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2025-01-09T20:33:18Z

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'''Bornologische Räume''' sind in dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet [[Funktionalanalysis]] spezielle [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]], für deren [[linearer Operator|lineare Operatoren]] die aus der Theorie der [[normierter Raum|normierten Räume]] bekannte Äquivalenz von [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[Beschränktheit]] gilt. Diese Räume lassen sich durch ihre [[Nullumgebungsbasis|Nullumgebungsbasen]] charakterisieren und haben weitere Eigenschaften mit normierten Räumen gemeinsam.

== Motivation ==
Eine [[Teilmenge]] A eines topologischen K-Vektorraums E heißt [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkt]], wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d. h. zu jeder Nullumgebung <math>U\subset E</math> gibt es ein <math>\lambda \in K</math> mit <math>A \subset \lambda U</math>.

Eine Teilmenge B eines lokalkonvexen K-Vektorraums heißt '''Bornolog''', wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
* B ist [[absolutkonvexe Menge|absolutkonvex]], d. h. für <math>x, y \in B</math> und <math>\lambda, \mu \in K</math> mit <math>|\lambda|+|\mu| \le 1</math> gilt <math>\lambda x + \mu y \in B</math>.
* B absorbiert jede beschränkte Menge, d. h. zu jeder beschränkten Menge <math>A\subset E</math> gibt es ein <math>\lambda \in K</math> mit <math>A \subset \lambda B</math>.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Raum eine [[Nullumgebungsbasis]] aus Bornologen besitzt. Ist umgekehrt jeder Bornolog eine Nullumgebung, so nennt man den Raum '''bornologisch'''.

== Beispiele ==
* Jeder [[Metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbare lokalkonvexe Raum]] E ist bornologisch. Ist nämlich B ein Bornolog in E, <math>U_1 \supset U_2 \supset \ldots</math> eine abzählbare Nullumgebungsbasis von E, und nimmt man an, dass B keine Menge der Form <math>\tfrac{1}{n}U_n</math> enthält, so kann man ein <math>x_n\in \tfrac{1}{n}U_n \setminus B</math> wählen. Dann konvergiert <math>nx_n\rightarrow 0</math>, d. h. <math>\{nx_n; n\in {\mathbb N}\}</math> ist [[kompakter Raum|kompakt]] und daher beschränkt, also in einer Menge der Form <math>\lambda B</math> enthalten. Für <math>n \ge \lambda</math> folgt der Widerspruch <math>x_n\in B</math>. Also ist B eine Nullumgebung.

* Ist E ein [[normierter Raum]] ungleich {0}, so ist <math>\textstyle \bigoplus_{r\in{\mathbb R}}E</math> mit der [[Finaltopologie]] ein Beispiel für einen bornologischen Raum, der nicht metrisierbar ist.

== Vererbungseigenschaften ==
Ein [[Induktiver Limes]] bornologischer Räume ist wieder bornologisch.

== Beschränkte Operatoren ==
Wie in der Theorie der normierten Räume heißt ein linearer Operator zwischen [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] beschränkt, wenn er beschränkte Mengen wieder auf beschränkte Mengen abbildet.

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:
* E ist bornologisch
* Jeder beschränkte Operator <math>E\rightarrow F</math> in einen weiteren lokalkonvexen Raum F ist stetig.

Ein linearer Operator <math>A \colon E\rightarrow F</math> heißt folgenstetig, wenn aus <math>\textstyle \lim_{n\in {\mathbb N}}x_n = x</math> in E stets <math>\textstyle \lim_{n\in {\mathbb N}}Ax_n = Ax</math> in F folgt. In nicht-metrisierbaren Räumen kann diese Bedingung echt schwächer als Stetigkeit sein.

Für einen bornologischen Raum E und einen linearen Operator <math>A:E\rightarrow F</math> sind äquivalent:
* A ist stetig.
* A ist folgenstetig.
* A ist beschränkt.

== Bornologische Räume als induktive Limiten normierter Räume ==
Ein lokalkonvexer Raum E heißt ein induktiver Limes normierter Räume, wenn es lineare Abbildungen <math>j_\alpha \colon E_\alpha\rightarrow E</math> mit normierten Räumen <math>E_\alpha</math> gibt, so dass <math>\textstyle E=\bigcup_\alpha j_\alpha(E_\alpha)</math> und die Topologie auf E die feinste lokalkonvexe Topologie ist, die alle <math>j_\alpha</math> stetig macht.

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:
* E ist bornologisch.
* E ist ein induktiver Limes normierter Räume.

Man kann einen solchen induktiven Limes sogar angeben. Für eine beschränkte und absolutkonvexe Menge <math>B\subset E</math> sei <math>\textstyle E_B:= \bigcup_{\lambda>0}\lambda\cdot B</math>. Dann ist <math>E_B</math> ein Vektorraum, und das [[Minkowski-Funktional]] <math>p_B</math> zu <math>B\subset E_B</math> macht diesen [[Vektorraum]] zu einem normierten Raum. Der lokalkonvexe Raum <math>E</math> ist genau dann bornologisch, wenn er die induktive lokalkonvexe Topologie aller Inklusionen <math>(E_B,p_B)\subset E</math> trägt, wobei <math>B</math> die beschränkten, absolutkonvexen Mengen durchläuft.

Kann man für E sogar eine Darstellung als induktiven Limes von [[Banachraum|Banachräumen]] finden, so nennt man E [[ultrabornologischer Raum|ultrabornologisch]]. In solchen Räumen gelten der [[Satz über die offene Abbildung]] und der [[Satz vom abgeschlossenen Graphen]].

== Vollständigkeit des Dualraums ==
Ist E ein lokalkonvexer Vektorraum, so definiert jede beschränkte Menge B in E eine [[Halbnorm]] <math>P_B</math> auf dem [[Dualraum]] <math>E\,'</math>, indem man <math>p_B(f):= \sup\{|f(x)|; x\in B\}</math> setzt. Versehen mit der Menge der Halbnormen <math>p_B</math>, wobei B die beschränkten Mengen von E durchläuft, wird <math>E\,'</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum, den man dann mit <math>E_b'</math> bezeichnet. Dies verallgemeinert die Dualraumbildung bei [[normierter Raum|normierten Räumen]].
Wie in der Theorie der normierten Räume gilt folgender Satz:

Ist E bornologisch, so ist <math>E_b'</math> vollständig, d. h. jedes [[Netz (Topologie)|Cauchy-Netz]] konvergiert.

== Literatur ==
* Klaus Floret, [[Joseph Wloka]]: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 56, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1968, {{doi|10.1007/BFb0098549}}.
* Reinhold Meise, Dietmar Vogt: ''Einführung in die Funktionalanalysis'' (= ''Vieweg-Studium'' 62 ''Aufbaukurs Mathematik''). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.

[[Kategorie:Lokalkonvexer Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Bornologischer Raum - Versionsgeschichte

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