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Der '''Brewster-Winkel''' (benannt nach [[David Brewster]]) oder '''Polarisationswinkel''' ist eine Größe der [[Optik]]. Er gibt den Winkel an, bei dem von Licht, das auf die Grenzfläche zweier [[Dielektrikum|dielektrischer Medien]] einfällt, nur die senkrecht zur [[Einfallsebene]] [[Polarisation|polarisierten]] Anteile (bezogen auf die elektrische Feldkomponente) reflektiert werden. Das reflektierte Licht ist dann linear polarisiert.

Man spricht von einem Pseudo-Brewster-Winkel, wenn Licht an der Grenzfläche zweier Medien reflektiert wird, von denen mindestens eines kein ideales Dielektrikum ist. Dann wird das reflektierte Licht nur teilweise polarisiert.<ref>{{Literatur |Hrsg=Edward D. Palik |Titel=Handbook of Optical Constants of Solids |Band=Vol. 1 |Verlag=Academic Press |Datum=1997 |ISBN=0-08-052375-7 |Seiten=71 |Sprache=en |Online={{Google Buch |BuchID=VpuVttd2cuEC}}}}</ref>

== Phänomenologische Beschreibung ==
[[Datei:Fresnel-Reflexionskoeffizienten vs Winkel DE.svg|mini|Lage des Brewster-Winkels bei der Reflexion von Licht an der Grenzfläche zweier idealer Dielektrika (k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub> = 0, siehe [[Brechungsindex#Komplexer_Brechungsindex|Komplexer Brechungsindex]])]]
[[Datei:Brewster angle.svg|mini|Darstellung des Brewster-Winkels <math>\theta_\mathrm{B}</math>]]

Eine [[elektromagnetische Welle]], z. B. sichtbares Licht, welche nicht senkrecht auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien auftrifft, wird teilweise [[Reflexion (Physik)|reflektiert]] und teilweise in das zweite Medium hinein [[Brechung (Physik)|gebrochen]]. Der reflektierte bzw. der gebrochene Anteil ist dabei zumindest teilweise polarisiert. Dies lässt sich beispielsweise mithilfe eines [[Polarisationsfilter]]s beobachten. Wenn man bei konstantem [[Einfallswinkel]] den Filter um die Ausbreitungsrichtung des reflektierten Lichtes rotiert, so lässt sich ein Helligkeitsminimum feststellen, wenn die Transmissionsachse des Filters in der [[Einfallsebene]] der Welle liegt. Die Tiefe dieses Helligkeitsminimums ist abhängig vom gewählten Einfallswinkel. Bei einem bestimmten Einfallswinkel ist die Helligkeit im Minimum null, es wird dann also nur noch senkrecht zur Einfallsebene polarisiertes Licht reflektiert. Dieser Einfallswinkel wird Brewster-Winkel genannt. Sein Wert ist abhängig von den [[Brechungsindex|Brechungsindizes]] der Medien, zwischen denen der Übergang stattfindet. Er ist also abhängig vom Material der Medien und von der Frequenz der elektromagnetischen Welle.

Die Beobachtungen werden durch die [[Fresnelsche Formeln|fresnelschen Formeln]] beschrieben, mit deren Hilfe sich das [[Reflexionsvermögen]] in Abhängigkeit vom Einfallswinkel <math>\theta_\mathrm{1}</math> und den Brechungsindizes <math>n_1</math>, <math>n_2</math> für die jeweilige [[Polarisation]] des einfallenden Lichts berechnen lässt (siehe Abbildung).

== Physikalische Grundlagen ==
Eine unpolarisierte Welle lässt sich in zwei zueinander senkrecht linear polarisierte Anteile zerlegen. Die Vektoren der [[Elektrische Feldstärke|elektrischen Feldstärke]] liegen dabei senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene (senkrecht bzw. parallel linear polarisierter Anteil, auch s- bzw. p-Polarisation genannt).
Der eintreffende Lichtstrahl regt die [[Elektron]]en des Materials zum Schwingen an ([[Verschiebungspolarisation]]). Es entsteht dadurch eine Ansammlung von atomaren [[Dipol (Physik)|Dipolen]] ([[Hertzscher Dipol|hertzsche Dipole]]), die in Polarisationsrichtung schwingen und dadurch Sekundärwellen ausstrahlen, die nur in Richtung des reflektierten und des gebrochenen Strahles konstruktiv [[Interferenz (Physik)|interferieren]].

Beim senkrecht polarisierten Anteil liegen Ein- und Ausfallsrichtung senkrecht zur Schwingungsrichtung der Dipole und somit in einer Richtung, in die ein hertzscher Dipol maximal ausstrahlt. Dabei bleibt die Polarisation erhalten. Anders verhält es sich bei der Anregung durch den parallel polarisierten Anteil, hier ergibt sich ein vom Einfallswinkel <math>\theta_1</math> veränderlicher Winkel <math>\alpha = 90^\circ - (\theta_1 + \theta_2)</math> zwischen der Schwingungsrichtung der hertzschen Dipole und der Richtung der reflektierten Welle. Mit dem Anregungswinkel variiert auch die [[Intensität (Physik)#Intensität in der Radiometrie und Photometrie|Strahlungsintensität]] <math>I</math> des Dipols(<math>I \sim \sin^2 \alpha</math>), daher werden beide Polarisationsanteile mit unterschiedlicher Intensität abgestrahlt und das reflektierte Licht ist teilweise polarisiert.

Im Fall <math>\alpha = 0</math> (Richtung der Dipolachse ist identisch mit der Richtung der Reflexion) erfolgt für den parallel polarisierten Anteil keine Abstrahlung der Dipole in Reflexionsrichtung und das reflektierte Licht ist vollständig senkrecht linear polarisiert.

== Brewstersches Gesetz ==
Der Einfallswinkel <math>\theta_{B}</math> (Brewster-Winkel), unter dem beim Übergang zwischen zwei beliebigen, nicht magnetisierbaren Medien das reflektierte Licht vollständig senkrecht polarisiert ist, lässt sich aus dem [[Snelliussches Brechungsgesetz|snelliusschen Brechungsgesetz]] und der zuvor beschriebenen Strahlungscharakteristik der Dipole ([[erzwungene Schwingung]]) herleiten. Im Folgenden wird angenommen, dass der Strahl von der Luft aus auf ein anderes Material trifft. Für [[Luft]] kann man in guter Näherung einen Brechungsindex von <math>n_1=1</math> annehmen. Das Material habe den Brechungsindex <math>n_2</math>.

Das snelliussche Brechungsgesetz lautet:
:<math>n_1 \sin \left( \theta_1 \right) =n_2 \sin \left( \theta_2 \right)</math>

Für einen im Brewster-Winkel einfallenden Strahl verläuft der gebrochene Strahl senkrecht zum reflektierten Strahl:
:<math>\theta_1 = \theta_\mathrm{B}</math>
:<math>\theta_2 = 90^\circ - \theta_\mathrm{B}</math>

zusammen mit dem [[Reflexionsgesetz]] (Einfallswinkel <math>\theta_1</math> gleich Reflexionswinkel <math>\theta_\mathrm{a}</math>) erhält man durch Einsetzen

:<math>n_1 \sin \left( \theta_\mathrm{B} \right) =n_2 \sin \left( 90^\circ - \theta_\mathrm{B} \right)=n_2 \cos \left( \theta_\mathrm{B} \right)</math>

und nach Umstellen

:<math>\theta_\mathrm{B} = \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \right) </math> ('''brewstersches Gesetz''').

Die Aussage des Brewster-Gesetz ist also, dass unpolarisiertes Licht beim Einfall unter dem Brewster-Winkel <math>\theta_{B}</math> bei der Reflexion an der Grenzfläche zweier isotroper, nicht absorbierender Medien mit den Brechungsindices <math>n_1</math> und <math>n_2</math> vollständig linear polarisiert wird, wenn die Beziehung <math>\tan \theta_\mathrm{B} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right) </math> gilt – also genau dann, wenn reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander stehen. Die Schwingungsebene des reflektierten Strahls liegt dann senkrecht zur Einfallsebene.<ref>{{Literatur |Hrsg=Ulrich Kilian u. Christine Weber |Titel=Brewstersches Gesetz |Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2003 |ISBN=3-86025-296-8 |Online=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/brewstersches-gesetz/2006}}</ref>

== Beispiel – Reflexion an Glas ==
[[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|Schema eines auf dem Brewster-Winkel basierenden Polarisators. Um den Grad der Polarisation zu erhöhen, sind mehrere Einzelpolarisatoren hintereinander platziert.]]

Anhand des vorhergehenden Abschnittes ist erkennbar, dass eine Glasplatte als [[Polarisator]] verwendet werden kann, indem man sie im Brewster-Winkel bestrahlt.

Mit den oben bezeichneten Winkeln und dem Brechungsgesetz gilt:
:<math> \theta_\mathrm{a} + 90^\circ + \theta_2 = 180^\circ; \quad \theta_2 = 90^\circ - \theta_1</math>
:<math> \theta_1 = \theta_\mathrm{a}\,</math>

Unter der Annahme bei den verwendeten Materialien Luft (<math> n_1 = 1 </math>) und gewöhnlichem Glas ([[Kalk-Natron-Glas]], <math>n_2 = 1{,}55</math>, beachte: kein [[Quarzglas]] (<math>\mathrm{Si O}_2</math>), dort <math>n_2 = 1{,}46</math> und <math>\theta_\mathrm{B, \mathrm{Luft-Si O_2}}</math> entsprechend <math>55{,}59^\circ</math>) handele es sich um ideale, nicht absorbierende Materialien ([[Dielektrikum|Dielektrika]]), gilt das oben beschriebene brewstersche Gesetz:
:<math>\theta_\mathrm{B} = \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \right) </math>

Für den Übergang von Luft in Glas ergibt sich ein Brewster-Winkel:
:<math>\theta_\mathrm{B, \mathrm{Luft-Glas}} = \arctan \left( \frac{n_2}{n_1} \right) = \arctan \left( \frac{1{,}55}{1{,}0} \right) = 57{,}17^\circ </math>

Gemäß den [[Fresnelsche Formeln|Fresnel-Gleichungen]] ergeben sich für den senkrechten bzw. parallelen Anteil des einfallenden Lichtes folgende [[Reflexionsgrad]]e (<math>R_s</math> bzw. <math>R_p</math>):

:<math>
R_s
= r_s^2
= \left( \frac{n_1 \cos(\theta_1) - n_2 \cos(\theta_2)}{n_1 \cos(\theta_1) + n_2 \cos(\theta_2)} \right)^2
= \left( \frac{\cos(\theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}) - \sqrt{\tilde n^2- \sin^2 \theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}}}{\cos(\theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}) + \sqrt{\tilde n^2- \sin^2 \theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}}} \right)^2
= 0{,}1699
= 16{,}99\,\%
</math>

:<math>
R_p
= r_p^2
= \left( \frac{n_2 \cos(\theta_1) - n_1 \cos(\theta_2)}{n_2 \cos(\theta_1) + n_1 \cos(\theta_2)} \right)^2
= \left( \frac{\tilde n^2\cos(\theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}) - \sqrt{\tilde n^2- \sin^2 \theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}}}{\tilde n^2\cos(\theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}) + \sqrt{\tilde n^2- \sin^2 \theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}}} \right)^2
= 0{,}0
= 0{,}0\,\%
</math>

mit <math> \tilde n = \frac{n_2}{n_1}</math> und <math> \theta_1 = \theta_{B, \mathrm{Luft-Glas}}</math>

Das reflektierte Licht ist demnach vollständig senkrecht zur Einfallsebene linear polarisiert.

Bei Einstrahlung unpolarisierten Lichts (alle Polarisationen gleich stark vertreten) lässt sich der Reflexionsgrad <math>R</math> über das arithmetische Mittel der beiden Komponenten bestimmen, es gilt:
:<math>R = \frac{R_s+R_p}{2}</math>

Für den beschriebenen Übergang von unpolarisiertem Licht werden daher nur 8,5 % der eingestrahlten Intensität (im Brewster-Winkel) reflektiert.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=F. Pedrotti, L. Pedrotti, W. Bausch, H. Schmidt
|Titel=Optik für Ingenieure: Grundlagen
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2001
|ISBN=3-540-67379-2}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Polarization (waves)|Polarisator|audio=0|video=0}}
* {{Internetquelle |url=https://www.leifiphysik.de/optik/polarisation/grundwissen/brewster-winkel |titel=Brewster-Winkel |werk=[[LEIFIphysik]] |abruf=2024-06-02}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4146601-9}}

[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]

Brewster-Winkel - Versionsgeschichte

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