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Unter einer '''Bruchgleichung''' versteht man in der (Schul-)[[Algebra]] eine [[Bestimmungsgleichung]] mit mindestens einem [[Bruchrechnung|Bruchterm]], der die Unbekannte im [[Nenner]] enthält.<ref name="Pfeifer36">{{Literatur | Autor = Andreas Pfeifer | Titel = Kompaktkurs Mathematik | Jahr = 2007 | Verlag = Oldenbourg | Ort = München | ISBN = 978-3-486-58291-8 | Seiten = 36 }}</ref>

Durch [[Multiplikation]] mit dem [[Hauptnenner]] kann man eine Bruchgleichung auf einen einfacheren Gleichungstyp zurückführen.<ref name="Pfeifer36" />

== Beispiel ==

:<math>\frac{2x+1}{4x^2-9} - \frac{2-x}{2x^2+3x} \, = \, \frac{1}{x}</math>

Als Grundmenge wird die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] vorausgesetzt, d. h., es werden rationale Zahlen gesucht, die diese Gleichung erfüllen.

Zunächst muss der Hauptnenner der drei Nenner bestimmt werden, da die Gleichung mit diesem multipliziert werden soll. Man zerlegt daher die Nenner in [[Multiplikation|Faktoren]]:

:<math>4x^2-9 \, = \, (2x+3)(2x-3)</math>   | Anwendung der [[Binomische Formel|binomischen Formel]] <math>(a+b)(a-b) \, = \, a^2-b^2</math>

:<math>2x^2+3x \, = \, x(2x+3)</math>   | [[Ausklammern]]

:<math>\frac{2x+1}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{2-x}{x(2x+3)} \, = \, \frac{1}{x}</math>

In dieser Form ist der maximal zulässige [[Definitionsbereich]] <math>D</math> der Gleichung erkennbar. Er ist gleich der Menge der rationalen Zahlen mit Ausnahme derjenigen Zahlen, für die beim Einsetzen in die Gleichung mindestens ein Nenner gleich 0 wird. Wegen des Faktors <math>x</math> ist die Zahl 0 „verboten“, wegen des Faktors <math>(2x+3)</math> die Zahl <math>-\tfrac{3}{2}</math> und wegen des Faktors <math>(2x-3)</math> die Zahl <math>\tfrac{3}{2}</math>.

:<math>D \, = \, \Q \setminus \left\{0; -\,\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right\}</math>

Außerdem sieht man nun, dass die Gleichung (und damit jeder [[Summand]] der Gleichung) mit dem Hauptnenner

:<math>HN \, = \, x(2x+3)(2x-3)</math>

zu multiplizieren ist.

:<math>\frac{2x+1}{(2x+3)(2x-3)} \cdot x(2x+3)(2x-3) - \frac{2-x}{x(2x+3)} \cdot x(2x+3)(2x-3) \, = \, \frac{1}{x} \cdot x(2x+3)(2x-3)</math>

Hinter dieser Multiplikation steckt die Absicht, in den Zählern und Nennern der Bruchterme die gemeinsamen Faktoren [[Kürzen|herauszukürzen]] und so die Bruchterme zu beseitigen.

:<math>(2x+1) \cdot x - (2-x) \cdot (2x-3) \, = \, 1 \cdot (2x+3)(2x-3)</math>

Diese Gleichung lässt sich nunmehr durch [[Ausmultiplizieren]] und Zusammenfassen gleichartiger Terme weiter vereinfachen:

:<math>(2x^2+x) - (4x-6-2x^2+3x) \, = \, 4x^2-9</math>

:<math>2x^2+x-4x+6+2x^2-3x \, = \, 4x^2-9</math>

:<math>4x^2-6x+6 \, = \, 4x^2-9</math>

Die quadratischen Summanden <math>4x^2</math> fallen heraus, wenn man sie von beiden Seiten der Gleichung [[Subtraktion|subtrahiert]].

:<math>-6x+6 \, = \, -9</math>

Beidseitige Subtraktion der Zahl 6 führt zu:

:<math>-6x \, = \, -15</math>.

Anschließende beidseitige [[Division (Mathematik)|Division]] durch −6 ergibt die Lösung.

:<math>x \, = \, \frac{-15}{-6} \, = \, \frac{5}{2}</math>.

An dieser Stelle muss sicherheitshalber noch überprüft werden, ob die berechnete Zahl Element des Definitionsbereichs (siehe oben) ist. Dies trifft zu, und man erhält als [[Lösungsmenge]]:

:<math>L \, = \, \left\{\frac{5}{2}\right\}</math>

==Siehe auch==

* [[Lösen von Gleichungen]]

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Elementare Algebra]]

Bruchgleichung - Versionsgeschichte

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