleskreis über <math>BH</math> mit dem [[Mittelpunkt]] <math>T</math> liegt, gilt <math>\overline{BT}=\overline{TD}</math> und <math>\overline{BT}=\overline{TH}</math>. Da wegen der [[Parallelität (Geometrie)|Parallelität]] von <math>DE</math> und <math>BH</math> die [[Dreieck]]e <math>AED</math> und <math>ABH</math> ähnlich zueinander sind und <math>T</math> der Mittelpunkt von <math>BH</math> ist, gilt auch, dass <math>F</math> der Mittelpunkt von <math>DE</math> ist.<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 34</ref>

=== Arbelos und Salinon ===
{{Hauptartikel|Arbelos}}
{{Hauptartikel|Salinon}}
Im Besonderen werden die beiden komplexeren, jeweils aus mehreren Halbkreisen bestehenden [[Geometrische Figur|geometrischen Figuren]] Arbelos und Salinon eingeführt: Der Arbelos selbst in Satz 4,<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 4. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/458/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=458}}</ref> die [[Zwillingskreise des Archimedes]] in Satz 5,<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 5. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/459/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=459}}</ref> der [[Inkreis]] des Arbelos (der wiederum in Beziehung zur [[Pappos-Kette]] steht, wie Kliem in einer [[Fußnote]] anmerkt)<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 6. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/462/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=462}}</ref> in Satz 6.<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 6. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/461/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=461}}</ref>

<gallery widths="250">
Arbelos.svg|Arbelos
Arbelos Archimedes Twin Circles.png|Zwillingskreise
Pappus Chain3.svg|Pappos-Kette
Salinon shaded.svg|Salinon
</gallery>

=== Quadrat, umschreibender und einbeschreibender Kreis ===
==== Formulierung ====
[[Datei:01 Quadrat mit Um- und Inkreis nach Archimedes.svg|mini|hochkant=1.2|Quadrat mit Um- und Inkreis, <math>A_{k_u}:A_{k_i} = A_{Q_{AB}}:A_{Q_{CD}} = 2 : 1</math>]]
Wird ein Kreis einem Quadrat umschrieben und ein anderer einbeschrieben, so ist der umschriebene Kreis das Doppelte des einbeschriebenen.<ref name="F.Kliem">{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 7. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/463/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=463}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Giovanni A. Borelli et al. |Titel=Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber |TitelErg=Propositio VII |Verlag=Ex Typographia Iosephi Cocchini ... |Online=https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/437/ |Ort=Florenz |Datum=1661 |Seiten=398–399}}</ref>

==== Herleitung ====
Das Verhältnis des Umkreises (umschreibender Kreis) zum Inkreis (einbeschreibender Kreis) ist gleich dem Quadrat über der Diagonale <math>\overline{AB}</math> zu dem Quadrat mit der Seitenlänge <math>\overline{CD}</math>, d. h. deren Flächen verhalten sich wie <math>2 : 1.</math><ref name="F.Kliem" />

'''Beispiel'''

Sei ein Quadrat mit der Seitenlänge gleich <math>2</math>, dann hat der Umkreis <math>k_u</math> mit Radius gleich <math>\sqrt{2}</math> den Flächeninhalt (Flächeneinheit <math> = [FE]</math>)
:<math>A_{k_u} = \sqrt{2}^2\cdot\pi = 2\pi\; [FE]</math>
und der Inkreis <math>k_i</math> mit Radius gleich <math> 1</math> den Flächeninhalt
:<math>A_{k_i} = 1^2\cdot\pi = \pi\; [FE].</math>
Das Quadrat mit der Seitenlänge <math>\overline{CD} = 2</math> hat den Flächeninhalt
:<math>A_{Q_{CD}} = 2^2 = 4\; [FE]</math>
Das Quadrat über seiner Diagonale <math>\overline{AB}</math> mit der Seitenlänge <math>\overline{AB} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} </math>
hat den Flächeninhalt
:<math>A_{Q_{AB}} = \sqrt{8}^2 = 8\; [FE],</math>
daraus folgt
:<math>A_{k_u}:A_{k_i} = A_{Q_{AB}}:A_{Q_{CD}} = 2 : 1.</math>

=== Dreiteilung des Winkels, Neusis-Konstruktion ===
{{Hauptartikel|Dreiteilung des Winkels}}
[[Datei:01 Dreiteilung des Winkels-Archimedes-Original.svg|mini|hochkant=1.7|Beweisskizze, Dreiteilung des Winkels,<math>\angle{FOD} = 180^\circ - [(90^\circ - \beta) + (90^\circ - \beta)] = 2\beta</math>]]
==== Formulierung ====
''Ist AB eine Sehne eines Kreises, dessen Mittelpunkt O ist, und wird AB bis C so verlängert, daß BC gleich dem Radius ist, trifft ferner CO den Kreis in D und verlängert zum zweitenmal in E, so ist der Bogen AE das Dreifache des Bogens BD.''<ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 8. |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/463/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=463}}</ref>

==== Herleitung ====
Zur Verdeutlichung wird noch die [[Parallelität (Geometrie) |Parallele]] <math>\overline{EF}</math> zur [[Sehne (Geometrie)|Sehne]] <math>\overline{AB}</math> gezogen und der Mittelpunkt <math>O</math> mit <math>F</math> und <math>B</math> verbunden. Wegen des sogenannten [[Winkel#Wechselwinkel oder Z-Winkel|Z-Winkels]] sind die Winkel an den Scheiteln <math>C</math> und <math>E</math> gleich.

Da im [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] <math>EFO</math> die Basiswinkel an den Scheiteln <math>E</math> und <math>F</math> gleich sind, hat der Winkel am Scheitel <math>O</math> des Dreiecks <math>FDO</math> – nach dem [[Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)|Kreiswinkelsatzes]] – die doppelte [[Winkel]]weite eines Basiswinkels.

Winkel am Scheitel <math>O</math> des Dreiecks <math>FDO</math> anhand der Winkelsumme <math>180^\circ:</math>
:<math>\angle{FOD} = 180^\circ - [(90^\circ - \beta) + (90^\circ - \beta)] = 2\beta,</math>
daraus und wegen <math>\overline{EF}</math> parallel zu <math>\overline{AC}</math> folgt
:<math>\angle{FOB}</math> und <math>\angle{AOE} = 3\beta.</math>

==== Neusis-Konstruktion ====
[[Datei:01 Dreiteilung des Winkels-Neusiskonstruktion.svg|mini|hochkant=1.7|Neusis-Konstruktion, Dreiteilung des Winkels mit Handhabung des markierten Lineals in Beweisskizze]]
{{Hauptartikel|Neusis-Konstruktion}}
Für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels bedarf es einer Neusis-Konstruktion. Archimedes ließ die Vorgehensweise der sogenannten ''Einschiebung'' (Neusis) offen.<ref>{{Literatur |Autor=Giovanni A. Borelli et al. |Titel=Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber |TitelErg=Notae in Proposit. VIII |Verlag=Ex Typographia Iosephi Cocchini ... |Online=https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/439/ |Ort=Florenz |Datum=1661 |Seiten=400}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Fritz Kliem |Titel=Archimedes’ Werke| TitelErg=Satz 8., Fußnote 1) |Online=https://archive.org/details/werke00arch/page/463/mode/1up?view=theater |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914|Sprache=de |Seiten=463}}</ref>

Um die Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals (Radius <math>r</math>, grün) in der Beweisskizze nach Archimedes zu verdeutlichen, wird der Winkelschenkel <math>\overline{FO}</math> über die Kreislinie hinaus verlängert. Der Schnittpunkt mit der Kreislinie ist <math>G</math>. Mit der Annahme die Strecke <math>\overline{AB}</math> wäre nicht vorhanden – somit nur <math>\overline{BC}</math> – legt man das [[Lineal]] auf die Zeichnung. Es folgt das Vorpositionieren des Lineals mit der Kante auf den Punkt <math>B</math> und der Ecke auf die Verlängerung des Winkelschenkels <math>\overline{FO}</math>. Abschließend wird die Ecke bzw. Kante des Lineals soweit an der Verlängerung und am Punkt <math>B</math> entlanggeführt, bis die Markierung (grün) die Kreislinie in <math>A</math> schneidet und die Länge der Strecke <math>|\overline{AH}|</math> gleich <math>r</math> ist.

Somit ist der Kreisbogen <math>OAG</math> ein Drittel des Kreisbogens <math>OFB</math> und der Winkel <math>\beta</math> bei <math>H</math> der gesuchte Drittelwinkel.

=== Überblick ===
Einen vollständigen Überblick über die zentralen Themen der 15 Hilfssätze gibt die folgende Auflistung:
* Satz 1: Berührende Kreise und [[Parallelität (Geometrie)|parallele]] Durchmesser
* Satz 2: Halbkreis, Durchmesser, Tangente, Sekante
* Satz 3: Halbkreis, Senkrechte zum Durchmesser, Sehnen
* Satz 4: Halbkreise, Senkrechte zum Durchmesser, Arbelos
* Satz 5: Arbelos, [[Zwillingskreise des Archimedes]], [[Halbkreis]]e, Kreise
* Satz 6: Arbelos, Halbkreise, Kreis
* Satz 7: Quadrat, umschreibender und einbeschreibender Kreis
* Satz 8: Dreiteilung des Winkels, Neusis-Konstruktion
* Satz 9: Senkrechte [[Sehne (Geometrie)|Sehnen]], [[Kreisbogen|Bogensumme]]
* Satz 10: Tangenten an einen Kreis, Sekanten und Sehnen, Parallelen
* Satz 11: Senkrechte Sehnen und Radius
* Satz 12: Halbkreis, Durchmesser, Sehnen, Tangenten, Senkrechte
* Satz 13: Kreis, Durchmesser, Sehne, Senkrechte
* Satz 14: Salinon: Halbkreise, Senkrechte, Kreise, Flächen
* Satz 15: Kreis, Durchmesser, einbeschriebenes regelmäßiges [[Fünfeck]], Bogen, [[Mittelpunkt]], Senkrechte, Radius<ref>[https://gogeometry.com/ArchBooLem00.htm Geometry: Archimedes’ Book of Lemmas Index] aus ''gogeometry.com'', abgerufen am 11. Dezember 2022</ref>

== {{Anker|Kugel}} Weiteres archimedisches Werk aus der Stereometrie ==
[[Datei:01-Volumenvergleich Kugel - Zylinder.svg|mini|hochkant=1.2|Umbeschreibt ein Zylinder mit dem Radius <math>r</math> und der Höhe <math>2r</math> eine Kugel mit dem gleichen Radius <math>r,</math> dann stehen deren Volumina im Verhältnis<br /><math>V_K : V_Z = \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2} \Rightarrow V_K : V_Z = 2 : 3</math>]]
In einem weiteren Werk ''[[Über Kugel und Zylinder]]'' (Originaltitel περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου, latinisiert ''De Sphaera et Cylindro'') behandelte Archimedes ein [[Theorem]] der [[Stereometrie]], ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Geometrie]]. Mit ihm bestimmte Archimedes als Erster mit Hilfe von Methoden, welche als Vorläufer der Methoden der modernen [[Integralrechnung]] gelten,<ref name="Eves: S. 85">Eves: S. 85</ref> den exakten Zusammenhang zwischen [[Volumen]] und [[Flächeninhalt|Oberfläche]] von [[Kugel]] und [[Zylinder (Geometrie)|Kreiszylinder]].

=== Verwandter Satz ===
Der folgende Satz wird manchmal auch als '''Satz des Archimedes''' bezeichnet:<ref>{{Literatur |Autor=Hugo Fenkner, Karl Holzmüller |Titel=Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil |Auflage=12. |Verlag=Verlag von Otto Salle |Ort=Berlin |Datum=1926 |Seiten=347}}</ref>
: ''Das Volumen einer [[Halbkugel]] ist gleich der Differenz der Volumina des umgebenden Kreiszylinders und des darin enthaltenen Kreiskegels gleicher Höhe und gleicher Grundfläche.''

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor= [[Giovanni Alfonso Borelli|Giovanni A. Borelli]] et al. |Titel=Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI, VII & Archimedis Assumptorum Liber |TitelErg=IO:Alfonsi Borelli, praefatio ad Lectorem |Verlag=Ex Typographia Iosephi Cocchini ... |Online=[https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/5/ Titelblatt], [https://dlc.mpg.de/fullscreen/868386715/418/ S. 379] |Ort=Florenz |Datum=1661 |Seiten=379–413}}
* {{Literatur |Autor=[[Thomas Heath|Thomas L. Heath]] |Titel=The Works of Archimedes |Online=[https://www.aproged.pt/biblioteca/worksofarchimede.pdf#page=7&zoom=auto,-113,566 Titelblatt], [https://www.aproged.pt/biblioteca/worksofarchimede.pdf#page=27&zoom=auto,-110,510 Chapter II S. xxxii], [https://www.aproged.pt/biblioteca/worksofarchimede.pdf#page=493&zoom=auto,-110,565 S. 301] |Verlag=University of Cambridge, Cambridge 1897|Ort=Cambridge |Datum=1897|Sprache=en |Seiten=xxxii, 301–318}}
* {{Literatur |Autor=[[Fritz Kliem]] |Titel=Archimedes’ Werke : Mit modernen Bezeichnungen / hrsg. u. mit e. Einl. versehen von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Fritz Kliem |Online=[https://archive.org/details/werke00arch/page/456/mode/2up?view=theater S. 456] |Verlag=Verlag von 0. Häring |Ort=Berlin |Datum=1914 |Sprache=de |Seiten=456–470}}
* {{Literatur |Autor=[[Asger Aaboe]] |Titel=Episodes from the Early History of Mathematics |Reihe=New Mathematical Library |BandReihe=13 |Verlag=The Mathematical Association of America |Ort=Washington, D.C. |Datum=1998 |ISBN=0-88385-613-1 |Seiten=77}}
* {{Literatur
|Autor=Archimedes
|Titel=Werke. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von [[Arthur Czwalina]]. Im Anhang: Kreismessung / Übersetzt von F. Rudio - Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen / Übersetzt von J. L. Heiberg und kommentiert von H. G. Zeuthen. 3., unveränderter reprografischer Nachdruck
|Auflage=3.
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1972
|ISBN=3-534-02029-4}}
* {{Literatur
|Autor=[[Eduard Jan Dijksterhuis|E. J. Dijksterhuis]]
|Titel=Archimedes (translated by C. Dikshoorn)
|Verlag=Princeton University Press
|Ort=Princeton NJ
|Datum=1987
|ISBN=0-691-08421-1}}
* {{Literatur
|Autor=Howard Eves
|Titel=Great Moments in Mathematics (Before 1650)
|Reihe=The Dolciani Mathematical Expositions
|BandReihe=5
|Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
|Ort=Washington
|Datum=1980
|ISBN=0-88385-305-1}}
* {{Literatur
|Autor=H. Fenkner
|Titel=Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil
|Auflage=12.
|Verlag=Verlag von Otto Salle
|Ort=Berlin
|Datum=1926}}
* {{Literatur
|Autor=[[Herbert Meschkowski]]
|Titel=Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik
|Verlag=Vieweg Verlag
|Ort=Braunschweig
|Datum=1990
|ISBN=3-528-28179-0}}
* [[Great Books of the Western World]], Band 11: ''Book of Lemmas'', [[Encyclopædia Britannica]], 1952

== Weblinks ==
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml The Book of Lemmas] aus ''cut-the-knot.org'', abgerufen am 11. Dezember 2022

=== Digitalisate ===
[[Faksimile]]s der lateinischen (''Liber Assumptorum''), der englischen (''Book of Lemmas'') und der deutschen (''Buch der Hilfssätze'') Fassung sind als [[Digitalisierung|Digitalisate]] verfügbar, und zwar jeweils zum Online-Lesen und zum Download als PDF-Dokument.
* Borelli et al.: [http://www.e-rara.ch/zut/content/structure/2584798 ''Apollonii Pergaei Conicorum ...''] (''Liber Assumptorum'' ab Seite 379) bei der [[ETH Zürich]]
* Heath: [http://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp ''The Works of Archimedes''] (''Book of Lemmas'' ab Seite 301), im [[Internet Archive]]
* Kliem: [http://archive.org/details/werke00arch ''Archimedes’ Werke ...''] (''Buch der Hilfssätze'' ab Seite 456), im [[Internet Archive]]

=== Visualisierungen ===
* {{Internetquelle |url=http://agutie.homestead.com/files/ArchBooLem00.htm |titel=Archimedes’ Book of Lemmas |hrsg=Geometry Step by Step from the Land of the Incas |zugriff=2012-04-21}} – Diagramme
* {{Internetquelle |autor=Alexander Bogomolny |url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml |titel=The Book of Lemmas |hrsg=Cut The Knot |zugriff=2012-04-21}} – interaktive [[Java-Applet]]s

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Archimedes]]
[[Kategorie:Geschichte der Mathematik]]
[[Kategorie:Literarisches Werk]]
[[Kategorie:Literatur (Altgriechisch)]]
[[Kategorie:Literatur der Antike]]
[[Kategorie:Sachliteratur (Mathematik)]]

Buch der Lemmata - Versionsgeschichte

imported>Phzh: /* Autorschaft */ Form, typo