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[[Datei:Brachistochronerutschbahn.jpg|mini|314px|Experiment: Welche Bahn ist die schnellste? (Ausstellung Elementa im [[Landesmuseum für Technik und Arbeit]], Mannheim)]]
[[Datei:Brachistochrone.gif|mini|314px|Brachistochrone]]
[[Datei:Tautochrone curve.gif|mini|314px|Tautochronie der Brachistochrone – von jedem Startpunkt auf der Kurve erreichen die Kugeln das Ziel gleichzeitig.]]

Die '''Brachistochrone''' (griechisch ''brachistos'' kürzeste, ''chronos'' Zeit) ist die Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein sich reibungsfrei bewegender [[Massenpunkt]], der mit Geschwindigkeit null startet, unter dem Einfluss der [[Gravitation]]skraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Der tiefste Punkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt.

Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als auf jeder anderen Bahn, auch wenn diese kürzer ist, beispielsweise geradlinig.

Wenn die Kurve am Ende waagrecht verläuft, also am tiefsten Punkt endet, dann ist sie zugleich eine '''Tautochrone''', das heißt von jedem anderen Startpunkt auf der Kurve benötigt der Massepunkt die gleiche Zeit, um zum Endpunkt zu gelangen.<ref>Für die ''anderen'' Startpunkte beginnt die Bahn jedoch ''nicht'' vertikal, für diese ist sie damit ''keine'' Brachistochrone ([[#Spezielle Eigenschaften der Bahn]]). <br/>Siehe auch Seite 17 von {{Internetquelle |url=https://www.mathe-gut-erklaert.de/pdfs/000_Brachistochrone.pdf |titel=Brachistochrone - Ableitung, Eigenschaften und lineare Approximation |autor=Ulrich Mende |abruf=2023-09-23}}</ref> Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten [[Zykloide#Die Tautochronie der Zykloide|Zykloidenpendel]] ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.

== Form ==
Die Brachistochrone ist Teil einer [[Zykloide]].

== Geschichte ==
[[Johann I Bernoulli]] hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone.<ref>''Acta eruditorum.'' (1696). Siehe Istvan Szabó: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien.'' Dritte korrigierte und erweiterte Auflage 1987, S. 110, ISBN 978-3-0348-9980-2.</ref> Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der [[Variationsrechnung]].

[[Christiaan Huygens]] veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung ''Horologium Oscillatorium'' eine ganggenaue [[Pendeluhr]] mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die [[Evolute]] der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der [[Uhrenfehler|Ganggenauigkeit]] wird jedoch durch die erhöhte [[Reibung]] wett- bzw. zunichtegemacht.

== Funktion ==
Die Brachistochrone lässt sich in einer [[Parameterdarstellung]] beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als [[Ortsvektor]] darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels <math>\varphi</math> (im [[Bogenmaß]]), um den sich das Rad mit Radius <math>R</math> beim Abrollen gedreht hat, sind die <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten:

:<math>x = R \cdot (\varphi - \sin\varphi)\,,</math>

:<math>y = R \cdot (-1 +\cos\varphi )\,. </math>

Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke.

== Herleitung ==
Betrachten wir in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene eine Kurve <math>y(x)</math>, längs welcher der Massepunkt vom Start <math>(x,y)=(0,0)</math> mit fortlaufender Zeit <math>t</math> zum Ziel <math>(\overline{x},\overline{y})</math> gleite.

Er hat die kinetische Energie

:<math>E_{\text{kin}} =\frac{1}{2}\, m \, v^2=\frac{1}{2}\, m \, ({v_x}^2+{v_y}^2)= \frac{1}{2} \, m \, \left(\left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\,\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \right)
= \frac{1}{2} \, m \, \left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)^2 \right)</math>

und die potentielle Energie

:<math>E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot y(x)</math>

Dabei ist <math>y</math> die Höhe im Gravitationsfeld und <math>g</math> die [[Schwerebeschleunigung]].

Gleitet der anfänglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los, so ist längs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfänglichen Wert Null,

:<math>0 = \frac{1}{2} \, m \, \left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)^2 \right) + m \cdot g \cdot y(x)</math>

Dies kann nach <math>\tfrac{\mathrm d x}{\mathrm d t}</math> aufgelöst werden. Die Ableitung der [[Umkehrfunktion]], <math>t(x)</math>, die angibt, zu welchem Zeitpunkt das Teilchen den Ort
<math>(x,y(x))</math> durchläuft, ist hierzu invers

:<math>\frac{\mathrm d t}{\mathrm d x}=\sqrt{\frac{1+(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x})^2}{-2\,g\,y}}</math>

Integrieren wir über den <math>x</math>-Bereich von 0 bis <math>\overline{x}</math>, so ergibt sich die zu minimierende Laufzeit <math>T</math> als Funktional der Bahnkurve <math>y(x)</math>

:<math>T[y]=\frac{1}{\sqrt{2\,g}}\int_0^{\overline{x}}\,\sqrt{\frac{1+(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x})^2}{-y}}\mathrm d x</math>

Um an die bei physikalischen Variationsproblemen üblichen Bezeichnungen anzuschließen, nennen wir die Integrationsvariable die „Zeit“ <math>\tau</math> (also <math>\overline{\tau}=\overline{x}</math>), bezeichnen <math>-y</math> mit <math>q</math> und minimieren einfachheitshalber das mit <math>\sqrt{2\,g}</math> multiplizierte Funktional.

Wir minimieren also die „Wirkung“

:<math>W[q]=\int_0^{\overline{\tau}}\,\sqrt{\frac{1+(\frac{\mathrm d q}{\mathrm d \tau})^2}{q}} \mathrm d \tau\quad</math>,

wobei die „Zeit“-Grenzen fest sind.

Der Integrand hat also die Rolle einer [[Lagrangefunktion]]:

:<math>\mathcal{L}(\tau,q,v) =\sqrt{\frac{1+v^2}{q}}\quad</math>

Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter, der „Zeit“ <math>\tau</math> abhängt, ist die nach dem [[Noether-Theorem]] zugehörige „Energie“ / [[Hamilton-Funktion]]

:<math>H=v\partial_v\mathcal{L}-\mathcal{L}=-\frac{1}{\sqrt{q(1+v^2)}}</math>

auf der Bahn <math>q(\tau)</math> erhalten, für die <math>W[q]</math> minimal wird.

Die Funktion <math>q(\tau)</math> erfüllt also mit einer positiven Konstanten <math>R</math> die Gleichung

:<math>\left(1 + \left(\frac{\mathrm d q}{\mathrm d \tau}\right)^2\right)\,q = 2\,R</math> oder <math>\left(\frac{\mathrm d q}{\mathrm d \tau}\right)^2 - \frac{2\,R}{q} = -1 </math>

wie ein Teilchen, das im Keplerpotential <math>\propto -1/q</math> senkrecht aus der Gipfelhöhe <math>2\,R</math> fällt.

Statt diese Gleichung mit getrennten Veränderlichen nach <math>\tfrac{\mathrm d q}{\mathrm d \tau}</math> aufzulösen und zu integrieren, bestätigt man einfach, dass

:<math>\tau(\varphi) = R\,(\varphi-\sin\varphi)\,,\ q(\varphi)=R\,(1-\cos\varphi)</math>

eine parametrische Lösung dieser Gleichung ist, wobei man

:<math>\frac{\mathrm d q}{\mathrm d \tau}=\frac{\frac{\mathrm d q}{\mathrm d \varphi}} {\frac{\mathrm d \tau}{\mathrm d \varphi}}=\frac{\sin\varphi}{1-\cos\varphi}</math>

ausnutzt.

Also ist die gesuchte Bahn <math>(x,y(x))</math> parametrisch gegeben durch

:<math>
\begin{pmatrix}
x(\varphi)\\y(\varphi)
\end{pmatrix}
=R\,
\begin{pmatrix}
\varphi-\sin\varphi\\ \cos\varphi -1
\end{pmatrix}=
R\,
\begin{pmatrix}
\varphi\\ -1
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
\cos \varphi & -\sin\varphi\\
\sin\varphi & \cos \varphi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\ R
\end{pmatrix}
</math>

Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich, dass die Bahn <math>y(x)</math> sich aus den Ortsvektoren <math>R\,(\varphi,-1)</math> der Nabe eines Rades mit Radius <math>R</math> zusammensetzt, das unter der <math>x</math>-Achse rollt, plus dem Speichenvektor, der anfänglich nach oben zeigt und mit dem Winkel <math>\varphi</math> gedreht wird. Die Kurve ist die Bahn eines Randpunktes eines rollenden Rades.

== Spezielle Eigenschaften der Bahn ==
* Die Bahn ist unabhängig von der [[Masse (Physik)|Masse]] und der [[Gewichtskraft]] des Körpers, also unabhängig von der Größe der Erdbeschleunigung.
* Ebenso ändert eine rollende Kugel, die [[Rotationsenergie]] aufnimmt, nichts an der Idealkurve.
* Die [[Tangente]] im Anfangspunkt ist senkrecht.
* Haben zwei Brachistochronen dasselbe Gefälle zwischen Anfangs- und Endpunkt, sind sie [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]].
* Ist das Gefälle nicht kleiner als 2/[[Kreiszahl|π]] (63,66 %), so ist der Endpunkt der tiefste Punkt der Kurve, bei kleinerem Gefälle liegt der Tiefpunkt zwischen Anfangs- und Endpunkt.
* Ist das Gefälle 0, also liegen Anfangs- und Endpunkt auf derselben Höhe, ist die Kurve symmetrisch.

== Bilder ==
<gallery>
Brachistochrone1.JPG|1. Phase: Beide Kugeln sind gleichauf.
Brachistochrone2.JPG|2. Phase: Vordere Kugel beschleunigt durch stärkeres Gefälle.
Brachistochrone3.JPG|3. Phase: Vordere Kugel liegt trotz längeren Wegs vorne.
</gallery>

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* [http://home.imm.uran.ru/iagsoft/brach/BrachJ2.html Brachistochrone Construction]
* [http://wiki.zum.de/GadApedia/Brachistochrone_optimal GeoGebra-modell zum interaktiven Ausprobieren mit zehn Stationen zwischen Start- und Endpunkt]
* [https://publikationen.bibliothek.kit.edu/270011317 Cyclobahn, eine U-Bahn mit Zykloiden-Trasse]
* [https://www.youtube.com/watch?v=scMdMzsXUiQ Der Irrtum von Galileo Galilei - Vortrag von Rudolf Taschner]
* [https://www.mathe-gut-erklaert.de/pdfs/000_Brachistochrone.pdf Brachistochrone - Ableitung, Eigenschaften und lineare Approximation]

== Belege ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Brachistochrone - Versionsgeschichte

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