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2025-11-21T21:37:48Z

Abschätzung: Tippfehler

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Die '''Brunsche Konstante''' ist eine [[mathematische Konstante]] aus dem Bereich der [[Analytische Zahlentheorie|Analytischen Zahlentheorie]]. Benannt ist sie nach dem [[Norwegen|norwegischen]] [[Mathematiker]] [[Viggo Brun]], welcher ihre Existenz durch Verwendung des nach ihm benannten [[Siebtheorie|Siebes]] bewiesen hat.

== Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge ==
Im Jahr 1919 zeigte der [[Mathematiker]] Viggo Brun, dass die Summe der [[Kehrwert]]e aller [[Primzahlzwilling]]e (Paare von [[Primzahl]]en, deren Differenz 2 beträgt) [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Der Grenzwert <math>B_2</math> dieser Summe wird '''Brunsche Konstante''' für Primzahlzwillinge genannt:

: <math> B_2 = \!\!\! \sum\limits_{p,\, p+2 \,\in\, \mathbb{P} }\! \left(\tfrac1{p} \!+\! \tfrac1{p+2}\right)
= \left(\tfrac1{3} \!+\! \tfrac1{5}\right) + \left(\tfrac1{5} \!+\! \tfrac1{7}\right) + \left(\tfrac1{11} \!+\! \tfrac1{13}\right)
+ \left(\tfrac1{17} \!+\! \tfrac1{19}\right) + \left(\tfrac1{29} \!+\! \tfrac1{31}\right) + \dotsb </math>

Dieses Ergebnis der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]] ist auf den ersten Blick überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen [[Divergente Folge|divergiert]], wie bereits im 18. Jahrhundert von [[Leonhard Euler]] bewiesen wurde. Wäre auch <math>B_2</math> divergent, hätte man einen Beweis für die bis heute offene Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (1849 von [[Alphonse de Polignac]] (1817–1890)). Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht auf das Gegenteil schließen.

=== Abschätzung ===

{| class="wikitable float-right" style="text-align:left; font-size:90%"
! Jahr !! <math>B_2</math> !! <math>p \leq </math> !! Autor
|-
| 1966 || 1,90216 || 1 · 109 || [[Thomas Ray Nicely|T. R. Nicely]]
|-
| 1976 || 1,902160540 || 1 · 1011 || [[Richard Peirce Brent|R. P. Brent]]
|-
| 1996 || 1,902160578 || 1 · 1014 || T. R. Nicely
|-
| 2002 || 1,902160583104 || 1 · 1016 || P. Sebah, P. Demichel
|-
| 2010 || 1,902160583209 || 2 · 1016 || T. R. Nicely
|}

Die Idee zur Abschätzung besteht darin, die Summation zunächst so weit wie möglich durchzuführen und dann den fehlenden Rest abzugeschätzen. So haben [[Daniel Shanks]] (1917–1996) und [[John William Wrench, Jr.]] (1911–2009) alle Primzahlzwillinge unterhalb <math>2 \cdot 10^6</math> benutzt.

Eine Schätzung
: <math> B_2 \approx 1{,}90216\ 05831\ 04 \qquad </math> ({{OEIS|A065421}})

stammt von [[Pascal Sebah (Mathematiker)|Pascal Sebah]] und [[Patrick Demichel]] aus dem Jahr 2002, der hierfür alle Primzahlzwillinge bis <math>10^{16}</math> betrachtete. Die Berechnung von <math>B_2</math> ist allerdings außerordentlich schwierig, zum einen, da die Reihe sehr langsam konvergiert, zum anderen, da das Auffinden aller großen Primzahlzwillinge äußerst aufwändig ist (''siehe auch:'' [[Primzahltest]]s).

Die bislang genaueste Abschätzung ist (Stand 16. März 2010)<ref name="nicely">Thomas R. Nicely: [http://www.trnicely.net/counts.html ''Prime Constellations Research Project''.] 16. März 2010</ref>

: <math> B_2 = 1{,}90216\ 05832\ 09 \pm 0{,}00000\ 00007\ 81\,. </math>

Es wurde die Summe der Kehrwerte aller 19.831.847.025.792 Primzahlzwillinge <math>(p, p+2)</math> mit
<math>p+2 < 2 \cdot 10^{16}</math> berechnet:

: <math> \sum\limits_{p,\,p+2 \,\in\,\mathbb{P} \atop p \,<\, 2\cdot 10^{16}} \left(\tfrac1{p} \!+\! \tfrac1{p+2}\right)
= 1{,}83180\ 80634\ 32379\ 01198\ 41239\ 12086\ 74712\ 537\ldots</math>

und der Restterm abgeschätzt.

=== (Nichtnumerische) Berechnung ===

Deutlich schlechter sehen die Ergebnisse der (nichtnumerischen) Berechnung der Brunschen Konstante aus.
2025 gelang es [[Lachlan Dunn]], aber nur unter Annahme der nicht bewiesenen [[Riemannsche_Vermutung#Verallgemeinerte_Riemannsche_Vermutung|Verallgemeinerten Riemannschen Vermutung]]

: <math> B_2 < 2{,}1609 </math>

abzuschätzen.<ref>[https://arxiv.org/abs/2504.15658 Improved Upper Bound on Brun's Constant Under GRH]</ref>

== Brunsche Konstante für Primzahldrillinge ==
Neben <math>B_2</math> gibt es noch zwei weitere Brunsche Konstanten <math>B_{3a}</math> und <math>B_{3b}</math> für [[Primzahldrilling]]e.

Die ersten drei Primzahldrillinge der Form <math>(p, p+2, p+6)</math> sind <math>(5, 7, 11)</math>, <math>(11, 13, 17)</math> und <math>(17, 19, 23)</math>. Auch in diesem Fall konvergiert die Summe und es gilt (Stand 16. März 2010):<ref name="nicely" />

: <math>B_{3a}
= \left(\tfrac1{5} \!+\! \tfrac1{7} \!+\! \tfrac1{11}\right)
+ \left(\tfrac1{11} \!+\! \tfrac1{13} \!+\! \tfrac1{17}\right)
+ \left(\tfrac1{17} \!+\! \tfrac1{19} \!+\! \tfrac1{23}\right) + \dotsb \;\;\approx 1{,}09785\ 10396\ 79
</math>

Die ersten drei Primzahldrillinge der Form <math>(p, p+4, p+6)</math> sind <math>(7, 11, 13)</math>, <math>(13, 17, 19)</math> und <math>(37, 41, 43)</math>. Die Summe konvergiert ebenfalls und es gilt (Stand 16. März 2010):<ref name="nicely" />

: <math>B_{3b}
= \left(\tfrac1{7} \!+\! \tfrac1{11} \!+\! \tfrac1{13}\right)
+ \left(\tfrac1{13} \!+\! \tfrac1{17} \!+\! \tfrac1{19}\right)
+ \left(\tfrac1{37} \!+\! \tfrac1{41} \!+\! \tfrac1{43}\right) + \dotsb \;\;\approx 0{,}83711\ 32124\ 11
</math>

== Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge ==
Neben <math>B_2</math> gibt es noch die Brunsche Konstante <math>B_4</math> für [[Primzahlvierling]]e, Paare von Primzahlzwillingen, die einen Abstand von 4 haben (dies ist der kleinstmögliche Abstand zweier Primzahlzwillinge zueinander). Die ersten drei Primzahlvierlinge sind
<math>(5, 7, 11, 13)</math>, <math>(11, 13, 17, 19)</math> und <math>(101, 103, 107, 109)</math>, also

: <math> B_4
= \left(\tfrac1{5} \!+\! \tfrac1{7} \!+\! \tfrac1{11} \!+\! \tfrac1{13}\right)
+ \left(\tfrac1{11} \!+\! \tfrac1{13} \!+\! \tfrac1{17} \!+\! \tfrac1{19}\right)
+ \left(\tfrac1{101} \!+\! \tfrac1{103} \!+\! \tfrac1{107} \!+\! \tfrac1{109}\right) + \dotsb </math>

Da alle Summanden von <math>B_4</math> auch in <math>B_2</math> vorkommen und bis auf <math>\tfrac1{11}</math> und <math>\tfrac1{13}</math> keine Summanden doppelt vorhanden sind, konvergiert auch diese Reihe. Sie hat den Wert (Stand 16. März 2010)<ref name="nicely" />

: <math> B_4 = 0{,}87058\ 83799\ 75 \pm 0{,}00000\ 00001\ 14 \qquad </math> ({{OEIS|A213007}}).

== Trivia ==
* 1994 entdeckte [[Thomas Ray Nicely|Thomas R. Nicely]] bei einer Abschätzung von <math>B_2</math> über alle Primzahlzwillinge bis 1014 den sogenannten [[Pentium-FDIV-Bug]].
* Gelegentlich wird die Aussage über die Konvergenz der Summe der Reziproken aller Primzahlzwillinge (also die Existenz und [[Berechenbarkeit]] der Brunschen Konstanten) als ''Brunscher Witz'' bezeichnet. Der mathematische Witz liegt darin, dass trotz des präzisen Ergebnisses von Brun die eigentlich interessierende Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, offenbleibt (und die bejahende Vermutung bis heute nicht bewiesen werden konnte).

== Literatur ==
* [[Viggo Brun]]: ''La série <math>\textstyle\frac1{5} \!+\! \frac1{7} \!+\! \frac1{11} \!+\! \frac1{13} \!+\! \frac1{17} \!+\! \frac1{19} \!+\! \frac1{29} \!+\! \frac1{31} \!+\! \frac1{41} \!+\! \frac1{43} \!+\! \frac1{59} \!+\! \frac1{61} \!+\! \dotsb\;</math> où les dénominateurs sont «nombres premiers jumeaux» est convergente ou finie'', Bulletin des Sciences Mathématiques 43, 1919, S. 100–104, 124–128 (französisch; bei Gallica: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k486270d.image.f110 gallica.bnf.fr])

== Siehe auch ==
* [[Zwillingssätze von Brun]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=BrunsConstant |title=Brun’s Constant}}
* Thomas R. Nicely: [http://www.trnicely.net/counts.html ''Prime Constellations Research Project''.]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Besondere Zahl]]

Brunsche Konstante - Versionsgeschichte

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