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2025-12-26T12:22:46Z

Boltzmann-Grad-Grenzwert: Hauptartikel-Vorlage

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Die '''Boltzmann-Gleichung''' oder auch '''Boltzmannsche Transportgleichung''' (nach dem [[Physiker]] [[Ludwig Boltzmann]]) ist die grundlegende [[Integro-Differentialgleichung]] im sechsdimensionalen [[Phasenraum]] der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]] und [[Nichtgleichgewichtssystem|Nicht-Gleichgewichts]]-[[Thermodynamik]]. Sie ist eine Gleichung für die [[statistische Verteilung]] von [[Teilchen]] in einem Medium.

Die Boltzmann-Gleichung wird verwendet, wenn die [[mittlere freie Weglänge]] der Teilchen groß ist, d. h., wenn nur wenige Gasteilchen in einem gegebenen Volumen vorhanden sind, sodass die mittlere [[Stoß (Physik)|Stoß]]<nowiki />dauer klein ist gegen die [[mittlere freie Flugzeit]] und nur Zweiteilchen-Stöße betrachtet werden müssen. In einem Medium, in dem dies ''nicht'' der Fall ist, d. h. im Grenzfall der ''kleinen'' mittleren freien Weglänge, geht die Boltzmann-Gleichung (unter gewissen Bedingungen) in die wesentlich einfachere [[Navier-Stokes-Gleichung]] der [[Kontinuumsmechanik]] über. In diesem Sinne ist die Boltzmann-Gleichung eine [[mesoskopisch]]e Gleichung, die zwischen der mikroskopischen Beschreibung einzelner Teilchen und der makroskopischen Beschreibung steht.

Eine wichtige Anwendung findet die Boltzmann-Gleichung beim Beweis des [[H-Theorem]]s, mit dem Boltzmann den [[2. Hauptsatz der Thermodynamik]] aus statistischen Annahmen herleiten konnte. Aktuelle Anwendungen betreffen etwa Strömungen in einem verdünnten Gas. In der Praxis tritt dies z. B. bei der Berechnung von Phänomenen in der äußeren [[Erdatmosphäre]] auf, etwa beim [[Wiedereintritt]] des [[Space Shuttle]]s. Auch die Verteilung von [[Neutron]]en in einem [[Kernreaktor]] oder die der [[Wärmestrahlung#Intensität|Wärmestrahlungsintensität]] in einer [[Brennkammer]] lassen sich durch die Boltzmann-Gleichung beschreiben.

Eine numerische Lösung der Boltzmann-Gleichung wird von der [[Lattice-Boltzmann-Methode]] geliefert.

== Gleichung ==
Die Boltzmann-Gleichung beschreibt die [[Totale Ableitung|totale Zeitableitung]] der [[Verteilungsdichte]] (linke Seite der Gleichung) als Kollisionsintegral (rechte Seite der Gleichung):

:<math>\left( \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla_\vec{x} + \frac{\vec{F}}{m} \cdot \nabla_\vec{v} \right) f(\vec{x},\vec{v},t) = \left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_\mathrm{Stoss}</math>

mit
* der Verteilungsdichte <math>f(\vec{x}, \vec{v}, t)</math> im [[Zustandsraum (Mechanik)|Zustandsraum]]
** dem [[Geometrischer Ort|Ort]] <math>\vec{x}</math>
** der [[Geschwindigkeit]] <math>\vec{v}</math>
** der [[Zeit]] <math>t</math>
* einer gegebenen äußeren [[Kraft]] <math>\vec{F}</math>
* der Masse <math>m</math> der Teilchen.
Der zweite [[Term]] <math>\vec{v} \cdot \nabla_\vec{x} f</math> heißt auch ''Transportterm'' und der dritte Term <math>\tfrac{\vec{F}}{m} \cdot \nabla_\vec{v} f</math> ''Feldterm'', da er die Wechselwirkung mit äußeren Feldern beschreibt.

Die Verteilungsdichte kann man so interpretieren, dass der Wert <math>f(\vec{x},\vec{v},t)\,\text{d}\vec{x}\, \text{d}\vec{v}</math> die relative Anzahl der Teilchen angibt, die sich zum Zeitpunkt <math>t</math> im Ortsvolumen <math>[\vec{x}, \vec{x}+ \text{d}\vec{x}]</math> befinden und dabei Geschwindigkeiten im Bereich <math>[\vec{v}, \vec{v}+ \text{d}\vec{v}]</math> besitzen.

Das Kollisionsintegral <math>\left.\tfrac{\partial f}{\partial t}\right|_\mathrm{Stoss}</math> ist ein mehrdimensionales [[Integralrechnung|Integral]], in dem <math>f</math> nichtlinear verknüpft ist. Es gibt denjenigen Beitrag zur Gleichung an, der durch Kollision der einzelnen Teilchen entsteht (wäre er nicht vorhanden, so erlaubte das eine Lösung der Gleichung mit Mitteln der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]).

In engerem Sinn versteht man unter der Boltzmann-Gleichung die obige Gleichung zusammen mit einem speziellen [[Ansatz (Mathematik)|Ansatz]] für das Kollisionsintegral (''boltzmannscher Stoßzahlansatz''):

::<math>\left. \frac{\partial f}{\partial t}\right|_\mathrm{Stoss} = \int W(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}) \left\{ f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)-f(\vec{x},\vec{v}_3,t)f(\vec{x},\vec{v},t)\right\} \text{d}\vec{v}_1 \text{d}\vec{v}_2 \text{d}\vec{v}_3</math>

Dabei gibt <math>W(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v})</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] pro Zeitspanne an, dass bei einem Stoß zwischen zwei Teilchen, die vor dem Stoß die Geschwindigkeiten <math>\vec{v}_1</math> und <math>\vec{v}_2</math> besitzen, nach dem Stoß die Geschwindigkeiten <math>\vec{v}_3</math> und <math>\vec{v}</math> betragen. Die genaue Form von <math>W</math> hängt von der Art und Gestalt der Teilchen ab und muss aus einer mikroskopischen Theorie bestimmt werden (z. B. aus der [[Quantenmechanik]]).

Sowohl die theoretische als auch die numerische Behandlung der Boltzmann-Gleichung ist sehr aufwendig. Für eine einfache Einführung s. Müller-Kirsten.<ref>Harald J.W. Müller-Kirsten: ''Basics of Statistical Physics.'' 2nd ed. World Scientific, 2013, Chapter 13: ''The Boltzmann Transport Equation.'' ISBN 978-981-4449-53-3.</ref>

Um aus der Boltzmann-Gleichung Folgerungen zu ziehen, analysiert man ihre Geschwindigkeitsmomente<ref>{{Literatur |Autor=George Schmidt |Titel=Physics of High Temperature Plasmas |Auflage=2 |Datum=2014 |ISBN=978-0-323-16176-3 |Seiten=59 und folgend |Sprache=en}}</ref>. Das n-te Geschwindigkeitsmoment erhält man durch Multiplikation von <math>\vec{v}^n</math> mit der Boltzmann-Gleichung und anschließendem Integrieren über den Geschwindigkeitsraum. Daraus kann beispielsweise der [[Maxwellscher Spannungstensor|Maxwellsche Spannungstensor]] erhalten werden<ref>{{Literatur |Autor=George Schmidt |Titel=Physics of High Temperature Plasmas |Auflage=2 |Datum=2014 |ISBN=978-0-323-16176-3 |Seiten=63, Gleichung 3–41 |Sprache=en}}</ref>.

== Boltzmann-Grad-Grenzwert ==
{{Hauptartikel|Boltzmann-Grad-Grenzwert}}
Der [[Boltzmann-Grad-Grenzwert]] ist ein [[Grenzwert]], durch den die Boltzmann-Gleichung aus der Hamiltonschen Dynamik eines <math>N</math>-Körper-System hergeleitet wird. Er entsteht unter einer Skalierung, bei der die Teilchenzahl <math>N\to \infty</math> und der Teilchendurchmesser <math>\varepsilon\to 0</math>, wobei beide Größen in einem bestimmten asymptotischen Verhältnis zueinander stehen. Der Boltzmann-Grad-Grenzwert wird im Rahmen von [[Hilbertsche Probleme#Hilberts sechstes Problem|Hilberts sechstem Problem]] über die Axiomatisierung der Physik untersucht. 1975 zeigte [[Oscar Lanford]], dass die Teilchendichte im Grenzwert die Boltzmann-Gleichung approximiert, aber nur für eine sehr kurze Zeit.<ref>{{Literatur|Autor=Oscar E. Lanford III |Titel=On a derivation of the Boltzmann equation, in International conference on dynamical systems in mathematical physics |Sammelwerk=Astérisque |Nummer=40 |Datum=1976 |Seiten=117-137 |Online=https://www.numdam.org/item/AST_1976__40__117_0/}}</ref> 2025 haben [[Yu Deng]], Zaher Hani und Xiao Ma die Herleitung der Boltzmann-Gleichung für lange Zeiten aus einem System [[Modell harter Kugeln|harter Kugeln]] hergeleitet, vorausgesetzt, dass die Boltzmann-Gleichung eine klassische Lösung hat.<ref>{{Literatur | Autor= Yu deng, Hani Zaher und Xiao Ma |Datum=2026|Titel=Long time derivation of Boltzmann equation from hard sphere dynamics|Sammelwerk=[[Annals of Mathematics]]|arXiv=abs/2408.07818|Online=https://annals.math.princeton.edu/articles/22284}}</ref><ref>Fraydoun Rezakhanlou. "Boltzmann-Grad Limit for Hard Sphere Model", May 9, 2025</ref>

== Literatur ==
* Hartmut Haug: ''Statistische Physik – Gleichgewichtstheorie und Kinetik.'' 2. Auflage. Springer 2006, ISBN 3-540-25629-6.
* Hans Babovsky: ''Die Boltzmann-Gleichung.'' Vieweg+Teubner Verlag, 1998, ISBN 3-519-02380-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4146261-0}}

[[Kategorie:Physikalische Chemie]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Stochastische Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Ludwig Boltzmann]]

Boltzmann-Gleichung - Versionsgeschichte

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