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2023-07-28T05:53:42Z

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Der '''Boxsche M-Test''' ist ein Verfahren aus der [[mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Er wurde 1949 von [[George Box|G. E. P. Box]] entwickelt<ref>Box, G. E. P. (1949). A general distribution theory for a class of likelihood criteria. Biometrika, 36, 317–346, {{DOI|10.1093/biomet/36.3-4.317}}, {{JSTOR|2332671}}.</ref> und ist eine Erweiterung des [[Bartlett-Test#Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen|Bartlett-Tests auf Gleichheit der Varianzen]] für den multivariaten Fall. Er wird in den [[Multivariate Verfahren|multivariaten Verfahren]] angewendet, beispielsweise bei der [[Diskriminanzanalyse]] zum Test auf Gleichheit von Streuungen in den Gruppen.

Vorausgesetzt wird, dass die <math>m</math>-dimensionalen Daten in den <math>p</math> Gruppen multivariat normalverteilt sind: <math>\mathcal{N}(\mu_k; \Sigma_k)</math> mit [[Erwartungswertvektor]]en <math>\mu_k = (\mu_{k1}, ..., \mu_{km})</math> und [[Kovarianzmatrix|Kovarianzmatrizen]] <math>\Sigma_k=(\sigma_{k;rs})_{r,s=1,...,m}</math> verteilt (<math>k=1,...,p</math>).

Die [[Nullhypothese|Hypothese]] soll geprüft werden, dass alle Kovarianzmatrizen gleich sind, also

:<math>H_0: \Sigma_1 = \Sigma_2 = ... = \Sigma_p </math> vs. <math>H_1:</math> es gibt min. ein Paar <math>i</math> und <math>j</math> mit <math> \Sigma_i \neq \Sigma_j</math>.

Die Prüfgröße für den Test ist das so genannte '''M''' von Box,

:<math>M= \gamma \sum _{k=1}^p(n_k - 1) \cdot \log| S_k^{-1} \cdot S| </math>

wobei

:<math> \gamma =1- \frac {2m^2 + 3m-1} {6 \cdot (m + 1) \cdot (p-1)} \left(\sum _{k=1}^p \frac {1} {n_k -1} - \frac {1} {n-p} \right) </math>

als Korrektur dient. Die Kovarianzmatrix <math>\Sigma_k</math> wird aus den Beobachtungen, die zur Gruppe <math>k</math> gehören, geschätzt

:<math> s_{k;rs} = \frac {1} {n_k-1} \sum_{i=1}^{n_k} (x_{ir}- \bar x_r) (x_{is}- \bar x_s)</math>

und die gepoolte, also mittlere, Kovarianzmatrix durch

:<math> S=\frac {1}{n-p} \sum_{k=1}^p (n_k - 1) \cdot S_k .
</math>

Bei jeweils genügend großem <math>n_{k}</math> ist die Prüfgröße annähernd [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit <math>m(m+1)(p-1)/2</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]]. Wenn die <math>S_k</math> sich insgesamt sehr von <math>S</math> unterscheiden, wird der Wert der Prüfgröße hoch. <math>H_0</math> wird also beim [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> abgelehnt, wenn M größer ist als das <math>1- \alpha</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] der [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit <math>m(m+1)(p-1)/2</math> Freiheitsgraden.

Der Test reagiert sensitiv auf Verletzungen der Voraussetzung der [[Mehrdimensionale Normalverteilung|mehrdimensionalen Normalverteilung]].

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Parametrischer Test]]

Boxscher M-Test - Versionsgeschichte

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