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Ein '''Borel-Maß''' ist ein Begriff aus der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach [[Émile Borel]] benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[Hausdorff-Raum]] <math> (X, \tau) </math> mit [[Borelsche σ-Algebra|borelscher σ-Algebra]] <math>\mathcal B= \sigma(\tau) </math>. Ein Maß
:<math> \mu: \mathcal B \to [0, \infty] </math>

heißt ein ''Borel-Maß'', wenn für jedes <math>x \in X</math> eine [[Offene Menge|offene]] [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_x</math> von <math> x </math> existiert mit <math>\mu(U_x) < \infty</math>.<ref> Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2009, S. 313. </ref>

Somit sind Borel-Maße [[lokal endliches Maß|lokal endliche Maße]] auf der Borelschen σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-Borel-Maß]].

== Weitere Bedeutungen ==
Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet<ref> {{EoM
| Autor = V.V. Sazonov
| Titel = Borel Measure
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Borel_measure
| id =
}}</ref>. Manchmal werden auch
* [[Äußeres Maß|äußere Maße]], bezüglich derer alle [[Borelmenge]]n [[Messbarkeit nach Carathéodory|Carathéodory-messbar]] sind<ref>{{Literatur|Autor=[[Lawrence C. Evans]], Ronald F. Gariepy|Titel=Measure Theory and Fine Properties of Functions|Verlag=CRC-Press|Ort= Boca Raton FL u. a.|Jahr=1992|ISBN=0-8493-7157-0}}</ref>
* beliebige Maße auf der borelschen σ-Algebra eines topologischen Raumes<ref>{{MathWorld
| id = BorelMeasure
| title = Borel Measure
| author =
}} </ref>

* das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf <math>\R</math>, das jedem Intervall <math>[a,b]</math> das Maß <math>b-a</math> zuordnet
als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als [[Borel-Lebesgue-Maß]] bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

== Eigenschaften ==
Für einen [[Lokalkompakter Raum|lokal kompakten]] Hausdorff-Raum <math> X </math> ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist <math> x \in X </math>, so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung <math> U_x </math> ein kompaktes <math> K_x </math> und eine offene Umgebung <math> O_x </math> von <math> x </math> mit <math> O_x \subset K_x \subset U_x </math>. Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann <math> \mu(O_x)\leq \mu(K_x)< \infty </math> und <math> O_x </math> ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge <math> K </math> endliches Maß hat: Für <math> x\in K </math> sei <math> O_x </math> eine offene Umgebung von <math> x </math> mit <math> \mu(O_x)<\infty </math>. Dann ist <math> (O_x)_{x \in K} </math> eine offene Überdeckung von <math> K </math>. Aus der Definition der Kompaktheit folgt, dass eine endliche Teilüberdeckung <math> (O_{x_i})_{i \in I}, \; |I|< \infty </math> existiert; damit ist <math> \mu(K)\leq \sum_{i\in I} \mu(O_x)< \infty </math>.

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

== Verwandte Konzepte ==
=== Moderate Maße ===
Ein Borel-Maß heißt ein [[moderates Maß]], wenn eine Folge von offenen Mengen <math> (O_n)_{n \in \N} </math> existiert, so dass
:<math> X= \bigcup_{n \in \N} O_n</math>

ist und <math> \mu(O_n) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math> gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein [[reguläres Maß]] ist.
=== Radon-Maße ===
Borel-Maße nennt man [[Radon-Maß]]e, wenn sie [[Reguläres Maß|von innen regulär]] sind, es also gilt, dass
:<math>\mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}</math>
für alle <math>A \in \mathcal B</math>. Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.
=== Reguläre Borel-Maße ===
Ein Borel-Maß wird ein [[reguläres Borel-Maß]] genannt, wenn es zusätzlich noch ein [[Reguläres Maß]] ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{SORTIERUNG:Borelmass}}
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Borelmaß - Versionsgeschichte

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