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2025-04-18T10:30:53Z

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[[Datei:Brocard point.svg|miniatur|hochkant=1|rechts|Der erste Brocard-Punkt ''P'']]
'''Brocard-Punkte''' sind spezielle Punkte im [[Dreieck]]; benannt nach dem französischen Mathematiker [[Henri Brocard]] (1845–1922), der bei ihrer Definition auftretende spezielle Winkel wird als '''Brocard-Winkel''' bezeichnet.

== Definition ==
Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:

In einem Dreieck <math>\Delta ABC</math> mit den Seiten <math>a, b, c</math> gibt es genau einen Punkt <math>P</math> derart, dass die Strecken <math>\overline{AP}, \overline{BP}, \overline{CP}</math> der Reihe nach mit den Seiten <math>c, a, b</math> den gleichen Winkel <math>\omega</math> einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> gilt. Dieser Punkt <math>P</math> heißt der ''erste Brocard-Punkt'' und der Winkel <math>\omega</math> heißt der ''Brocard-Winkel'' des Dreiecks <math>\Delta ABC</math>.

Es gibt noch einen ''zweiten Brocard-Punkt'' des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt ''Q'', für den die Strecken {{Overline|AQ}}, {{Overline|BQ}}, {{Overline|CQ}} der Reihe nach mit den Seiten ''b'', ''c'', ''a'' gleiche Winkel einschließen, d. h. für den <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math> gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> ist dem Winkel <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math> gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

Vor Brocard wurden sie schon von [[August Leopold Crelle]] (1817) und [[Karl Friedrich Andreas Jacobi]] (1825) untersucht.

== Konstruktion ==
[[Datei:01-Brocard-Punkte.svg|mini|350px|Konstruktion des ersten (P) und des zweiten (Q) Brocard-Punktes]]

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes ''P'' beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbögen ersetzt), geht folgendermaßen:

Man schneidet die Mittelsenkrechte ''ms<sub>1</sub>'' der Seite {{Overline|AB}} mit der Senkrechten ''s<sub>1</sub>'' zu der Seite {{Overline|BC}} durch den Punkt ''B''. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt ''B'' geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt ''A'' und berührt die Seite {{Overline|BC}} im Punkt ''B''. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte ''C'' und ''B'', der die Seite {{Overline|CA}} im Punkt ''C'' berührt, und einen Kreis durch die Punkte ''A'' und ''C'', der die Seite {{Overline|AB}} im Punkt ''A'' berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt ''P'' – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!

Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt ''Q'' (grün gestrichelte Linien).

== Formeln für den Brocard-Winkel ==

Schreibt man <math>A_\Delta</math> für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:
* <math> \tan \omega = \frac {4A_\Delta}{a^2+b^2+c^2}</math>.<ref name="Grundmann-Brocardpunkte">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=90-93}}</ref>
* <math>\cot\omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma</math>.<ref name="Grundmann-Brocardpunkte" />
* <math>\sin \omega = \frac{2A_\Delta}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}</math>
Für jedes Dreieck gilt <math>\omega \leq 30^\circ</math>.

== Eigenschaften ==

* Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander [[Isogonal konjugierte Punkte|isogonal konjugiert]].
* Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte ([[Kimberling-Nummer]] X(39)) liegt auf der sogenannten [[Brocard-Achse]], die den [[Umkreis]]mittelpunkt und den [[Lemoinepunkt|Lemoine-Punkt]] verbindet. Die [[Verbindungsgerade]] der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des ersten bzw. zweiten Brocard-Punkts sind
:<math>\frac{c}{b} \, : \, \frac{a}{c} \, : \, \frac{b}{a} \quad \text{bzw.} \quad \frac{b}{c} \, : \, \frac{c}{a} \, : \, \frac{a}{b}</math>.<ref name="ETC-P1">{{Internetquelle |autor=Clark Kimberling |titel="Encyclopedia of Triangle Centers, Bicentric Pairs" |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html |abruf=2025-02-02}}</ref>

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind
:<math>\frac{1}{b^2} \, : \, \frac{1}{c^2} \, : \, \frac{1}{a^2} \quad \text{bzw.} \quad \frac{1}{c^2} \, : \, \frac{1}{a^2} \, : \, \frac{1}{b^2}</math>.<ref name="ETC-P1" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks.

== Dritter Brocard-Punkt ==

Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten <math>(a^{-3},b^{-3},c^{-3})</math> als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_{76}</math> und die baryzentrischen Koordinaten <math>(a^{-2},b^{-2},c^{-2})</math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X76 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(76) |sprache=en |abruf=2025-02-02}}</ref> Damit schließt er die [[Permutation]] mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten <math>(b^{-2},c^{-2},a^{-2})</math> bzw. <math>(c^{-2},a^{-2},b^{-2})</math>.

== Literatur ==
* [[Ross Honsberger]] ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry'', MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
* Roger A. Johnson ''Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle''. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover 1960
* [[Julian Coolidge]] ''A treatise on the geometry of the circle and the square'', New York, Chelsea 1971

== Weblinks ==

* Eric W. Weisstein: ''[https://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html Brocard Points]'' ([https://mathworld.wolfram.com/FirstBrocardPoint.html First Brocard Point], [https://mathworld.wolfram.com/SecondBrocardPoint.html Second Brocard Point], [https://mathworld.wolfram.com/ThirdBrocardPoint.html Third Brocard Point]) auf [[MathWorld]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]

Brocard-Punkte - Versionsgeschichte

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