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2025-02-18T18:41:19Z

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Unter '''Boussinesq-Approximation''' oder '''Boussinesq-Näherung''' [{{IPA|businɛsk}}] versteht man verschiedene Näherungen in der [[Hydrodynamik]], die alle auf [[Joseph Boussinesq]] zurückgehen.

== Strömung durch Auftrieb ==
Zur Beschreibung von Strömungen in Flüssigkeiten (insbesondere [[Konvektion]]), die durch Dichtevariationen aufgrund von Temperaturschwankungen verursacht werden, wird eine Boussinesq-Näherung zu den inkompressiblen [[Navier-Stokes-Gleichung]]en genutzt. Die Dichteunterschiede werden ignoriert, sofern sie nicht in Termen erscheinen, die mit g, der Erdbeschleunigung, multipliziert werden. Das Wesen der Boussinesq-Approximation besteht darin, dass der Unterschied in der Trägheit vernachlässigbar ist, die Schwerkraft jedoch stark genug ist, um das spezifische Gewicht zwischen den beiden Flüssigkeiten merklich zu verändern.

Dazu werden die nicht zu großen Temperaturschwankungen <math>T_s</math> (in <math>T=T_0 + T_s</math>) nur in der Dichte- und Druckvariation berücksichtigt, ⁣ mit<math> \rho =\rho_0 (1- \beta T_s)</math> dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten <math>\beta</math>.

Für die [[Fluktuation]] des Drucks <math>p_s</math> gilt mit <math>p_0 = \rho_0 \mathbf {g} \cdot \mathbf {x}</math>:

:<math>\frac {\nabla p}{\rho} = \mathbf {g} + \frac {\nabla p_s}{\rho_0} + \beta T_s \mathbf{g}</math>

Die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung im [[Schwerefeld]] mit Schwerebeschleunigung <math>\mathbf{g}</math> wird:<ref>Zum Beispiel Wolfgang Polifke, Jan Kopitz, Wärmeübertragung, 2. Auflage, Pearson 2009, S. 469f</ref>

:<math>\frac {\partial \mathbf{v}} {\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = - \frac {\nabla p}{\rho} + \nu \Delta \mathbf{v} + \mathbf{g} = - \frac {\nabla p_s}{\rho_0} + \nu \Delta \mathbf{v} - \beta T_s \mathbf{g}</math>

Für die Beschreibung der Konvektion in der Näherung von Boussinesq kommen noch die Gleichung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfelds hinzu (abgeleitet aus der Kontinuitätsgleichung unter Vernachlässigung der Dichteschwankungen):

:<math> \nabla \cdot \mathbf v=0</math>

und die Gleichung für die Variation der Temperatur durch Wärmefluss:

:<math>\frac{\partial T_s}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T_s = a \nabla^2T_s</math>

wobei <math>a</math> die [[Temperaturleitfähigkeit]] (für <math>\rho_0, T_0</math>) ist (innere Wärmequellen in der Flüssigkeit werden hier nicht angenommen).

== Wasserwellen ==
{{Hauptartikel|Boussinesq-Gleichung}}
Die Boussinesq-Näherung ist eine Näherung, die für schwach nicht-lineare und langperiodische Wellen gilt und zu den [[Boussinesq-Gleichung]]en führt.

== Turbulenz ==
{{Hauptartikel|Turbulenzmodell#Statistische Modellierung}}
In der Theorie der [[Turbulente Strömung|Turbulenz]] wird die Boussinesq-Näherung in [[Turbulenzmodell#Statistische Modellierung|Wirbelviskositätsmodellen]] benutzt.

== Einzelnachweise ==
<references />{{Normdaten|TYP=s|GND=4320657-8}}
[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Boussinesq-Approximation - Versionsgeschichte

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