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2025-07-17T07:16:23Z

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Die '''borelsche σ-Algebra''' ist ein [[Mengensystem]] in der [[Maßtheorie]] und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen [[Stochastik]] und [[Integralrechnung|Integrationstheorie]]. Die borelsche σ-Algebra ist eine [[σ-Algebra]], die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will, schließt aber Negativresultate wie den [[Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]] aus.

Ihre besondere Bedeutung erhält die borelsche σ-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] und damit sowohl an [[Metrischer Raum|metrische]] als auch an [[Normierter Raum|normierte Räume]] angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen σ-Algebra alle [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] immer [[Messbare Funktion|messbar]] sind.

Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen lassen sich nur in sehr seltenen Fällen vollständig beschreiben. Es ist jedoch umgekehrt schwer, eine Menge zu konstruieren, die ''nicht'' in der borelschen σ-Algebra liegt. Als grobe Faustregel gilt, dass sie „fast alle vorkommenden“<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 12. </ref> Mengen beziehungsweise „jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann“<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 8. </ref> enthält.

Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden '''Borel-Mengen''', '''borelsche Mengen''' oder auch '''Borel-messbare Mengen''' genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von [[Émile Borel]], der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 17. </ref>

== Definition ==
Gegeben sei ein [[topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal O )</math>, wobei <math> \mathcal O </math> das Mengensystem der [[Offene Menge|offenen Mengen]] ist.

Dann heißt die von <math> \mathcal O </math> [[Erzeuger einer σ-Algebra|erzeugte σ-Algebra]] die borelsche σ-Algebra. Sie wird mit <math> \mathcal B (X) </math> bezeichnet oder, wenn die Menge <math> X </math> aus dem Kontext ersichtlich ist, auch als <math> \mathcal B </math>.

Es ist also
:<math>\mathcal B (X):= \sigma (\mathcal O ) </math>,

wobei hier <math> \sigma ( \cdot) </math> den [[Σ-Algebra#σ-Operator|σ-Operator]] bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra ist also definiert als die (bezüglich Mengeninklusion) kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält.

=== Bemerkungen ===
* Die borelsche σ-Algebra ist stets eindeutig bestimmt.
* Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines [[Messraum (Mathematik)|Messraums]] auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet.
* Für [[Metrischer Raum|metrische Räume]] und [[Normierter Raum|normierte Räume]] wird als Topologie die von der Metrik bzw. Norm erzeugte Topologie gewählt.
* Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch [[Analytische Menge|analytischen Mengen]].<ref name="Al" />

== Die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen ==
Die Menge <math>\R</math> der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen [[Intervall (Mathematik)|Intervalle]] <math>(a,b)</math> mit [[Rationale Zahl|rationalen]] Endpunkten aufgespannt wird. Damit ist die borelsche σ-Algebra eine [[separable σ-Algebra]]. Obwohl man in Einzelfällen auch andere Topologien auf <math>\R</math> betrachtet, gilt diese als die kanonische Topologie auf <math>\R</math>, und die aus ihr abgeleitete borelsche σ-Algebra wird schlicht als ''die'' borelsche σ-Algebra auf <math>\R</math> bezeichnet.

Die borelsche σ-Algebra von <math>\R</math> enthält nicht alle Teilmengen von <math>\R</math>. Es lässt sich sogar zeigen, dass die borelsche σ-Algebra von <math>\R</math> gleichmächtig zu <math>\R</math> ist, während die Menge aller Teilmengen von <math>\R</math> eine echt größere Mächtigkeit als <math>\R</math> besitzt.

=== Erzeuger ===
Die borelsche σ-Algebra wird nicht direkt definiert, sondern implizit über einen Erzeuger. Dies ist ein vorgegebenes Mengensystem <math> \mathcal E </math>, das die borelsche σ-Algebra in dem Sinne erzeugt, dass sie die kleinste σ-Algebra ist, die alle Mengen des Erzeugers erhält. Für Details siehe [[Erzeuger einer σ-Algebra]]. Einige der möglichen Erzeuger sind die folgenden:
* <math> \mathcal E_0= \{ A \subset \R \mid A \text{ ist offen } \} </math> per Definition
* <math> \mathcal E_1= \{ [a,b] \subset \R \mid a \leq b \}</math> oder <math> \mathcal E_2= \{ [a,b] \subset \R \mid a \leq b, \; a,b \in \Q \}</math>
* <math> \mathcal E_3= \{ (a,b) \subset \R \mid a < b \} </math> oder <math> \mathcal E_4= \{ (a,b) \subset \R \mid a < b, \; a,b \in \Q \} </math>
* <math> \mathcal E_5= \{ (a,b] \subset \R \mid a \leq b \} </math> oder <math> \mathcal E_6= \{ (a,b] \subset \R \mid a \leq b, \; a,b \in \Q \} </math>
* <math> \mathcal E_7= \{ (- \infty,a] \mid a \in \R \} </math> oder <math> \mathcal E_8= \{ (- \infty,a] \mid a \in \Q \} </math>
* <math> \mathcal E_9= \{ (- \infty,a) \mid a \in \R \} </math> oder <math> \mathcal E_{10}= \{ (- \infty,a) \mid a \in \Q \} </math>

Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche σ-Algebra. Die borelsche σ-Algebra ist aber durch die Angabe eines Erzeugers eindeutig bestimmt. Dabei ist die Wahl des konkreten Erzeugers oft situationsabhängig. Häufig wählt man [[π-System|durchschnittsstabile Mengensysteme]] als Erzeuger, da bei ihnen nach dem [[Maßeindeutigkeitssatz]] ein Maß schon durch die Angabe der Werte auf dem Erzeuger eindeutig bestimmt ist. Bei Verwendung von Verteilungsfunktionen bieten sich die Erzeuger <math> \mathcal E_7 </math> bis <math> \mathcal E_{10} </math> an. Für Approximationsargumente werden oft die Intervalle mit rationalen Grenzen verwendet. Insbesondere sind die hier aufgeführten Erzeuger <math> \mathcal E_5 </math> und <math> \mathcal E_6 </math> [[Halbring (Mengensystem)|Halbringe]] (wenn man jeweils <math>(a,a]:= \emptyset</math> definiert, so dass die Erzeuger die [[leere Menge]] enthalten).

=== Enthaltene Mengen ===
Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen sind reichhaltig. Sie enthält
* alle [[Offene Menge|offenen Mengen]], alle [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Mengen]] und alle [[Kompakte Menge|kompakten Mengen]]
* alle Intervalle der Form <math> (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) </math> für <math> a,b \in \R </math> sowie <math> (- \infty, b), (- \infty, b], (a, \infty) </math> und <math> [a, \infty) </math>
* alle Punktmengen, also Mengen der Form <math> \{a \} </math> für <math> a \in \R </math> und alle endlichen Teilmengen von <math> \R </math> und alle [[Abzählbare Menge|abzählbar unendlichen]] Teilmengen von <math> \R </math>
* Aus den definierenden Eigenschaften von σ-Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement.
* Ist <math> f \colon \R \to \R </math> stetig, so sind auch [[Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch [[Niveaumenge]]n, [[Subniveaumenge]]n und [[Superniveaumenge]]n.

=== Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen ===
Teils werden die reellen Zahlen um die Werte <math> \pm \infty </math> erweitert, man nennt dann entsprechend
:<math>\overline{\R} := \R \cup \{+ \infty, - \infty \} </math>

die [[Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]]. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von [[Numerische Funktion|numerischen Funktionen]] auf. Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen wird dann erklärt durch
:<math> \mathcal B(\overline{\R}):= \{ A \cup E \mid A \in \mathcal B (\R), \; E \subseteq \{- \infty, \infty\} \} </math>.

Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit <math>\{\infty\}</math>, <math>\{-\infty\}</math> oder <math>\{\infty, -\infty\}</math>.

== Weitere borelsche σ-Algebren ==
=== Die borelsche σ-Algebra auf separablen metrischen Räumen ===
Gegeben sei ein [[Separabler Raum|separabler]] [[metrischer Raum]] <math>(X,d)</math>. Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten [[Abzählbarkeitsaxiom]] äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste <math>\sigma</math>-Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen <math>\sigma</math>-Algebra.

Auf den Spezialfall <math>X\subseteq\R^n</math> und <math>d</math> die [[Euklidischer Abstand|euklidische Metrik]] wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

=== Die borelsche σ-Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ===
Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen <math>\R^n</math> wird die kanonische Topologie von
den <math>n</math>-dimensionalen Quadern <math>(a_1,b_1)\times\dotsb\times (a_n,b_n)</math> mit rationalen Koordinaten <math>a_i</math> und <math>b_i</math> aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die <math>n</math>-fache [[Produkttopologie]] der kanonischen Topologie auf <math>\R</math>. Die von ihr erzeugte borelsche σ-Algebra heißt analog zum eindimensionalen Fall die ''borelsche σ-Algebra auf <math>\R^n</math>''.

Auf diese Art ist auch elegant die borelsche σ-Algebra der komplexen Zahlen erklärt: Man nutzt einfach die Vektorraumisomorphie zwischen <math>\mathbb C</math> und <math>\R^2</math>.

Teilmengen, die nicht zur borelschen σ-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv exotischen Charakter auf. Im dreidimensionalen reellen Raum bilden die Mengen, die beim [[Banach-Tarski-Paradoxon]] Verwendung finden, ein Beispiel für solche, nicht zur borelschen σ-Algebra gehörende Teilmengen.

== Die borelsche σ-Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen ==
Die Eigenschaften der borelschen σ-Algebra in beliebigen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] hängen wesentlich von der Struktur des topologischen Raumes ab. Allgemein lässt sich nur sagen, dass die borelsche σ-Algebra immer alle offenen (per Definition) und alle abgeschlossenen Mengen (aufgrund der Komplementstabilität) enthält.

Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche σ-Algebra. Es gilt:
* Ist der topologische Raum ein [[T1-Raum]], so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen σ-Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschen σ-Algebra enthalten.
* Ist der topologische Raum ein [[Hausdorff-Raum]] (wie zum Beispiel ein [[metrischer Raum]]), so sind alle [[Kompakte Menge|kompakten Mengen]] abgeschlossen und damit in der borelschen σ-Algebra enthalten.

== Produkträume und die borelsche σ-Algebra ==
Sind zwei topologische Räume <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> und <math> (X_2, \mathcal O_2)</math> gegeben, so lässt sich die borelsche σ-Algebra auf zweierlei Arten definieren:
* Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum <math> X_1 \times X_2 </math>, versehen mit der [[Produkttopologie]], hier mit <math> \mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2 </math> bezeichnet. Die borelsche σ-Algebra auf <math> X_1 \times X_2 </math> kann dann als die borelsche σ-Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als
::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2) := \sigma (\mathcal O_1 \otimes \mathcal O_2) </math>
* oder man bildet zuerst die borelschen σ-Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren [[Produkt-σ-Algebra]], hier mit <math> \otimes </math> bezeichnet:
::<math> \mathcal B (X_1 \times X_2):= \sigma (\mathcal O_1) \otimes \sigma (\mathcal O_2) </math>

Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen <math> (X_i)_{i \in I} </math> ausgeweitet wird. Es gilt:<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 115. </ref>
: Ist <math> (X_i)_{i \in I} </math> eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare [[Basis (Topologie)|Basis]] besitzt (also das [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt), und sei <math> X </math> das topologische Produkt all dieser Räume, so ist
::<math> \mathcal B (X)= \bigotimes_{i \in I} \mathcal B (X_i) </math>.

Die borelsche σ-Algebra des Produktes ist also die Produkt-σ-Algebra der borelschen σ-Algebren. Die Aussage gilt also insbesondere für alle [[Separabler Raum|separablen]] metrischen Räume und damit auch für <math> \R </math>. Somit ist
:<math> \mathcal B(\R^2)= \mathcal B(\R) \otimes \mathcal B (\R) </math>.

== Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen ==
{{Hauptartikel|Borel-Hierarchie}}
* In der Literatur hat sich folgende von [[Felix Hausdorff]] eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:<ref name="Koe2001">Vladimir Kanovei, Peter Koepke: ''Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre.'' 2001, [http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Deskriptive_Mengenlehre_in_Hausdorffs_Grundzuegen_der_Mengenlehre.pdf uni-bonn.de (pdf; 267 kB)].</ref><ref name="Al">Pavel S. Alexandroff: ''Lehrbuch der Mengenlehre.'' 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.</ref><ref name="Nat">Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei [http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3790 INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk]).</ref>

:- mit <math>\operatorname F_\sigma</math> werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet,
:- mit <math>\operatorname G_\delta</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen,
:- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen,
:- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen,
:- mit <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math> alle Vereinigungen von abzählbar vielen <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>-Mengen,
:- mit <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math> alle Durchschnitte von abzählbar vielen <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen
: usw.

: Alle <math>\operatorname F_\sigma</math>, <math>\operatorname G_\delta</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname F_{\sigma\delta\sigma}</math>, <math>\operatorname G_{\delta\sigma\delta}</math>,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer <math>\sigma</math>-Algebra noch nicht abgeschlossen ist.<ref name="abz">Bei <math>\R^n</math> z. B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten [[Ordinalzahl]]en möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. [[Bairesche Klasse#Verbindung zu den borelschen Mengen|bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen]]). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die <math>\operatorname F_\sigma</math>- und <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z. B. in einem [[T1-Raum|T<sub>1</sub>-Raum]] mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in [[Felix Hausdorff]]: ''Mengenlehre.'' 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.</ref>

* In der [[Deskriptive Mengenlehre|deskriptiven Mengenlehre]] bezeichnet man die offenen Mengen auch als <math>\Sigma^0_1</math>-Mengen, die <math>\operatorname F_\sigma</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_2</math>-Mengen, die <math>\operatorname G_{\delta\sigma}</math>-Mengen als <math>\Sigma^0_3</math>-Mengen etc. Komplemente von <math>\Sigma^0_n</math>-Mengen heißen <math>\Pi^0_n</math>-Mengen; so sind etwa die <math>\Pi^0_2</math>-Mengen genau die <math>\operatorname G_\delta</math>-Mengen.

== Anwendung ==
Die Menge <math>\Omega</math> zusammen mit der borelschen σ-Algebra ist ein Messraum und liegt den [[Borelmaß]]en als solcher zugrunde. Alle Elemente der borelschen σ-Algebra (die selbst Mengen sind) werden Borel-messbar genannt; nur diesen werden durch ein Borel-Maß Werte zugeordnet.

== Siehe auch ==
* [[Bairesche σ-Algebra]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Sashi M. Srivastava: ''A course on Borels sets'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7.
* {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}
* {{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}

[[Kategorie:Σ-Algebra]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]]

Borelsche σ-Algebra - Versionsgeschichte

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