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2021-05-09T08:40:34Z

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[[Datei:Boy Surface-animation-small.gif|mini|Animierte Darstellung der Boyschen Fläche]]

Die '''Boysche Fläche''' ist ein [[Geometrie|geometrisches]] Objekt. Sie ist eine [[Immersion (Mathematik)|Immersion]] der reellen [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] in den dreidimensionalen Raum. [[Werner Boy]] entdeckte die nach ihm benannte Fläche 1901. Wie die [[Kleinsche Flasche]] besitzt sie Selbstüberschneidungen, zudem aber auch einen Tripelpunkt.

== Hintergrund ==

Die reelle Projektive Ebene ist die einfachste nicht-orientierbare geschlossene Fläche. Sie entsteht aus dem [[Möbiusband]] durch Ankleben einer Kreisscheibe an dessen Rand.

Wie alle nicht-orientierbaren geschlossenen Flächen lässt sich die Projektive Ebene nicht in den <math>\R^3</math> einbetten.

Die Boysche Fläche realisiert aber immerhin eine Immersion der Projektiven Ebene in den <math>\R^3</math>. Werner Boy konstruierte diese Fläche als Gegenbeispiel zu einer Vermutung von [[David Hilbert]], dass es keine Immersionen der projektiven Ebene in den <math>\R^3</math> gäbe. Boy war in der Lage, mehrere Zeichnungen dieser Fläche anzufertigen, und entdeckte ihre mögliche dreizählige [[Rotationssymmetrie]], konnte jedoch keine [[Parameterdarstellung]] dafür finden.
Erst 1978 fand [[Bernard Morin]] eine Parametrisierung mit Computerunterstützung.

Die erste analytische Darstellung wurde 1981 durch eine halbempirische Methode gegeben. Diese besteht darin, die Meridiane der Fläche durch Ellipsen zu beschreiben, welche dann parametrisiert werden.

Inzwischen gibt es zahlreiche Parametrisierungen von Boyschen Flächen, zum Beispiel durch Polynome 4. Grades.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/BoySurface.html Math World: Boy Surface]</ref>

== Bryant-Kusner-Parametrisierung ==

[[Datei:BoysSurfaceTopView.PNG|mini|Bryant-Kusner-Parametrisierung]]
Die folgende Parametrisierung ist definiert für komplexe Zahlen <math>t</math> mit <math> \| t \| \le 1</math>.<ref>Robert Bryant: ''Surfaces in conformal geometry, The mathematical heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina).'' In: ''Proc. Sympos. Pure Math.'' 1988. Band 48, Amer. Math. Soc., Providence, RI, S. 227–240.</ref>
:<math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{g_1^2 + g_2^2 + g_3^2} \begin{pmatrix}g_1\\ g_2\\ g_3\end{pmatrix}</math>
mit
:<math>\begin{align}
g_1 &= -{3 \over 2} \mathrm{Im} \left[ {t (1 - t^4) \over t^6 + \sqrt{5} t^3 - 1} \right]\\
g_2 &= -{3 \over 2} \mathrm{Re} \left[ {t (1 + t^4) \over t^6 + \sqrt{5} t^3 - 1} \right]\\
g_3 &= \mathrm{Im} \left[ {1 + t^6 \over t^6 + \sqrt{5} t^3 - 1} \right] - {1 \over 2}
\end{align}</math>

Gegenüberliegende Punkte auf dem Rand der Einheitskreisscheibe haben denselben Bildpunkt, es handelt sich also tatsächlich um eine Parametrisierung einer projektiven Ebene.

Diese Parametrisierung minimiert die [[Willmore-Energie]] unter allen Immersionen der projektiven Ebene in den <math>\R^3</math>.

== Modell in Oberwolfach ==
[[Datei:Boyflaeche.JPG|mini|Modell einer Boyschen Fläche in [[Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach|Oberwolfach]]]]

Vor dem [[Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach|Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach]] steht ein 1991 von [[Mercedes-Benz]] gestiftetes Modell der Boyschen Fläche. Dieses Modell hat eine [[Symmetriegruppe]] der Ordnung 3 und minimiert die [[Willmore-Energie]]. Es besteht aus Stahlstreifen, die das Bild des [[Polarkoordinaten]]-Netzes in der Bryant-Kusner-Parametrisierung darstellen. Die radialen Streifen (Bilder der Strahlen <math>\phi = const.</math>) sind gewöhnliche einmal getwistete [[Möbiusband|Möbiusbänder]]. Die longitudinalen Streifen (Bilder der Kreise <math>r = const.</math>) sind mit einer Ausnahme ungetwistet, die Ausnahme (entspricht <math>r=1</math>) ist ein dreifach getwistetes Möbiusband, wie es auch im Emblem des Mathematischen Forschungsinstituts verwendet wird.<ref>Hermann Karcher, Ullrich Pinkall: [https://www.mfo.de/about-the-institute/history/boy-surface/karcher_pinkallboy_surface.pdf ''Die Boysche Fläche in Oberwolfach.''] (PDF; 213 kB) auf: ''mfo.de''</ref>

== Quellen ==
<references />
== Weblinks ==
{{Commons|Boy's surface|Boysche Fläche}}
* mathcurve.com: [https://mathcurve.com/surfaces/boy/boy.shtml ''Surface de Boy''] Abgerufen am 18. November 2011 (französisch)

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Untermannigfaltigkeit]]

Boysche Fläche - Versionsgeschichte

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