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2025-04-06T17:18:43Z

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'''Bratteli-Diagramme''', benannt nach [[Ola Bratteli]], sind spezielle im [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] verwendete [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]]. Sie werden bei der Untersuchung der Struktur von [[AF-C*-Algebra|AF-C*-Algebren]] (kurz AF-Algebren) eingesetzt.

== Definition ==
Die Bratteli-Diagramme<ref>K. R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'', American Mathematical Society (1996), ISBN 0-8218-0599-1, Kapitel III.</ref> leiten sich aus der Definition der AF-Algebren ab, letztere sind die Vervollständigungen aufsteigender Folgen endlichdimensionaler C*-Algebren <math>A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots \subset A</math>. Jede endlichdimensionale C*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer endlichen direkten Summe von vollen [[Matrix (Mathematik)|Matrix-Algebren]] <math>M_n</math> über <math>\Complex</math>, das heißt, für jede Algebra <math>A_j</math> gilt

:<math>A_j \cong M_{n_{j,1}}\oplus M_{n_{j,2}} \oplus \ldots \oplus M_{n_{j,m_j}}</math>.

Bis auf die Reihenfolge sind die Zahlen <math>n_{j,1},\ldots, n_{j,m_j}</math> eindeutig bestimmt. Diese Zahlen bilden die Punkte des spaltenweise aufgebauten Bratteli-Diagramms; in der <math>j</math>-ten Spalte stehen genau die Zahlen <math>n_{j,1},\ldots, n_{j,m_j}</math>, an der <math>(i,j)</math>-ten Stelle steht also die Zahl <math>n_{i,j}</math>.

Zwischen den Punkten der <math>j</math>-ten und <math>(j+1)</math>-ten Spalte werden nach folgenden Kriterien Pfeile gezogen: Die Einbettungen <math>A_j\subset A_{j+1}</math> sind als injektive *-Homomorphismen bis auf [[unitäre Äquivalenz]] bereits dadurch festgelegt, mit welcher Vielfachheit der <math>i</math>-te Summand <math>M_{n_{j,i}}</math> von <math>A_j</math> in den <math>k</math>-ten Summanden <math>M_{n_{j+1,k}}</math> von <math>A_{j+1}</math> abgebildet wird.

Beispiel: Die Einbettung

:<math>M_2 \rightarrow M_7\oplus M_3\oplus M_2, \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} \mapsto
\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{11} & x_{12} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{21} & x_{22} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
\oplus
\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}
</math>

hat die Vielfachheiten 3, 0 und 1. Man zieht nun <math>p</math>-Pfeile vom <math>(i,j)</math>-ten Knoten zum <math>(k,j+1)</math>-ten Knoten, wenn der <math>i</math>-te Summand von <math>A_j</math> mit der Vielfachheit <math>p</math> in den <math>k</math>-ten Summanden von <math>A_{j+1}</math> abgebildet wird.
Die Zahlen <math>p=p(i,j,k)</math> hängen von <math>i,j,k</math> ab und unterliegen der Beschränkung <math>\textstyle \sum_{i=1}^{m_j}p(i,j,k)n_{j,i} \le n_{j+1,k}</math>, die dadurch zustande kommt, dass die Summanden in der <math>(j+1)</math>-ten Spalte groß genug sein müssen, um die entsprechenden Matrizen der <math>j</math>-ten Spalte mit den Vielfachheiten aufnehmen zu können. Nach einem Satz von Bratteli<ref>K. R. Goodearl: ''Notes on real and complex C*-algebras'', Shiva Publishing Limited (1982), ISBN 0-906812-16-X, Satz 17.2.</ref> kann jede AF-Algebra bis auf Isomorphie durch eine Folge endlicher direkter Summen voller Matrix-Algebren mit den angegebenen speziellen Einbettungen konstruiert werden.

== Beispiele ==
=== Kompakte Operatoren ===
Die aufsteigenden Inklusionen <math>M_1 \subset M_2 \subset M_3 \subset \ldots </math>, wobei jede Matrix aus <math>M_j</math> auf die um eine Nullzeile und eine Nullspalte erweiterte Matrix aus <math>M_{j+1}</math> abgebildet wird, definieren bekanntlich eine AF-Algebra, die zur C*-Algebra der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] auf dem [[Hilbertraum]] <math>\ell^2</math> isomorph ist. Das zugehörige Bratteli-Diagramm hat nach obigem die Gestalt

<div class="center">
<math>1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow \ldots </math>
</div>

=== Kompakte Operatoren mit Einselement ===
[[Adjunktion (Einselement)|Adjungiert]] man zu obigem Beispiel der kompakten Operatoren ein Einselement, so kommt zu jedem <math>M_j</math> ein direkter Summand <math>M_1\cong \Complex</math> hinzu und die Einbettung <math>\Complex \oplus M_j \rightarrow \Complex \oplus M_{j+1}</math> sieht wir folgt aus:

:<math> x\oplus \begin{pmatrix} x_{11} & \ldots & x_{1j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{j1} & \ldots & x_{jj} \\ \end{pmatrix} \mapsto x\oplus
\begin{pmatrix}
x_{11} & \ldots & x_{1j} & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \vdots\\
x_{j1} & \ldots & x_{jj} & 0\\
0 & \ldots & 0 & x \end{pmatrix}
</math>

Das führt zu folgendem Bratteli-Diagramm:

<div class="center">
<math>
\begin{array}{cccccccccc}
1 & \rightarrow & 1 & \rightarrow & 1 & \rightarrow & 1 & \rightarrow & 1 &\ldots \\
& \searrow & & \searrow & & \searrow & & \searrow & & \\
1 & \rightarrow & 2 & \rightarrow & 3 & \rightarrow & 4 & \rightarrow & 5 &\ldots \\
\end{array}
</math>
</div>

=== Cantor-Menge ===
Man betrachte die C*-Algebra <math>C(X)</math> der stetigen Funktionen auf der [[Cantor-Menge]]. Man erhält eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Teilalgebren <math>(A_n)_{n \in\N}</math>, indem man die endlichdimensionale Algebra <math>A_n</math> der auf den Intervallen der Länge <math>\tfrac{1}{3^n}</math> konstanten Funktionen via Einschränkung in die Algebra <math>A_{n+1}</math> der auf den Intervallen der Länge <math>\tfrac{1}{3^{n+1}}</math> konstanten Funktionen einbettet. Das führt zu folgendem Bratteli-Diagramm:

[[Datei:BratteliDiagramm CantorMenge.png|mini|500px|zentriert|Links die ersten vier Spalten des Bratteli-Diagramms. <math>X_n</math> ist die Vereinigung der zugehörigen Intervalle der Länge <math>1/{3^n}</math>, <math>A_n</math> ist isomorph zur Algebra der lokalkonstanten Funktionen auf <math>X_n</math>]]

=== CAR-Algebra ===
Man erhält die [[CAR-Algebra]] durch Inklusionen

:<math>M_1 \subset M_2 \subset M_4 \subset M_8 \subset \ldots \subset M_{2^j} \subset M_{2^{j+1}} \subset \ldots </math>,

wobei die Einbettung <math>M_{2^j} \subset M_{2^{j+1}}</math> durch
<math>X \mapsto \begin{pmatrix}
X & 0 \\
0 & X \\
\end{pmatrix}
</math>
definiert sei.
Hier sind alle Vielfachheiten gleich 2 und man erhält das folgende Bratteli-Diagramm:

<div class="center">
<math>1 \rightrightarrows 2 \rightrightarrows 4 \rightrightarrows 8 \rightrightarrows \ldots \rightrightarrows 2^j \rightrightarrows 2^{j+1} \rightrightarrows \ldots
</math>
</div>

== Anwendungen ==
Die Bratteli-Diagramme zu einer AF-Algebra sind nicht eindeutig bestimmt, denn sie hängen von der konkreten Realisierung als Vervollständigung einer aufsteigenden Kette endlichdimensionaler C*-Algebren ab, und diese ist nicht eindeutig, denn man kann zum Beispiel einen Anfangsabschnitt fortlassen oder einige aufeinander folgende Inklusionen zu einer zusammenfassen. Zu jedem Bratteli-Diagramm gehört aber bis auf Isomorphie nur eine AF-Algebra und man kann Eigenschaften dieser Algebra aus einem solchen Diagramm ablesen. Es wird erläutert, wie man Informationen zur Idealstruktur abliest und wie man feststellen kann, ob die AF-Algebra [[Liminale C*-Algebra|liminal]] oder [[Postliminale C*-Algebra|postliminal]] ist.

=== Idealstruktur ===
Ist <math>I\subset A</math> ein abgeschlossenes [[zweiseitiges Ideal]] in der durch <math>A_1\subset A_2\subset\ldots</math> gegebenen AF-Algebra, so ist auch <math>I</math> eine AF-Algebra und <math>I\cap A_p \subset I\cap A_{p+1} \subset \ldots </math> ist eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Teil-C*-Algebren mit in <math>I</math> dicht liegender Vereinigung. Dabei ist <math>p</math> so groß gewählt, dass <math>I\cap A_p \not= \{0\}</math>. Auf diese Weise wird jedem abgeschlossenen zweiseitigen Ideal ein [[Untergraph]] <math>D_I</math> des Bratteli-Diagramms <math>D_A</math> von <math>A</math> zugeordnet. Dem [[Nullideal]] entspricht dabei der leere Untergraph.

Ein Untergraph <math>S</math> eines Bratteli-Diagramms heißt ''[[Gerichteter Graph|gerichtet]]'', wenn er mit jedem Punkt alle davon ausgehenden Pfeile mit den zugehörigen Zielpunkten enthält.

Ein Untergraph heißt ''erblich'' (engl. ''hereditary''), wenn folgendes gilt: Liegen für einen Punkt alle Zielpunkte der von ihm ausgehenden Pfeile im Untergraphen, so muss auch bereits dieser Punkt im Untergraphen enthalten sein. Es gilt nun folgender Satz:

* Ist <math>A</math> eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm <math>D_A</math>, so ist obige Zuordnung <math>I\mapsto D_I</math> eine Bijektion von der Menge der abgeschlossenen zweiseitigen Ideale auf die Menge der gerichteten, erblichen Untergraphen von <math>D_A</math>.

Eine C*-Algebra heißt ''einfach'', wenn sie außer dem Nullideal und sich selbst keine weiteren abgeschlossenen zweiseitigen Ideale enthält. Aus obigem Satz leitet man leicht das folgende Korollar ab:

* Eine AF-Algebra <math>A</math> mit Bratteli-Diagramm <math>D_A</math> ist genau dann einfach, wenn es zu dem Punkt <math>x</math> aus <math>D_A</math> eine Spalte gibt, so dass man jeden Punkt dieser Spalte von <math>x</math> aus durch einen Weg von Pfeilen erreichen kann.

Insbesondere sind die C*-Algebren der kompakten Operatoren und die CAR-Algebra einfach, denn die zugehörigen Bratteli-Diagramme sind lineare Ketten. Adjungiert man ein Einselement zur Algebra der kompakten Operatoren, so ist die entstehende Algebra nicht einfach, denn am Bratteli-Diagramm erkennt man mühelos, dass von keinem Punkt der unteren Zeile je eine 1 der oberen Zeile in einer nachfolgenden Spalte erreicht werden kann. Offenbar ist die untere Zeile ein gerichteter und erblicher Untergraph, er entspricht dem Ideal der kompakten Operatoren.

=== Liminale und postliminale AF-Algebren ===
Man kann am Bratteli-Diagramm einer AF-Algebra ablesen, ob diese [[Liminale C*-Algebra|liminal]] oder [[Postliminale C*-Algebra|postliminal]] ist. Dazu betrachtet man unendliche Wege im Bratelli-Diagramm, das heißt Folgen <math>(x_n)_{n\in \N}</math> von Punkten im Diagramm, so dass für jedes <math>n</math> mindestens ein Pfeil von <math>x_n</math> nach <math>x_{n+1}</math> führt. Sind <math>x</math> und <math>y</math> zwei Punkte, so sagt man <math>y</math> sei Nachfolger von <math>x</math> mit Multiplizität <math>q</math>, wenn es <math>q</math> verschiedene Wege von <math>x</math> nach <math>y</math> gibt.

* Sei <math>A</math> eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm <math>D_A</math>. <math>A</math> ist genau dann liminal, wenn es zu jedem unendlichen Weg <math>(x_n)_{n\in \N}</math> in <math>D_A</math> natürliche Zahlen <math>p</math> und <math>q</math> gibt, so dass <math>x_n</math> für alle <math>n\ge p</math> Nachfolger von <math>x_1</math> mit Multiplizität <math>q</math> ist.<ref>A. J. Lazar, D. C. Taylor: ''Approximately Finite Dimensional C*-Algebras and Bratteli Diagrams'', Transactions of the American Mathematical Society, Band 259 (1980), Seiten 599–619, Theorem 3.8</ref>

Demnach sind die obigen Beispiele ''kompakte Operatoren'' und ''Cantor-Menge'' liminal, denn die Bratteli-Diagramme sind Bäume mit einfachen Kanten, das heißt, es kann ohnehin nur die Multiplizität 1 auftreten. Das Beispiel ''Kompakte Operatoren mit Einselement'' ist nicht liminal, da es für den Weg bestehend aus der 1 der oberen Zeile und allen Punkten <math>2,3,4,\ldots,n,\ldots</math> der unteren Zeile mit wachsendem <math>n</math> immer mehr mögliche Wege von 1 nach <math>n</math> gibt, das heißt, die Multiplizität kann nicht ab einer bestimmten Stelle durch ein festes <math>q</math> beschränkt werden.

* Sei <math>A</math> eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm <math>D_A</math>. <math>A</math> ist genau dann postliminal, wenn es zu jedem unendlichen Weg <math>(x_n)_{n\in \N}</math> in <math>D_A</math> eine natürliche Zahl <math>p</math> gibt, so dass <math>x_n</math> für jedes <math>n>p</math> ein Nachfolger von <math>x_{n-1}</math> mit Multiplizität 1 ist.<ref>A. J. Lazar, D. C. Taylor: ''Approximately Finite Dimensional C*-Algebras and Bratteli Diagrams'', Transactions of the American Mathematical Society, Band 259 (1980), Seiten 599–619, Theorem 3.13.</ref>

Man sieht leicht ein, dass das Bratteli-Diagramm des Beispiels ''Kompakte Operatoren mit Einselement'' diese Eigenschaft hat, es handelt sich also um eine postliminale C*-Algebra. Die CAR-Algebra hat diese Eigenschaft nicht, denn alle auftretenden Multiplizitäten zwischen direkten Nachfolgern sind gleich 2, die CAR-Algebra ist daher nicht postliminal.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Gerichteter Graph]]

Bratteli-Diagramm - Versionsgeschichte

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