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2025-08-11T14:31:13Z

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Das '''Bochner-Integral''', benannt nach [[Salomon Bochner]], ist eine Verallgemeinerung des [[Lebesgue-Integral]]s auf [[Banachraum]]-wertige Funktionen. Das Integral lässt sich aber auch auf [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]] verallgemeinern.

== Definition ==

Es seien <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher, [[vollständiger Maßraum]] und <math>(B,\|\cdot\|)</math> ein [[Banachraum]].

Das Bochner-Integral <math>\int_\Omega f\,{\rm d}\mu</math> einer Funktion <math>f\colon\Omega\to B</math> ist nun folgendermaßen definiert:

Als [[einfache Funktion]] bezeichnen wir Funktionen der Gestalt
:<math>s(x)=\sum_{i=1}^m\alpha_i\chi_{X_i}(x)</math>
mit Faktoren <math>\alpha_i\in B</math> und messbaren Mengen <math>X_i\in\mathcal A</math>, wobei <math>\chi_{X_i}</math> deren [[Indikatorfunktion]] bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:
:<math>\int_\Omega s\,{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^m\alpha_i\mu(X_i)</math>,
wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von <math>s</math> ist.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis.'' Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).</ref>

Eine Funktion <math>f\colon \Omega \rightarrow B</math> heißt ''<math>\mu</math>-messbar'' oder ''Bochner-messbar'', wenn es eine Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> einfacher Funktionen gibt, so dass <math>\textstyle \lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x)</math> für <math>\mu</math>-fast alle <math>x \in \Omega</math> gilt.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis.'' Band 3. 2001, S. 65.</ref>

Eine <math>\mu</math>-messbare Funktion <math>f\colon \Omega \rightarrow B</math> heißt ''Bochner-integrierbar''<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis.'' Band 3. 2001, S. 87.</ref>, falls es eine Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> einfacher Funktionen gibt, so dass
* <math>\lim_{n\to\infty}s_n(x) = f(x)</math> für <math>\mu</math>-fast alle <math>x \in \Omega</math> gilt und
* zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}</math> existiert mit
:: <math>\int_\Omega \|s_n-s_k\| {\rm d}\mu < \varepsilon</math> für alle <math>n, k \geq n_0</math>.
In diesem Fall ist
:<math>\int_\Omega f\,{\rm d}\mu:=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega s_n\,{\rm d}\mu</math>
wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> mit obigen Eigenschaften.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis.'' Band 3. 2001, Korollar X.2.7.</ref>
Falls <math>M \in \mathcal{A}</math> und <math>f\colon M \rightarrow B</math>, so schreibt man
:<math>\int_Mf{\rm d}\mu := \int_\Omega \tilde{f}{\rm d}\mu</math> mit <math>\tilde{f}(x) := \left\{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm falls}\ x \in M\ ,\\0\ ,&{\rm falls}\ x \in \Omega \setminus M,\\\end{array}\right.</math>
sofern <math>\tilde{f}</math> Bochner-integrierbar ist.<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis.'' Band 3. 2001, S. 94.</ref>

== Messbarkeitssatz von Pettis ==
Der folgende auf [[Billy James Pettis]] zurückgehende Satz charakterisiert die <math>\mu</math>-Messbarkeit:

Die Funktion <math>f\colon\Omega\to B</math> ist genau dann <math>\mu</math>-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
* Für jedes stetige [[lineares Funktional|lineare Funktional]] <math>\phi\in B'</math> ist <math>\phi\circ f\colon\Omega\to {\mathbb K}</math> <math>\mu</math>-messbar.
* Es gibt eine <math>\mu</math>-[[Nullmenge]] <math>N\subset\Omega</math>, so dass <math>f(\Omega\setminus N)\subset B</math> [[Separabler Raum|separabel]] bzgl. der [[Normtopologie]] ist.

Ist <math>B</math> ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die <math>\mu</math>-Messbarkeit <math>B</math>-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die <math>\mu</math>-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

== Bochner-Integrierbarkeit ==
Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den [[Satz von der majorisierten Konvergenz]] auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine <math>\mu</math>-messbare Funktion <math>f\colon\Omega\to B</math> ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn <math>\|f\|:\Omega\to\mathbb{R}</math> Lebesgue-integrierbar ist.

== Eigenschaften ==
In diesem Abschnitt ist <math>B</math> ein Banachraum und <math>f, g\colon \Omega \rightarrow B</math> sind integrierbare Funktionen.

=== Linearität ===
Das Bochner-Integral ist [[Lineare Abbildung|linear]], das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen <math>f, g \colon \Omega \rightarrow B</math> und beliebige <math> \alpha , \beta \in \mathbb{K} </math> ist auch <math> \alpha f + \beta g </math> integrierbar, und es gilt:
:<math> \int_{\Omega} (\alpha f + \beta g) \, \mathrm{d}\mu = \alpha \int_{\Omega} f \, \mathrm{d}\mu + \beta \int_{\Omega} g \, \mathrm{d}\mu </math>.

=== Verkettung mit einem stetigen Operator ===
Es sei <math>D</math> ein Banachraum und <math>T \in L(B,D)</math> ein [[linearer Operator|stetiger linearer Operator]]. Dann ist <math>T f \colon \Omega \to D</math> eine integrierbare Funktion und es gilt<ref>Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis.'' Band 3. 2001, S. 92.</ref>
:<math>T \left(\int_\Omega f(x) \mathrm{d} \mu(x) \right) = \int_\Omega T(f(x)) \mathrm{d} \mu(x)</math>.

=== Radon–Nikodym-Eigenschaft ===
{{Hauptartikel|Radon-Nikodym-Eigenschaft}}
Der [[Satz von Radon-Nikodým]] gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als ''Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft''. [[reflexiver Raum|Reflexive Räume]] besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.<ref>Joseph Diestel, John Jerry Uhl: ''Vector Measures'' (= ''Mathematical Surveys.'' Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.</ref>

== Bochner-Lebesgue-Räume ==
Ist <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher, vollständiger Maßraum und <math>(B,\|\cdot\|)</math> ein Banachraum, so nennt man für <math>1\leq p\leq \infty</math> den Raum <math>L^p(\Omega,\mathcal A,\mu,B)</math> der Bochner-integrierbaren Funktionen <math>\Omega\rightarrow B</math> einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich <math>\mu</math>-fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch [[Äquivalenzklasse]]n. Man erhält mit der Norm
:<math>\|f\|_p := \left(\int_\Omega \|f(\omega)\|^p\mathrm{d}\mu(\omega)\right)^{1/p},\quad 1\leq p<\infty</math>
:<math>\|f\|_\infty := \mathrm{ess} \sup\|f(\omega)\|,\quad\quad p=\infty</math>
einen Banachraum. Dieser lässt sich für <math>p=1</math> wie folgt als [[Tensorprodukt]] beschreiben.
Man rechnet nach, dass durch
:<math>L^1(\Omega,\mathcal A,\mu) \times B \rightarrow L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B),\, (f,\alpha) \mapsto f(\cdot)\alpha</math>
eine [[bilineare Abbildung]] gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus
:<math>L^1(\Omega,\mathcal A,\mu) \mathbin{\hat{\otimes}_{\pi}} B \cong L^1(\Omega,\mathcal A,\mu,B)</math>
definiert, wobei <math>\hat{\otimes}_{\pi}</math> das [[Projektives Tensorprodukt|projektive Tensorprodukt]] bezeichne.<ref>Raymond A. Ryan: ''Introduction to Tensor Products of Banach Spaces'', Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19</ref>

== Erweiterung auf lokalkonvexe Räume ==
Es ist möglich das Bochner-Integral auf [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]] zu erweitern, dies wurde 1975 von Wjatscheslaw Rybakow<ref>{{Literatur |Autor=Vyacheslav I. Rybakov |Titel=A generalization of the Bochner integral to locally convex spaces |Sammelwerk=Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR |Band=18 |Seiten=933–938 |Datum=1975 |DOI=10.1007/BF01153047}}</ref>, 1981 durch Chris Blondia<ref>{{Literatur |Autor=Chris Blondia |Titel=Integration in locally convex spaces |Sammelwerk=Simon Stevin, (A Quarterly Journal of Pure and Applied Math.)|Band=55 |Datum=1981 |Nummer=3 |Seiten=81–102}}</ref> und 2015 von Ralf Beckmann und [[Anton Deitmar]] gemacht<ref>{{Literatur |Autor=Ralf Beckmann und [[Anton Deitmar]] |Titel=Two applications of nets |Sammelwerk=Ann. Funct. Anal. |Band=6 |Nummer=3 |Seiten=176 - 190 |Datum=2015 |DOI=10.15352/afa/06-3-15}}</ref>, wobei Beckmann und Deitmar den ursprünglichen Ansatz von Bochner für vektorwertige Integrale auf [[Netz (Topologie)|Netze]] erweiterten.

Die nachfolgende Definition stammt von Blondia:<ref>{{Literatur|Autor=Valeria Marraffa |Titel=A Birkhoff Type Integral and the Bourgain Property in a Locally Convex Space |Band=32 |Sammelwerk=Real Analysis Exchange |Nummer=2 |Hrsg=Michigan State University Press |Datum=2006 |Online=https://projecteuclid.org/journals/real-analysis-exchange/volume-32/issue-2/A-Birkhoff-Type-Integral-and-the-Bourgain-Property-in-a/rae/1199377481.full |Seiten=410}}
</ref>

Es seien <math>(\Omega,\mathcal A,\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher, [[vollständiger Maßraum]]. Weiter sei <math>(X,\mathcal{P})</math> ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum, der vollständig ist und dessen Topologie durch eine Familie von [[Seminorm]]en <math>\mathcal{P}</math> erzeugt wird. Eine Funktion <math>f\colon \Omega \to X</math> heißt stark-integrierbar oder Bochner-integrierbar, wenn eine Folge <math>(f_n)</math> existiert, so dass
* <math>f_n(\omega)\to f(\omega)</math> für <math>\mu</math>-fast alle <math>\omega\in \Omega</math> gilt.
* <math>p(f(\omega)-f_n(\omega))\in L^1(\Omega;\mathbb{R})</math> für jedes <math>n\in \mathbb{N}</math> und alle Seminormen <math>p\in \mathcal{P}</math>, das heißt
:: <math>\lim\limits_{n\to \infty}\int_{\Omega} p(f(\omega)-f_n(\omega))d\mu=0.</math>
* <math>\int_A f_n(\omega) d\mu</math> konvergiert für jede messbare Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>.

=== Ansatz von Beckmann und Deitmar ===
Beckmann und Deitmar verwenden den Begriff der ''Bochner-Approximierbarkeit'' für <math>f\colon \Omega \to X</math> als Voraussetzung für die Bochner-Integrierbarkeit und geben eine Charakterisierung dieses Begriffs. Eine Funktion heißt Bochner-approximierbar falls ein Netz <math>(s_j)_{j\in J}</math> von einfachen Funktionen existiert, so dass für jede stetige Seminorm <math>p</math> auf <math>X</math>
:<math>\int_\Omega p(f-s_j)d\mu\to 0</math>
gilt. Eine alternative Bedingung ohne den Begriff des Netzes lautet wie folgt: <math>f</math> ist Bochner-approximierbar, falls für jede stetige Seminorm <math>p</math> eine einfache Funktion <math>s_p</math> mit der Eigenschaft
:<math>\int_\Omega p(f-s_p)d\mu< 1</math>
existiert.

Sie unterscheiden zwischen drei Fällen an Anforderungen an den lokalkonvexen Raum <math>X</math><ref>{{Literatur |Autor=Ralf Beckmann und [[Anton Deitmar]] |Titel=Two applications of nets |Sammelwerk=Ann. Funct. Anal. |Band=6 |Nummer=3 |Seiten=183 |Datum=2015 |DOI=10.15352/afa/06-3-15 |Kommentar=Theorem 1.15 und Theorem 1.16}}</ref>
*<math>X</math> ist vollständig
*<math>X</math> ist [[Vollständiger Raum#Quasivollständiger Raum|quasivollständig]] und die Funktion <math>f</math> ist beschränkt,
*<math>X</math> ist quasivollständig und das Maß ist endlich <math>\mu(\Omega)<\infty</math>.

== Siehe auch ==
* [[Birkhoff-Integral]]
* [[Pettis-Integral]]

== Literatur ==
* Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis.'' Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
* Malempati M. Rao: ''Measure Theory and Integration'' (= ''Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes.'' Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

== Weblinks ==

* [[Salomon Bochner]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind.]'' (PDF; 799 kB). In: ''[[Fundamenta Mathematicae]].'' Bd. 20, 1933, S. 262–276.
* V. I. Sobolev: [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bochner_integral ''Bochner integral.''] In: ''[[Encyclopaedia of Mathematics]]'' (englisch).
* [http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1101 ''Integrale vektorwertiger Funktionen.''] In: ''[[Matroids Matheplanet]]''.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Integralbegriff]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]

Bochner-Integral - Versionsgeschichte

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