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2024-05-23T22:06:25Z

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{{Quelle}}
Der '''Bruchpunkt''' (engl. breakdown point)<ref>{{Literatur |Autor=Lutz Dümbgen |Titel=Einführung in die Statistik |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel |Datum=2015 |ISBN=9783034800044 |Seiten=94 |Online={{Google Buch |BuchID=jwacCgAAQBAJ |Seite=94}} }}</ref> ist eine Kennzahl für die [[Robuste Schätzverfahren|Robustheit]] eines [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzers]]. Der Bruchpunkt gibt dabei den Anteil der Daten an, der benötigt wird, um das Ergebnis des Schätzers beliebig zu verfälschen. Man sagt dann, dass der Schätzer zusammenbricht.

== Endlicher Bruchpunkt ==
Der endliche Bruchpunkt (engl. finite sample break down point)<ref>{{Literatur |Titel=Encyclopedia of Statistical Sciences |TitelErg= |Hrsg=Samuel Kotz, N. Balakrishnan, Campbell B. Read, Brani Vidakovic |Auflage=2 |Verlag=Wiley-Interscience |Ort=Hoboken, N.J. |Datum=2006 |Sprache=en |ISBN=9780471743910 |Seiten=664 |Online={{Google Buch |BuchID=2ZdKEAAAQBAJ |Seite=662}} }}</ref> ist der kleinste Anteil von <math>n</math> Beobachtungen, der den Schätzer zusammenbrechen lässt. Er wird mit <math>\varepsilon^*_n</math> bezeichnet.

Das [[Mittelwert|arithmetische Mittel]] z. B. hat einen endlichen Bruchpunkt von <math>\varepsilon^*_n = \frac{1}{n}</math>, da bereits ein genügend großer Ausreißer reicht, um seinen Wert beliebig in die Höhe zu treiben. Beim <math>\alpha</math>-getrimmten Mittel müssen bereits mehr als <math>\lfloor\alpha n\rfloor</math> Stichproben Ausreißer sein, um einen Einfluss auf die Schätzung zu haben. Der Bruchpunkt liegt also bei
<math>\varepsilon^*_n = \frac{\lfloor\alpha n\rfloor + 1}{n}</math>

== Asymptotischer Bruchpunkt ==
Der asymptotische Bruchpunkt, meist einfach nur als der Bruchpunkt bezeichnet, gibt den relativen Anteil der zur Verfälschung der Schätzung benötigten Daten an. Er wird meist mit <math>\varepsilon^*</math> bezeichnet.
Ihn erhält man, indem man die Anzahl der Beobachtungen beim endlichen Bruchpunkt gegen unendlich streben lässt, also
<math>\varepsilon^* = \lim_{n \to \infty}\varepsilon^*_n</math>

Somit ergibt sich für das arithmetische Mittel ein Bruchpunkt von <math>\varepsilon^* = 0</math> und für das <math>\alpha</math>-getrimmte Mittel ein Bruchpunkt von <math>\varepsilon^* = \alpha</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Schätztheorie]]

Bruchpunkt - Versionsgeschichte

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